XXXX設(shè)備故障診斷信號(hào)三

1.3.7信號(hào)的時(shí)頻分析

時(shí)頻分析的基本任務(wù)是建立一個(gè)函數(shù)，要求這個(gè)函數(shù)不僅能夠同時(shí)用時(shí)間和頻率描述信號(hào)的能量分布密度，還能夠以同樣的方式來計(jì)算信號(hào)的其他特征量。這里只是簡單介紹當(dāng)前廣泛采用的時(shí)頻分析方法：短時(shí)傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）及時(shí)頻分析的一些應(yīng)用。1/18/202311、短時(shí)傅里葉變換

（1）短時(shí)傅立葉變換原理短時(shí)傅立葉變換是研究非平穩(wěn)信號(hào)最廣泛使用的方法。假定我們聽一段持續(xù)時(shí)間為1h的音樂，在開始時(shí)是有小提琴，而在結(jié)束時(shí)有鼓。如果用傅立葉變換分析整個(gè)1h的音樂，傅立葉頻譜將表明對(duì)應(yīng)小提琴和鼓的頻率的峰值。頻譜會(huì)告訴我們有小提琴和鼓，但不會(huì)給我們小提琴和鼓什么時(shí)候演奏的任何表示。最簡單的做法是把1h劃分成每5min一個(gè)間隔，并用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔。在分析每一個(gè)時(shí)間間隔時(shí)，就會(huì)看到小提琴和鼓出現(xiàn)在哪個(gè)5min間隔。如果要求更好的局部化，那就把這1h劃分成1min一個(gè)間隔，甚至更小的時(shí)間間隔，再用傅立葉變換分析每一個(gè)間隔。這就是短時(shí)傅立葉變換的基本思想：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅立葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以確定在哪個(gè)時(shí)間間隔存在的頻率，這些頻譜的總體就表現(xiàn)了頻譜在時(shí)間上是怎樣變化的。1/18/20232

為了研究信號(hào)在時(shí)刻t的特性，人們加強(qiáng)在那個(gè)時(shí)刻的信號(hào)而衰減在其它時(shí)刻的信號(hào)。這可以通過用中心在t的窗函數(shù)h（t）乘信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。產(chǎn)生的信號(hào)是：

xt（）=x（）h（-t）改變的信號(hào)是兩個(gè)時(shí)間函數(shù)，即所關(guān)心的固定時(shí)間t和執(zhí)行時(shí)間。窗函數(shù)決定留下的信號(hào)圍繞著時(shí)間t大體上不變，而離開所關(guān)心時(shí)間的信號(hào)衰減了許多倍，也就是

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因?yàn)楦淖兊男盘?hào)加強(qiáng)了圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，而衰減了遠(yuǎn)離時(shí)刻t的信號(hào)，傅立葉變換將反映圍繞著t時(shí)刻的頻譜，即

對(duì)于每一個(gè)不同的時(shí)間，都可以得到一個(gè)不同的頻譜，這些頻譜的總體就是時(shí)頻分布Psp（t，f）。我們關(guān)心的是分析圍繞著時(shí)刻t的信號(hào)，所以選擇一個(gè)圍繞著t具有峰值的窗函數(shù)。這樣就可以在t時(shí)刻附近得到一個(gè)短持續(xù)時(shí)間信號(hào)，其傅立葉方程（上式）叫做短時(shí)傅立葉變換。下式確定的Psp（t，f）函數(shù)曲面圖叫時(shí)頻分布圖。1/18/20234下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號(hào)的時(shí)域波形，它清楚地告訴我們鯨魚聲強(qiáng)度或者響度怎樣隨時(shí)間而變化。在主圖下面的曲線是能量譜密度，即傅立葉變換的絕對(duì)值平方。它表明哪些頻率存在，以及它們的相對(duì)強(qiáng)度有多大。

這個(gè)聲音的頻譜告訴我們頻率范圍大約從175Hz到325Hz。這個(gè)信息是有意義而且重要的，但是根據(jù)這個(gè)頻譜告訴無法知道這些頻率什么時(shí)候存在。例如，不可能通過觀察頻譜確切知道300Hz聲音在什么時(shí)候產(chǎn)生，或者產(chǎn)生這個(gè)聲音的總持續(xù)時(shí)間，或產(chǎn)生了多少次。主圖反映了信號(hào)能量的時(shí)間頻率聯(lián)合分布密度，由此就可以確定作為時(shí)間進(jìn)程的強(qiáng)度。這使我們能夠了解各個(gè)時(shí)刻發(fā)生的情況：1/18/20235頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時(shí)間內(nèi)線性地增加到大約325Hz，然后停在那里約0.1s的時(shí)間，等等。作為對(duì)300Hz聲音什么時(shí)候出現(xiàn)這個(gè)問題的回答，現(xiàn)在從圖中可以知道在0.6s和1.3s出現(xiàn)兩次。1/18/20236

另外，在現(xiàn)實(shí)生活和工程實(shí)際中許多信號(hào)是暫態(tài)信號(hào)(非穩(wěn)態(tài)信號(hào))、其統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間有關(guān)．如語言信號(hào)、雷達(dá)信號(hào)、超聲波信號(hào)等，這些信號(hào)不滿足傅氏變換所要求的條件。傅立葉變換公式獲得信號(hào)頻譜信息需要無限長的時(shí)間，即不僅需要過去而且需要將來的時(shí)間信號(hào)去估計(jì)一個(gè)單一頻率的頻譜。另外，傅立葉變換式不能反映與時(shí)間變量有關(guān)的頻率信息。除此之外、非穩(wěn)態(tài)信號(hào)很可能在一個(gè)短時(shí)瞬間發(fā)生變化．即具有很強(qiáng)的時(shí)間局部性，并對(duì)整個(gè)頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號(hào)的頻譜上確認(rèn)這種時(shí)域內(nèi)的瞬時(shí)變化的存在及其確切的頻率信息。也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號(hào)的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號(hào)的時(shí)間特性。因此．暫態(tài)信號(hào)很難用傅氏變換進(jìn)行分析。1/18/20237

下圖a所示為一白噪聲信號(hào)中夾雜一個(gè)脈沖信號(hào)。二者分別為典型的穩(wěn)態(tài)信號(hào)和暫態(tài)信號(hào)。該信號(hào)的頻譜如圖b所示。很難在頻譜中看出脈沖信號(hào)的存在，這是因?yàn)榘自肼曅盘?hào)是均勻的寬帶頻譜，而脈沖信號(hào)也具有寬帶特性．只不過是其帶寬取決于脈沖信號(hào)的作用時(shí)間。

可采用“短時(shí)傅立葉變換”來對(duì)暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行分析。窗函數(shù)w(t)在整個(gè)信號(hào)上沿時(shí)間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時(shí)，就可以得到與時(shí)間有關(guān)的信號(hào)頻譜的描述。圖9-2所示為STFT的連續(xù)重疊加窗示意圖。該方法假定在一個(gè)有限的時(shí)窗w(t)內(nèi)信號(hào)是穩(wěn)態(tài)的．若時(shí)窗相當(dāng)短，則假定應(yīng)是成立的。將這些變換結(jié)果按時(shí)間順序排列在時(shí)間軸上就得到了信號(hào)的時(shí)頻描述(分布)，這種描述稱之為信號(hào)的“頻圖”1/18/202381/18/20239圖2STFT滑動(dòng)示意圖1/18/202310這樣，就就可以在在時(shí)頻表表面得到到一個(gè)信信號(hào)能量量的三維維分布。。這種分分布類似似于功率率譜是信信號(hào)能量量在頻率率軸上的的二維分分布。這這種信號(hào)號(hào)的分析析方法就就稱之為為信號(hào)的的時(shí)頻分分析。1/5/202311（2）測測不準(zhǔn)原原理時(shí)間-帶帶寬乘積積定理，，即測不不準(zhǔn)原理理，是傅傅立葉變變換對(duì)之之間互相相制約的的關(guān)系表表述。它它在聯(lián)合合時(shí)頻分分析的討討論、抽抽象及其其他方面面起著重重要的作作用。在在信號(hào)分分析中，，測不準(zhǔn)準(zhǔn)原理就就是一個(gè)個(gè)眾所周周知的數(shù)數(shù)學(xué)事實(shí)實(shí)：窄波波形產(chǎn)生生寬頻譜譜，寬波波形產(chǎn)生生窄頻譜譜，時(shí)間間波形和和頻率頻頻譜不可可能同時(shí)時(shí)使其任任意窄。。1/5/202312（3）短短時(shí)傅立立葉變換換的特點(diǎn)點(diǎn)一方面，，為了獲獲取信號(hào)號(hào)的短時(shí)時(shí)傅立葉葉變換，，把信號(hào)號(hào)劃分成成許多小小的時(shí)間間間隔，，但這種種間隔是是否越細(xì)細(xì)越好？？回答是是否定的的。因?yàn)闉樵谧冋揭欢ǘǔ潭戎螅玫玫降念l頻譜就變變得沒有有意義，，而且表表明與原原信號(hào)的的頻譜完完全不相相符。原原因在于于把一個(gè)個(gè)完全好好得信號(hào)號(hào)劃分成成短持續(xù)續(xù)時(shí)間信信號(hào)。但但是，短短持續(xù)時(shí)時(shí)間信號(hào)號(hào)有固有有的寬頻頻帶，而而這樣的的短持續(xù)續(xù)時(shí)間信信號(hào)幾乎乎與原信信號(hào)的特特性沒有有關(guān)系。。另一方面面，為了了獲取高高的頻率率分辯率率，采用用寬時(shí)窗窗做信號(hào)號(hào)的短時(shí)時(shí)傅立葉葉變換。。但是，，加大時(shí)時(shí)窗寬度度是與短短時(shí)傅立立葉變換換的初衷衷相背的的，因?yàn)闉樗鼇G失失非平穩(wěn)穩(wěn)信號(hào)中中小尺度度短信號(hào)號(hào)的時(shí)間間局部信信息。1/5/202313由此可見見，短時(shí)時(shí)傅立葉葉變換由由于采用用固定窗窗，當(dāng)非非平穩(wěn)信信號(hào)中所所含信號(hào)號(hào)分量尺尺度范圍圍很大時(shí)時(shí)，采用用多大的的時(shí)窗寬寬度都無無法正確確揭示信信號(hào)的時(shí)時(shí)頻譜，，這是由由于測不不準(zhǔn)原理理對(duì)采用用固定窗窗的短時(shí)時(shí)傅立葉葉變換方方法的制制約。盡管有上述述困難，但但短時(shí)傅立立葉變換方方法在許多多方面是理理想的。它它的意義是是明確的，，基本合理理的物理原原理，而且且對(duì)于許多多信號(hào)和情情況，它給給出了與我我們的直觀觀感知相符符的極好的的時(shí)頻構(gòu)造造。1/5/202314（4）存在在問題“短時(shí)博氏氏變換”方方法雖然很很早就被提提出，但由由于具有若若干局限性性，限制了了這種方法法在工程中中的廣泛應(yīng)應(yīng)用。以下下從三個(gè)方方面對(duì)其局局限性進(jìn)行行分析。1/5/202315窗函數(shù)選擇擇的限制對(duì)對(duì)一一個(gè)待定的的信號(hào)來說說，一個(gè)特特定的窗可可能比所有有其他的窗窗都更為合合適、即具具有較好的的分析精度度。但若一一個(gè)信號(hào)是是由兩個(gè)信信號(hào)構(gòu)成，，就有可能能每一個(gè)信信號(hào)都要求求有自己的的窗才能有有最好的分分析精度。。很顯然，，僅有一個(gè)個(gè)窗用于這這兩個(gè)信號(hào)號(hào)是很難獲獲得最佳分分析精度的的。如圖9-5a所所示為一合合成信號(hào)．．是兩個(gè)頻頻率分別為為64Hz相194Hz的兩兩個(gè)正弦信信號(hào)的合成成。圖9-5b是一一個(gè)頻率為為128Hz的正弦弦信號(hào)，但但有一個(gè)64個(gè)采樣樣點(diǎn)的間隙隙。1/5/2023161/5/2023171/5/202318圖9-6、、圖圖9-7均均為為上上述述兩兩個(gè)個(gè)信信號(hào)號(hào)的的STFT分分析析結(jié)結(jié)果果，，其其中中圖圖a為為窗窗函函數(shù)數(shù)具具有有128個(gè)個(gè)采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)寬寬度度的的分分析析結(jié)結(jié)果果，，圖圖b為為窗窗函函數(shù)數(shù)具具有有32個(gè)個(gè)采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)寬寬度度的的分分析析結(jié)結(jié)果果。。由由分分析析結(jié)結(jié)果果可可見見．．當(dāng)當(dāng)窗窗函函數(shù)數(shù)的的寬寬度度較較大大．．為為128個(gè)個(gè)采采樣樣點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，，對(duì)對(duì)圖圖9-5a所所示示的的兩兩個(gè)個(gè)正正弦弦信信號(hào)號(hào)的的合合成成信信號(hào)號(hào)具具有有較較好好的的頻頻域域分分辨辨率率，，即即頻頻域域分分析析精精度度較較高高，，但但時(shí)時(shí)域域分分辨辨率率較較差差。。1/5/202319當(dāng)窗函數(shù)的寬寬度較小，為為32個(gè)采樣樣點(diǎn)時(shí)，對(duì)圖圖9-5b所所示的具有間間隙的單一頻頻率正弦信號(hào)號(hào)來說，其分分析結(jié)果具有有較好的時(shí)域域分辨率，即即具有較好的的時(shí)域分析精精度，但頻域域精度較差。。由此可見，，STFT方方法的窗函數(shù)數(shù)寬度對(duì)分析析結(jié)果至關(guān)重重要．而且時(shí)時(shí)域與頻域的的精度不可能能都為最佳。。1/5/202320STFT方法法的精度分析析由由以上分析可可知，窗函數(shù)數(shù)寬度的選擇擇將會(huì)直接影影響時(shí)域或頻頻域的精度。。為改進(jìn)時(shí)域域精度可以選選擇一個(gè)較短短的窗，但是是短窗將會(huì)導(dǎo)導(dǎo)致傅氏變換換計(jì)算時(shí)采樣樣點(diǎn)數(shù)目的減減少，因此，，頻域中離散散頻率數(shù)也將將減少，從而而引起頻域精精度的降低。。1/5/202321可以證明時(shí)域域精度的提高高將以損失頻頻域精度為代代價(jià)，而提高高頻域精度將將以損失時(shí)域域精度為代價(jià)價(jià)，二者不可可兼得。對(duì)STFT來說說．重要的是是窗函數(shù)一經(jīng)經(jīng)選定，則時(shí)時(shí)頻精度在整整個(gè)時(shí)頻表面面都是固定的的，因?yàn)橥灰粋€(gè)窗函數(shù)將將被用于信號(hào)號(hào)中所有頻率率。所以STFT的窗函函數(shù)對(duì)時(shí)頻分分析是剛性的的。1/5/202322如果一一個(gè)信信號(hào)是是由一一些小小的脈脈沖與與較長長的偽偽穩(wěn)態(tài)態(tài)成份份所組組成，，則每每一個(gè)個(gè)信號(hào)號(hào)組成成部分分可以以有較較好的的時(shí)域域或頻頻域分分析精精度，，但并并不是是二者者兼有有。對(duì)STFT分析析來說說．一一般認(rèn)認(rèn)為Gaussian窗窗函數(shù)數(shù)是最最佳選選擇。。當(dāng)合合成信信號(hào)較較為簡簡單且且變換換參數(shù)數(shù)選取取合理理，STFT也也可有有較好好的分分析結(jié)結(jié)果。。下圖圖為其其分析析結(jié)果果。1/5/2023231/5/2023241/5/2023252、小波分分析（1）從傅里里葉變換到到短時(shí)傅里里葉變換如前所述，，傅里葉變變換可以將將時(shí)域信號(hào)號(hào)變換到頻頻域中的譜譜。就振動(dòng)動(dòng)分析來說說，各頻段段的譜分量量可以告訴訴我們信號(hào)號(hào)的各個(gè)組組成部分，，表征著信信號(hào)的不同同來源和不不同特征。。FFT算算法和現(xiàn)代代譜理論的的發(fā)展使得得信號(hào)譜估估計(jì)可以在在很短的時(shí)時(shí)間內(nèi)完成成，從而實(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)觀測測信號(hào)的實(shí)實(shí)時(shí)分析。。頻譜估計(jì)計(jì)現(xiàn)已成為為信號(hào)分析析與處理領(lǐng)領(lǐng)域中十分分重要的特特征分析工工具。傅里里葉變換的的不足之處處在于它只只適用于穩(wěn)穩(wěn)態(tài)信號(hào)分分析，而非非穩(wěn)態(tài)信號(hào)號(hào)在工程領(lǐng)領(lǐng)域中是廣廣泛存在的的，另外，，非穩(wěn)態(tài)信信號(hào)很可能能在一個(gè)短短時(shí)瞬間發(fā)發(fā)生變化．．即具有很很強(qiáng)的時(shí)間間局部性，，并對(duì)整個(gè)個(gè)頻譜產(chǎn)生生影響，很很難從信號(hào)號(hào)的頻譜上上確認(rèn)這種種時(shí)域內(nèi)的的瞬時(shí)變化化的存在及及其確切的的頻率信息息。1/5/202326也就是說其其傅氏變換換的結(jié)果既既不能有效效地提供暫暫態(tài)信號(hào)的的頻域信息息．也不能能揭示暫態(tài)態(tài)信號(hào)的時(shí)時(shí)間特性。。因此．暫暫態(tài)信號(hào)很很難用傅氏氏變換進(jìn)行行分析。由此采用了了“短時(shí)傅傅立葉變換換”來對(duì)非非穩(wěn)態(tài)和暫暫態(tài)信號(hào)進(jìn)進(jìn)行分析。。窗函數(shù)w(t)在在整個(gè)信號(hào)號(hào)上沿時(shí)間間平移并且且完成了連連續(xù)重疊變變換時(shí)，就就可以得到到與時(shí)間有有關(guān)的信號(hào)號(hào)頻譜的描描述。在時(shí)時(shí)頻面上構(gòu)構(gòu)建了三維維譜圖。（2）從短短時(shí)傅里葉葉變換到小小波變換但短時(shí)傅立立葉變換的的主要缺陷陷是：對(duì)所所有的頻率率都用同一一個(gè)窗，使使得分析的的分辨率在在時(shí)間-頻頻率平面的的所有局部部都相同，，如下圖所所示。如果果在信號(hào)內(nèi)內(nèi)有短時(shí)（（相對(duì)于時(shí)時(shí)窗）、高高頻成分、、那么短時(shí)時(shí)1/5/202327傅立葉變變化就不不是非常常有效了了?？s小小時(shí)窗（（選取更更集中的的窗函數(shù)數(shù)）、縮縮小采樣樣步長固固然可以以獲得更更多的信信息，但但是受到到測不準(zhǔn)準(zhǔn)原理的的約束，，在時(shí)間間和頻率率上均有有任意高高分辨率率是不可可能的。。1/5/202328在信號(hào)分分析中，，為能精精確地得得到高頻頻信息。。采樣間間隔應(yīng)相相對(duì)的小小些；而而為了完完整地得得到低頻頻信息。。采樣間間隔應(yīng)相相對(duì)地大大些。換換言之，，重要的的是需要要一個(gè)““柔性””時(shí)頻窗窗、其在在較高的的頻率處處時(shí)域窗窗可以自自動(dòng)地變變窄，而而在較低低的頻率率處時(shí)域域窗又可可以自動(dòng)動(dòng)地變寬寬。見下下圖所示示。而某某些所謂謂“基本本小波””的積分分變換(IntegralWaveletTransform)便正具具有這種種所需的的細(xì)化功功能。因因此，小小波分析析是目前前信號(hào)分分析中一一種十分分有用的的時(shí)頻局局部化分分析方法法。1/5/202329小波分析析其基本本思想是是采用時(shí)時(shí)窗寬度度可調(diào)的的小波函函數(shù)替代代短時(shí)傅傅立葉變變換中的的窗函數(shù)數(shù)。也就就是說小小波變換換在時(shí)頻頻平面不不同位置置具有不不同的分分辨率，，是一種種多分辨辨（率））分析方方法。其其目的是是“既要要看到森森林（信信號(hào)的概概貌），，又要看看到樹木木（信號(hào)號(hào)的細(xì)節(jié)節(jié)）”，，因此，，它又稱稱為數(shù)學(xué)學(xué)顯微鏡鏡。它是是將信號(hào)號(hào)交織在在一起的的多種尺尺度成分分分開，，并能對(duì)對(duì)大小不不同的尺尺度成分分采用粗粗細(xì)的時(shí)時(shí)域或空空域采樣樣步長，，從而能能夠不斷斷地聚焦焦到對(duì)象象的任意意細(xì)節(jié)。。這就是是小波優(yōu)優(yōu)于短時(shí)時(shí)傅立葉葉變換的的地方。。（3）小波波分析發(fā)發(fā)展簡介介1/5/202330小波分分析作作為一一門新新的學(xué)學(xué)科分分支目目前正正在眾眾多研研究領(lǐng)領(lǐng)域掀掀起研研究熱熱潮。。在數(shù)學(xué)領(lǐng)領(lǐng)域、它被被認(rèn)為為是調(diào)調(diào)和分分析近近半個(gè)個(gè)世紀(jì)紀(jì)的工工作結(jié)結(jié)晶．．能夠夠壓縮縮奇異異積分分算子子，求求解偏偏微分分方程程．構(gòu)構(gòu)造近近似慣慣性流流形并并被廣廣泛用用于逼逼近論論；在在量子力力學(xué)中，一一個(gè)量量子場場的基基于正正交小小波基基的相相細(xì)胞胞簇的的展開開具有有一系系列良良好的的性質(zhì)質(zhì)，為為研究究量子子場結(jié)結(jié)構(gòu)提提供了了新方方法，，在流體力力學(xué)中，它它被用用來模模擬湍湍流的的流動(dòng)動(dòng)．得得到湍湍流流流動(dòng)的的某些些分解解；在在數(shù)字信信號(hào)處處理領(lǐng)域，，小波波與多多分辯辯率濾濾波、、正交交景象象濾波波以及及分波波段編編碼等等緊密密聯(lián)系系，在在數(shù)據(jù)據(jù)壓縮縮編碼碼、持持征提提取等等方面面取得得了重重要進(jìn)進(jìn)展；；小波波分析析也為為計(jì)算機(jī)機(jī)視覺覺處理理提供了了新的的模型型．在在圖象象的壓壓縮、、邊緣緣檢測測和紋紋理識(shí)識(shí)別等等方面面發(fā)揮揮著重重要的的作用用、對(duì)對(duì)自相相似過過程和和分形形信號(hào)號(hào)的研研究，，小波波方法法也提提供了了強(qiáng)有有力的的工具具。小小波分分析可可以認(rèn)認(rèn)為是是Fourier分分析發(fā)發(fā)展史史上里里程碑碑式的的進(jìn)展展。1/5/202331小波分分析的的歷史史可以以追朔朔到本本世紀(jì)紀(jì)中葉葉。在在純數(shù)數(shù)學(xué)領(lǐng)領(lǐng)域，，Calderon于1964年在調(diào)調(diào)和分分析中中的恒恒等算算子分分解理理論。。物理理學(xué)中中Aslaken和和Calland于于1968年在量量子力力學(xué)對(duì)對(duì)仿射射群所所構(gòu)造造的凝凝聚態(tài)態(tài)，以以及在在工程程界Esterban和和Calland于于1977年提出出的QMF濾子子都涉涉及到到小波波分析析。1983年法國國地質(zhì)質(zhì)學(xué)家家J．．Morlet在處處理地地質(zhì)資資料時(shí)時(shí)偶然然中又又重新新發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了數(shù)數(shù)學(xué)家家的工工作。。隨后后，理理論物物理學(xué)學(xué)家A.Grossmann：和和數(shù)學(xué)學(xué)家Y.Meyer等在在理論論上對(duì)對(duì)小波波分析析做了了一系系列深深入研研究，，將Morlet的的想法法作了了出色色的數(shù)數(shù)學(xué)描描述，，大大大豐富富了調(diào)調(diào)和分分析的的內(nèi)容容。1/5/20233290年代初初期，在信信號(hào)處理界界I.Daubechies和S.mallat最先注注意到小波波分析在信信號(hào)分析領(lǐng)領(lǐng)域具有重重要的應(yīng)用用前景，并并作出開創(chuàng)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)獻(xiàn)，發(fā)展了了快速算法法．使小波波分析的研研究者在不不同學(xué)科間間搭起橋梁梁。在他們們的推動(dòng)下下小波分析析在信號(hào)處處理、圖象象處理等很很多方面獲獲得應(yīng)用。。1987年在法國國召開了第第一屆小波波分析的國國際會(huì)議，，之后有關(guān)關(guān)小波分析析的會(huì)議和和論文如雨雨后春筍此此起彼伏．．人們稱之之為“小波波熱潮”，，我國也于于1992年在武漢漢大學(xué)召開開了“中法法首屆小波波分析研討討會(huì)”。1/5/202333①連續(xù)小波變變換根根據(jù)據(jù)小波的計(jì)計(jì)算和表達(dá)達(dá)式形式，，其可分為為各種形式式。而連續(xù)續(xù)小波（ContinuousWaveletTransform-CWT））則定義為為：如果基基本小波滿足“相容容性”條件件（1）1/5/202334式中a、bR，a0，（）是（t）的傅氏變換（（母小波），，參數(shù)a稱為為尺度因子（（尺度與頻率率是相關(guān)聯(lián)的的，可以認(rèn)為為尺度的倒數(shù)數(shù)1/a與頻頻率具有正比比關(guān)系），b為時(shí)移因子子、而（Wf)(b，a)則稱為小波波變換系數(shù)。。信號(hào)的連續(xù)續(xù)小波變換所所提供的信息息是高度冗余余的，適合于于諸如濾波這這些對(duì)頻率分分解要求比較較高的場合。。連續(xù)小波變變換的物理意意義可簡述為為通過變換，，將二維的時(shí)時(shí)間信號(hào)變換換到由尺度因因子、時(shí)間因因子和小波變變換系數(shù)所決決定的立體空空間（如下圖圖）。以獲得得更多、更清清晰的信號(hào)的的信息量。由伸縮與頻移移構(gòu)成L2（R）的規(guī)范范正交基。1/5/202335小波變換式中中基本小波函函數(shù)的選取很很重要。常常常決定于實(shí)際際應(yīng)用函數(shù)是是因?yàn)樵趲缀魏涡螒B(tài)上小波波函數(shù)一般都都具有以下兩兩個(gè)特征：必須是振蕩函函數(shù)；必須是迅速收收斂的函數(shù)。。下圖a所示正正弦函數(shù)振蕩蕩但不收斂。。因此不是小小波函數(shù)。下下圖b所示函函數(shù)迅速收斂斂但不振蕩，，因此也1/5/202336不是小波函數(shù)數(shù)。下一頁圖圖所示為幾種種常見的小波波函數(shù)。圖兩兩種函函數(shù)（a）正弦函函數(shù)，（b））迅速收斂的的函數(shù)1/5/202337圖幾種種常見的小波波函數(shù)a)Lemarie小波波，b)具有有20個(gè)系數(shù)數(shù)的Danbechies小波，c)具有4個(gè)個(gè)系數(shù)的Danbechies小波波，d)Morlet小小波小波變換式中中的小波集b、a(f)可由一一個(gè)基本小波波經(jīng)尺度平移移和時(shí)間平移移而得到尺度因子a和和時(shí)移因子b的不同會(huì)給給小波函數(shù)的的幾何形態(tài)帶來很大大的變化。下下圖為因子a、b取不同同數(shù)值時(shí)的Morlet小波函函數(shù)。1/5/202338尺度因子和時(shí)時(shí)移因子取不不同數(shù)值時(shí)的的Morlet小波函數(shù)數(shù)1/5/202339小波變換利用用小波在不同同的

時(shí)移和和尺度下對(duì)信信號(hào)進(jìn)行觀察察1/5/202340②連續(xù)續(xù)小小波波變變換換的的時(shí)時(shí)頻頻窗窗的的精精度度基本本小小波波可可以以看看作作是是一一個(gè)個(gè)窗窗函函數(shù)數(shù)。。連連續(xù)續(xù)小小波波變變換換可可由由如如下下的的時(shí)時(shí)間間窗窗得得到到信信號(hào)號(hào)f（（t））時(shí)時(shí)域域局局部部信信息息[at*+b-aw，at*+b+aw]其窗窗函函數(shù)數(shù)中中心心為為at*+b，，其其半半徑徑為為aw。這這個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)域域窗窗相相對(duì)對(duì)于于較較小小的的a值值變變窄窄，，而而相相對(duì)對(duì)于于較較大大的的a值值變變寬寬。。類似似的的在在頻頻域域中中，，小小波波函函數(shù)數(shù)的的中中心心和和半半徑徑分分別別由由*和來定定義義。。應(yīng)應(yīng)用用帕帕斯斯維維爾爾定定理理來來定定義義連連續(xù)續(xù)小小波波變變換換的的頻頻域域窗窗為為：：[*/a-/a，，*/a+/a]1/5/202341若假假定定中中心心是是正正值值，，則則中中心心頻頻率率與與帶帶寬寬之之比比是是現(xiàn)在在若若at*被看看作作是是時(shí)時(shí)間間變變量量，，而而*／a被被看看作作是是頻頻率率變變量量，，則則在在時(shí)時(shí)頻頻表表面面我我們們已已經(jīng)經(jīng)具具有有矩矩形形的的時(shí)時(shí)頻頻窗窗[at*+b-aw，at*+b+aw][*/a-/a，，*/a+/a]顯然，，該比比值與與尺度度因子子a無無關(guān)。。因此此，連連續(xù)小小波變變換可可被視視為由由上式式給定定通帶帶的自自適應(yīng)應(yīng)帶通通濾波波器，，其頻頻率變變量可可由與與1／／a的的常數(shù)數(shù)的乘乘積得得到。。值得得注意意的是是該濾濾波器器具有有其中中心頻頻率與與帶寬寬之比比與中中心頻頻率的的位置置無關(guān)關(guān)的特特性。。1/5/202342該窗的的寬度度為2a，，高度度為2/a(圖10-5)。所所以，，在時(shí)時(shí)域中中對(duì)于于高頻頻信號(hào)號(hào)(即即較小小a值值)，，這種種窗可可自動(dòng)動(dòng)變窄窄以達(dá)達(dá)到較較好的的檢測測效果果，而而對(duì)于于低頻頻現(xiàn)象象(即即較大大的a值)則可可自動(dòng)動(dòng)變寬寬，仍仍具有有較好好的檢檢測效效果。。而在在頻域域，窗窗寬度度的變變化正正好相相反，，因而而同樣樣具有有較好好的檢檢測效效果，，即對(duì)對(duì)高頻頻現(xiàn)象象，窗窗是自自動(dòng)變變寬的的，而而對(duì)低低頻現(xiàn)現(xiàn)象，，窗是是自動(dòng)動(dòng)變窄窄的。。正是是因?yàn)闉樾〔úㄗ儞Q換具有有這種種“柔柔性””窗，，才使使其在在時(shí)域域和頻頻域同同時(shí)良良好的的局部部化特特性，，因而而對(duì)信信號(hào)具具有良良好的的檢測測能力力。1/5/2023431/5/202344圖10-6從另另一角角度說說明了了上述述小波波變換換的時(shí)時(shí)頻窗窗的柔柔性性性質(zhì)。。圖b所示示STFT的時(shí)時(shí)域窗窗相對(duì)對(duì)于其其時(shí)移移參數(shù)數(shù)t0的窗寬寬度t是等寬寬的。。而連連續(xù)小小波變變換(CWT)的時(shí)時(shí)域窗窗(圖圖a)相對(duì)對(duì)于其其時(shí)移移參數(shù)數(shù)t0的窗寬寬度卻卻是三三角形形的，，隨著著尺度度參數(shù)數(shù)a的的增大大而變變寬。。a值值的增增大意意味著著頻率率f的的減減小，，即CWT的時(shí)時(shí)域窗窗對(duì)于于頻率率變化化緩慢慢的時(shí)時(shí)間信信號(hào)具具有放放大窗窗寬度度的性性能，，因此此可以以更好好地檢檢測緩緩變信信號(hào)。。1/5/202345在頻域，如如圖d所所示，STFT的的頻域窗的的寬度f相對(duì)于各中中心頻率是是等寬的，，而CWT的窗寬度度(圖c)卻是隨中中心頻率按按對(duì)數(shù)形式式變化，即即相對(duì)于低低頻信號(hào)，，窗寬度較較窄、而相相對(duì)于高頻頻信號(hào)，窗窗寬度變寬寬。這恰好好符合低頻頻信號(hào)需要要較窄的頻頻域窗而高高頻信號(hào)需需要較寬的的頻域窗以以提高頻域域分辨率的的要求。1/5/202346若將STFT和小波波變換（WT）視為為帶通濾波波器，則它它們的帶寬寬如下圖所所示：1/5/202347③信號(hào)f（t）的重構(gòu)構(gòu)若若信號(hào)號(hào)f（t））是連續(xù)的的，且滿足足一定條件件，我們可可以利用小小波變換系系數(shù)來重構(gòu)構(gòu)任何能量量有限的信信號(hào)f（t）（2）式與（（1）式就就構(gòu)成了一一個(gè)連續(xù)小小波變換對(duì)對(duì)。類似于于STFT的分析結(jié)結(jié)果，小波波變換的結(jié)結(jié)果也在三三維空間進(jìn)進(jìn)行描述。。這是因?yàn)闉檫B續(xù)小波波變換在變變換中沒有有能量泄露露，保存了了信號(hào)的能能量（2）1/5/202348式中Ex為信號(hào)能量量。這就導(dǎo)導(dǎo)致我們可可以用小波波變換系數(shù)數(shù)的模的平平方來進(jìn)行行小波變換換結(jié)果的三三維描述，，它是信號(hào)號(hào)在時(shí)頻表表面的三維維分布。與與STFT所不同的的是，此處處信號(hào)的能能量是以多多重分析精精度的形式式在時(shí)頻表表面進(jìn)行分分布的。如同傅里葉葉變換結(jié)果果可以表示示為幅頻特特性和相頻頻特性一樣樣，小波變變換的結(jié)果果——小波波變換系數(shù)數(shù)（Wf）（b，，a）也可以用幅幅值和相位位加以表示示。下圖即即為一個(gè)矩矩形信號(hào)的的小波變換換結(jié)果的幅幅值、相位位和實(shí)部表表示。1/5/2023491/5/202350④小波分析析與其他他時(shí)頻分分析的比比較這這里給給出兩個(gè)個(gè)應(yīng)用實(shí)實(shí)例．以以作為小小波分析析方法和和時(shí)頻分分析方法法結(jié)果的的比較。。合成信號(hào)的的分析如前圖所所示的合合成信號(hào)號(hào)，由于于STFT方法法對(duì)同一一寬度的的窗來說說不可能能同時(shí)具具有較好好的時(shí)域域和頻域域分析精精度，因因而就不不可能同同時(shí)具有有較好的的分時(shí)和和分頻特特性，這這也是STFT方法的的主要缺缺陷。下下圖為同同一合成成信號(hào)的的小波變變換結(jié)果果。由圖圖可見、、無論是是小波變變換系數(shù)數(shù)的幅值值還是相相位都同同時(shí)具有有良好的的分時(shí)和和分頻特特性。即即同時(shí)具具有良好好的時(shí)域域和頻域域分析精精度。1/5/202351合成信號(hào)號(hào)的小波波變換結(jié)結(jié)果的幅幅值及相相位(a)兩兩正弦信信號(hào)的合合成信號(hào)號(hào)的幅值值和相位位，(b)具有有間隙的的信號(hào)的的幅值和和相位1/5/202352心電圖信號(hào)的的分析晚期心肌梗塞塞病人的室性性心動(dòng)過速經(jīng)經(jīng)常導(dǎo)致病人人的突然死亡亡。檢查是否否有室性心動(dòng)動(dòng)過速癥狀的的主要手段目目前仍然是心心電圖。在心心電圖上是否否有這種癥狀狀主要是表現(xiàn)現(xiàn)在QRS組組波的尾部(圖一)，但但即使是使用用高分辨率的的心電圖，也也很難對(duì)其進(jìn)進(jìn)行確認(rèn)。在在本例中對(duì)高高分辨率的心心電圖信號(hào)進(jìn)進(jìn)行了Wignar變換換和小波變換換，以探索在在心電圖信號(hào)號(hào)中識(shí)別室性性心動(dòng)過速的的方法。1/5/202353首先對(duì)高分辨辨率的心電圖圖信號(hào)以1000Hz的采樣頻率率進(jìn)行采樣，，采樣時(shí)間是是800ms，然后僅對(duì)對(duì)QRS組波波(150個(gè)個(gè)采樣點(diǎn))進(jìn)進(jìn)行Wignar變換和和小波變換。。1/5/202354前者又分為兩兩種，一種是是通常的Wignar變變換，一種是是為了盡可能能消除分析中中的干涉項(xiàng)而而加了漢寧窗窗的Wignar變換(窗寬度為61個(gè)采樣點(diǎn)點(diǎn))。具有室室性心動(dòng)過速速和不具有這這種癥狀的晚晚期心肌梗塞塞病人的兩種種心電圖信號(hào)號(hào)的兩種Wignar變變換的結(jié)果分分別見下圖（（a、b），，其中右側(cè)圖圖形為具有室室性心動(dòng)過速速癥狀的分析析結(jié)果。由圖圖可見．無論論是否具有這這種癥狀，兩兩種Wignar變換的的結(jié)果都表現(xiàn)現(xiàn)出在時(shí)頻表表面上的低頻頻部分(圖中中v表示頻率率)積聚著較較大的能量，，且?guī)缀涡螒B(tài)態(tài)相差不大，，只是在較高高頻部分能量量積聚的形態(tài)態(tài)有一些差別別。因此，是是否有室性心心動(dòng)過速只能能根據(jù)較高頻頻部分的能量量積聚形態(tài)加加以判斷。采采用Morlet小波的的小波變換的的結(jié)果見下圖圖c，可以看看出變換結(jié)果果相差很大。。所以，在對(duì)對(duì)于室性心動(dòng)動(dòng)過速的心電電圖信號(hào)的識(shí)識(shí)別問題來說說，小波變換換相對(duì)于Wignar變變換具有更大大的優(yōu)越性。。1/5/202355有室性性心動(dòng)動(dòng)過速速(右右側(cè)圖圖形)和不不具有有室性性心動(dòng)動(dòng)過速速的心心電因因分析析結(jié)果果1/5/2023561/5/202357頻域/時(shí)域域緊支支集信信號(hào)（（帶限限/時(shí)時(shí)限信信號(hào)））是實(shí)實(shí)際應(yīng)應(yīng)用中中經(jīng)常常遇到到的一一類信信號(hào)。。緊支支集正正交小小波性性質(zhì)：：（1））局部部性（（2））正交交性（（3））振蕩蕩性定義：：記f（（t1，t2，---tm）F（1，2，---m）為一一對(duì)付付氏變變化，，若F（1，2，---m）=0，（1，2，---m）V則稱f（t1，t2，---tm）為為頻域域緊支支集信信號(hào)，，稱V為支撐撐集1/5/2023583、、離離散散小小波波變變換換及及其其應(yīng)應(yīng)用用小波波變變換換在在使使用用中中是是由由離離散散小小波波變變換換(DiscreteWaveletTransform——DWT)來來完完成成的的。。（1））小小波波分分解解為清清楚楚理理解解離離散散小小波波變變換換的的實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)過過程程、、首首先先研研究究一一個(gè)個(gè)簡簡單單的的信信號(hào)號(hào)是是怎怎樣樣實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)小小波波分分解解的的。。下下圖圖1給給出出了了一一個(gè)個(gè)信信號(hào)號(hào)是是如如何何分分解解成成為為其其小小波波成成分分的的。。該該信信號(hào)號(hào)為為一一方方波波信信號(hào)號(hào)，，具具有有兩兩個(gè)個(gè)周周期期。。在在方方波波圖圖形形下下面面，，是是通通過過小小波波分分解解而而得得到到的的方方波波信信號(hào)號(hào)的的八八個(gè)個(gè)““次次信信號(hào)號(hào)””。。由由于于后后面面將將要要解解釋釋的的原原因因，，每每一一個(gè)個(gè)小小波波成成分分在在被被稱稱之之為為““水水平平””的的參參數(shù)數(shù)上上加加以以描描述述，，且且水水平平數(shù)數(shù)是是從從-1開開始始增增大大的的。。在在本本例例中中，，-1水水平平和和0水水平平中中的的數(shù)數(shù)值值都都為為零零，，但但并并不不是是每每一一種種情情況況下下都都是是如如此此。。1/5/202359圖1將將小小波波f（（r））（（r=1~128））分分解解為為D4小小波波分分量量1/5/202360當(dāng)每每一一個(gè)個(gè)分分解解的的小小波波水水平平都都被被加加起起來來時(shí)時(shí)，，就就重重新新獲獲得得了了原原始始信信號(hào)號(hào)(圖圖2)。。左左上上角角所所示示為為僅僅有有-1水水平平的的情情景景，，然然后后是是每每一一水水平平順順序序相相加加的的情情景景，，最最后后是是重重新新獲獲得得了了原原始始信信號(hào)號(hào)的的情情景景。。此處處關(guān)關(guān)心心的的是是離離散散小小波波變變換換(DWT)，，且且假假定定信信號(hào)號(hào)的的采采樣樣間間隔隔是是等等寬寬的的。。在在圖圖1中中方方波波f（（r））的的取取值值范范圍圍是是r＝＝1~128。。在在DWT中中N決決定定了了水水平平數(shù)數(shù)的的多多少少。?？煽梢砸钥纯闯龀?，，當(dāng)當(dāng)N＝＝2n時(shí)，，共共有有n+1個(gè)個(gè)水水平平，，故故當(dāng)當(dāng)N＝＝128＝＝27時(shí)，，在在圖圖1中中共共有有8個(gè)個(gè)水水平平。。被分分解解信信號(hào)號(hào)的的小小波波成成分分的的形形狀狀取取決決于于基基本本小小波波的的形形狀狀。。如如前前所所述述，，有有不不少少基基本本小小波波可可供供選選擇擇，，但但只只有有很很少少一一部部分分能能滿滿足足精精確確分分解解且且每每一一個(gè)個(gè)分分解解都都是是彼彼此此正正交交的的條條件件。。1/5/202361圖2從從D4小波分分量重構(gòu)構(gòu)方波信信號(hào)1/5/202362雖然已已有很很多數(shù)數(shù)值算算法用用于小小波變變換，，但一一般的的算法法都是是基于于正交交小波波的，，因而而此處處僅考考慮正正交小小波。。決定定了使使用那那種小小波，，則這這種小小波就就成為為信號(hào)號(hào)分解解的基基本小小波，，從而而也就就決定定了重重構(gòu)信信號(hào)的的小波波成分分的形形狀。。在以上上兩圖圖中使使用了了D4小波波(即即具有有4個(gè)個(gè)系數(shù)數(shù)的Daubechies小小波)，圖圖3的的最上上端圖圖形即即為D4小小波。?？疾觳煸趫D圖1中中位于于3水水平尺尺度中中的D4小小波，，注意意到該該水平平所示示尺度度的小小波僅僅占據(jù)據(jù)被分分解信信號(hào)的的一部部分。。為覆覆蓋整整個(gè)信信號(hào)就就必須須增添添更多多的小小波。。在3水平平，共共有23=8個(gè)個(gè)小波波沿水水平軸軸等間間距分分布。。每一一個(gè)小小波占占據(jù)128／8=16個(gè)個(gè)間距距。圖圖3的的第二二個(gè)圖圖形為為三個(gè)個(gè)相互互疊加加的D4小小波，，在第第三個(gè)個(gè)圖形形中是是其疊疊加后后的結(jié)結(jié)果。。最后后一個(gè)個(gè)圖形形所示示為該該尺度度的8個(gè)迭迭加后后的D4小小波。。1/5/202363圖3在在3水平所所示尺度度中的D4小小波1/5/202364在更高的尺尺度（對(duì)應(yīng)應(yīng)于圖1中中的4水平平）共有16個(gè)相距距為8個(gè)間間距的小波波，在5水水平共有32個(gè)相距距為4個(gè)間間距的小波波，在最高高的6水平平共有64個(gè)相距為為2個(gè)間距距的小波。。而在尺度度減小的方方向。在2水平共有有4個(gè)相距距為32個(gè)個(gè)間距的小小波。在1水平共有有2個(gè)相距距為64個(gè)個(gè)間距的小小波。0水水平僅有一一個(gè)小波．．-1水平平?jīng)]有小波波僅是一個(gè)個(gè)常數(shù)水平平。每一個(gè)沿著著水平軸分分布與擴(kuò)展展的小波都都取決于小小波變換的的結(jié)構(gòu)，僅僅是每一個(gè)個(gè)小波的縱縱向尺寸可可以被改變變，這一點(diǎn)點(diǎn)可以被數(shù)數(shù)列a（r）（r=1-128）的對(duì)對(duì)應(yīng)項(xiàng)所決決定。小波波變換的目目標(biāo)是選擇擇一個(gè)原始始數(shù)據(jù)序列列f（r））（r=1-128）以代表表規(guī)定長度度的輸入信信號(hào)，并將將這個(gè)序列列轉(zhuǎn)換為一一個(gè)新的實(shí)實(shí)數(shù)序列a（r）（（r=1-128））。1/5/202365這個(gè)序列定定義了在某某個(gè)水平尺尺度和位置置的小波的的垂直尺寸寸，而且若若將所有小小波相加起起來能夠一一點(diǎn)不差的的重構(gòu)原始始信號(hào)。原原始序列（（必須等于于2的冪次次方)越長長，在轉(zhuǎn)換換中就需要要越多的水水平。對(duì)于給定的的時(shí)間長度度、增加采采樣點(diǎn)的數(shù)數(shù)量就意味味著增大了了描述細(xì)節(jié)節(jié)的能力。。轉(zhuǎn)換中最最高的水平平就刻畫了了這種細(xì)節(jié)節(jié)。方波中中陡降的邊邊緣對(duì)應(yīng)于于分解中較較小尺度的的小波。使使用小波變變換中的局局部最大化化以探測邊邊緣也是一一個(gè)逐漸增增長的應(yīng)用用領(lǐng)域。1/5/202366就目前的研研究水平而而言，最成成功的算法法是馬拉特特（Mallat））算法，該該算法利用用小波的正正交性導(dǎo)出出各系數(shù)矩矩陣的正交交關(guān)系，從從高級(jí)到低低級(jí)逐級(jí)濾濾去信號(hào)中中的各級(jí)小小波。1/5/202367我們們采采用用下下圖圖并并結(jié)結(jié)合合上上面面的的小小波波分分解解式式來來介介紹紹馬馬拉拉特特算算法法主主要要思思想想。。1/5/202368（a））Mallat算算法法分分解解過過程程（（b））Mallat算算法法的的頻頻帶帶劃劃分分圖圖Mallat算算法法過過程程示示意意圖圖Mallat算算法法的的過過程程是是：：先先將將原原信信號(hào)號(hào)分分解解成成其其逼逼近近信信號(hào)號(hào)1和細(xì)細(xì)節(jié)節(jié)信信號(hào)號(hào)（（即即小小波波分分量量））1，，再再將將逼逼近近信信號(hào)號(hào)互互分分解解成其其逼逼近近信信號(hào)號(hào)2和和細(xì)細(xì)節(jié)節(jié)信信號(hào)號(hào)2，，再再將將逼逼近近信信號(hào)號(hào)2分分解解…………如此此下下去去，，即即可可得得到到原原信信號(hào)號(hào)的的所所有有小小波波分分量量，，如如下下圖圖a所所示示。。其其中中逼逼近近信信號(hào)號(hào)和和細(xì)細(xì)節(jié)節(jié)信信號(hào)號(hào)分分別別對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)被被分分解解信信號(hào)號(hào)的低低頻頻成成分分和和高高頻頻成成分分，，低低頻頻和和高高頻頻的的劃劃分分采采用用等等分分形式式，，如如下下圖圖b所所示示。。以以上上過過程程是是用用迭迭代代方方法法實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的的。。1/5/202369馬拉特算法不不直接計(jì)算積積分表達(dá)式，，而是利用小小波函數(shù)族的的正交性，從從高級(jí)到低級(jí)級(jí)濾出信號(hào)中中的各級(jí)小波波。馬拉特算算法概念清楚楚、計(jì)算簡便便，其在小波波分析中的地地位，相當(dāng)于于傅里葉分析析中FFT算算法。1/5/2023704、小波包包分解前圖中的陰影影部分表示在在對(duì)信號(hào)實(shí)施施小波分解后后，用于分析析的各級(jí)小波波的頻段?？煽梢钥吹降皖l頻時(shí)頻窗窄，，頻率分辨率率高；高頻時(shí)時(shí)頻窗寬，頻頻率分辨率低低，這符合普普通的原則。。但對(duì)某些特特定的信號(hào)，，人們感興趣趣的可能只是是某一個(gè)或幾幾個(gè)特殊的頻頻段，并要求求對(duì)這些特殊殊頻段的分析析足夠精細(xì)，，這些頻段的的頻率可能是是相對(duì)高的。。對(duì)這類問題題，小波分解解就顯得有所所欠缺了。1/5/202371小波包包分解解是比比小波波分解解更精精細(xì)的的一種種分解解，其其不同同之處處是對(duì)對(duì)濾出出的高高頻部部分也也同樣樣施行行分解解，并并可一一直進(jìn)進(jìn)行下下去，，這種種分解解在高高頻段段和低低頻段段都可可達(dá)到到很精精細(xì)的的程度度，如如上圖圖所示示。信號(hào)經(jīng)經(jīng)圖示示的分分解后后形成成若干干大大大小小小的““包””，圖圖中中陰影影部分分則表表示用用于分分析的的各個(gè)個(gè)包的的頻段段。根根據(jù)需需要分分析的的信號(hào)號(hào)頻段段，我我們可可以適適當(dāng)選選取不不同大大小的的包來來部分分復(fù)原原原始始信號(hào)號(hào)。對(duì)對(duì)于部部分信信號(hào)分分析問問題來來說，，人們們所關(guān)關(guān)心的的主要要特征征可能能只體體現(xiàn)在在某一一個(gè)或或幾個(gè)個(gè)包上上，因因此可可以只只注意意這幾幾個(gè)包包，這這在故故障診診斷技技術(shù)中中是非非常有有用的的。1/5/202372在正交交小波波分解解過程程中，，只對(duì)對(duì)信號(hào)號(hào)的低低頻成成分進(jìn)進(jìn)行了了遞推推分解解，信信號(hào)的的高頻頻成分分沒有有進(jìn)行行進(jìn)一一步分分解，，導(dǎo)致致高頻頻成分分的分分辯率率較低低，表表現(xiàn)為為頻率率越高高，小小波分分量頻頻帶越越寬。。小波包包分解解與正正交分分解非非常類類似，，只是是對(duì)信信號(hào)的的高頻頻成分分實(shí)施施了與與低頻頻成分分相同同的進(jìn)進(jìn)一步步分解解。每每次分分解相相當(dāng)于于進(jìn)行行低通通濾波波和高高通濾濾波，，進(jìn)一一步分分解出出低頻頻和高高頻兩兩部分分，這這樣一一直進(jìn)進(jìn)行下下去，，使低低頻和和高頻頻成分分都達(dá)達(dá)到很很精細(xì)細(xì)的程程度。。如下下圖所所示。。1/5/2023731/5/202374（1）基基于小小波或小小波包分分解的狀狀態(tài)監(jiān)測測如如前所述述，傅里里葉分析析的理論論基礎(chǔ)是是待分析析信號(hào)的的平穩(wěn)性性。對(duì)于于非平穩(wěn)穩(wěn)信號(hào)，，傅里葉葉分析可可能給出出虛假的的結(jié)果，，從而導(dǎo)導(dǎo)致故障障的誤診診斷。對(duì)對(duì)設(shè)備故故障診斷斷問題來來說，由由于以下下原因，，使傅里里葉分析析的應(yīng)用用受到限限制。1）由于于機(jī)器轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速不穩(wěn)穩(wěn)、負(fù)荷荷變化以以及機(jī)器器故障等等原因因產(chǎn)生生的沖擊擊、摩擦擦導(dǎo)致非非平穩(wěn)振振動(dòng)信號(hào)號(hào)的產(chǎn)生生。2）由于于機(jī)器各各零部件件的結(jié)構(gòu)構(gòu)不同，，致使振振動(dòng)信號(hào)號(hào)所包含含的不同同零部件件的故障障頻率分分布在不不同的頻頻道范圍圍內(nèi)。特特別是當(dāng)當(dāng)機(jī)器隱隱藏有某某一零部部件的早早期微弱弱缺陷時(shí)時(shí)，它的的缺陷信信息被其其它零部部件的振振動(dòng)信號(hào)號(hào)和隨機(jī)機(jī)噪聲所所淹沒。。1/5/202375對(duì)于這類類問題，，小波分分析方法法具有無無可比擬擬的優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)。由于于小波分分解尤其其是小波波包分解解技術(shù)能能夠?qū)⑷稳魏涡盘?hào)號(hào)（平穩(wěn)穩(wěn)或非平平穩(wěn)）分分解到一一個(gè)由小小波伸縮縮而成的的基函數(shù)數(shù)族上，，信息量量完整無無缺，在在通頻范范圍內(nèi)得得到分布布在不同同頻道內(nèi)內(nèi)的分解解序列，，在時(shí)域域和頻域域均具有有局部化化的分析析功能。。因此，，可根據(jù)據(jù)狀態(tài)監(jiān)監(jiān)測的需需要選取取包含所所需零部部件故障障信息的的頻道序序列，進(jìn)進(jìn)行深層層信息處處理以查查找機(jī)器器故障源源。近年來，，小波分分析技術(shù)術(shù)在齒輪輪箱故障障診斷、、顫振分分析等方方面得到到了廣泛泛的應(yīng)用用。1/5/202376小波分析析的應(yīng)用用舉例：：[例1]：小波波分析對(duì)對(duì)微弱信信號(hào)的識(shí)識(shí)別。利利用小波波分解能能夠?qū)⑿判盘?hào)中的的微弱信信號(hào)分離離和識(shí)別別出來，，如下圖圖。1/5/2023771/5/202378[例2]：小波波去噪。。如果果信號(hào)中中混有白白噪聲，，可以用用小波變變換去噪噪，依據(jù)據(jù)是：用用小波分分解將信信號(hào)分解解成小波波分量，，其中主主要成分分為白噪噪聲的小小波分量量與其他他小波分分量有明明顯不同同的特征征，將滿滿足這些些特征的的小波分分量去掉掉，然后后重構(gòu)信信號(hào)，就就能對(duì)原原信號(hào)消消噪，如如下圖所所示。其其中s是是原信號(hào)號(hào)，d1~d5是小波分分量，s*是除噪后后的信號(hào)號(hào)，d1可以認(rèn)為為是白噪噪聲小波波分析。。最后需要要指出的的是，這這里只介介紹了一一維小波波變換，，還有二二維小波波變換、、高維小小波變換換。利用用二維小小波變換換可以對(duì)對(duì)圖象