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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或3.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知是邊長為1的等邊三角形,點,分別是邊,的中點,連接并延長到點,使得,則的值為()A. B. C. D.5.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.6.已知,,,,.若實數(shù),滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值7.已知函數(shù),若時,恒成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的右頂點為,右焦點為,過點作平行的一條漸近線的直線與交于點,則的面積為()A. B. C.5 D.69.已知函數(shù)的最大值為,若存在實數(shù),使得對任意實數(shù)總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.311.已知,,,是球的球面上四個不同的點,若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.12.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.實數(shù),滿足,如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則的最小值為_______.14.已知實數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y15.已知集合,,則_________.16.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個極值點,且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實數(shù)和a的值(3)證明18.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,底面.(1)證明:;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.21.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)證明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.22.(10分)如圖,在平面四邊形中,,,.(1)求;(2)求四邊形面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
由拋物線的焦點得雙曲線的焦點,求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點,.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.2.D【解析】
根據(jù)逆運(yùn)算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當(dāng),解得
,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
先根據(jù)題意,對原式進(jìn)行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.4.D【解析】
設(shè),,作為一個基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項.【詳解】因為,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時,D選項正確.C選項是遞減區(qū)間,A,B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.6.B【解析】
判斷直線與縱軸交點的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.7.D【解析】
通過分析函數(shù)與的圖象,得到兩函數(shù)必須有相同的零點,解方程組即得解.【詳解】如圖所示,函數(shù)與的圖象,因為時,恒成立,于是兩函數(shù)必須有相同的零點,所以,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點問題,考查不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8.A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點、右焦點的坐標(biāo),再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點的坐標(biāo)為,右焦點的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點作平行的一條漸近線的直線與交于點,所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9.B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2,存在實數(shù),使得對任意實數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期,即故答案為:B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.10.B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關(guān)于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關(guān)于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于常考題型.11.A【解析】
由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.12.A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為,確定出的值,進(jìn)而確定出C點坐標(biāo),結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時,取得最小值,此時直線為,作出直線,交于A點,由圖象可知,目標(biāo)函數(shù)在該點取得最小值,所以直線也過A點,由,得,代入,得,所以點C的坐標(biāo)為.等價于點與原點連線的斜率,所以當(dāng)點為點C時,取得最小值,最小值為,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在解題的過程中,注意正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.14.2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.15.【解析】
根據(jù)交集的定義即可寫出答案?!驹斀狻?,,故填【點睛】本題考查集合的交集,需熟練掌握集合交集的定義,屬于基礎(chǔ)題。16.【解析】
觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個,還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個,全為陰線的一個,1陰2陽的3個,1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!鄰?個卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有,所求概率為。故答案為:?!军c睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響,我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)在區(qū)間單調(diào)遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】
(1)求出,在定義域內(nèi),再次求導(dǎo),可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結(jié)論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果;(3)由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項相消法,結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得函數(shù)的定義域為,且,令,則有,由,可得,可知當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:1-0+極小值,即,可得在區(qū)間單調(diào)遞增;(2)由已知可得函數(shù)的定義域為,且,由已知得,即,①由可得,,②聯(lián)立①②,消去a,可得,③令,則,由(1)知,,故,在區(qū)間單調(diào)遞增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)證明:由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,故當(dāng)時,,,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,因此,當(dāng)時,,即,亦即,這時,故可得,取,可得,而,故.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明,屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點,利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個,一是比較簡單的不等式證明,不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值即可;二是較為綜合的不等式證明,要觀察不等式特點,結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形,并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮,然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.18.(1)見解析(2)【解析】
(1)利用正弦定理求得,由此得到,結(jié)合證得平面,由此證得.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】(1)在中,由正弦定理可得:,,底面,平面,;(2)以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)平面的法向量為,由可得:,令,則,設(shè)二面角的平面角為,由圖可知為鈍角,則,,故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因為,所以.令,,則在單調(diào)遞減,因為,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因為,所以在區(qū)間上的值域為.點睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個點處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過程中,需要對公式的正確使用.20.(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程,對曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時,取最小值2.【點睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,極坐標(biāo)中的幾何意義,屬于中檔題21.(Ⅰ)見解析(Ⅱ).【解析】
(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,通過計算與的夾角得出與平面所成角.【詳解】(I)證明:取AC的中點M,連接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥B
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