福州第三中學(xué)2022年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.242.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°4.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.6.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4,寬為的長(zhǎng)方形,側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,俯視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A. B.C. D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.9.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.410.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù),如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.11.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.412.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實(shí)數(shù),滿足,則的最小值為__________.14.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.15.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.18.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線:.直線經(jīng)過點(diǎn),且傾斜角為,以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.19.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.20.(12分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.21.(12分)已知函數(shù),其中.(1)①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②若滿足,且.求證:.(2)函數(shù).若對(duì)任意,都有,求的最大值.22.(10分)已知等腰梯形中(如圖1),,,為線段的中點(diǎn),、為線段上的點(diǎn),,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2)(1)求證:平面;(2)在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的常考題型.2.B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù),即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.4.A【解析】

首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.5.C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時(shí),滿足輸出的值為8.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.6.B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱,由此可求得體積.【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.7.B【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值.【詳解】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,當(dāng)位于時(shí),此時(shí)的斜率最小,此時(shí).故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.8.C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識(shí).9.C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.10.B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn),面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和知識(shí)方法的遷移能力,屬于難題.11.C【解析】

計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.12.B【解析】

畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計(jì)算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由約束條件先畫出可行域,然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當(dāng)平行線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最小值,由可得,此時(shí),所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí),解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標(biāo)函數(shù),結(jié)合圖形求出最值,需要掌握解題方法.14.【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示,觀察可知,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:(1)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.16.【解析】

由,求出長(zhǎng)度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測(cè)值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對(duì)新高考了解的概率,中老年對(duì)新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【點(diǎn)睛】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)(t為參數(shù));(Ⅱ)或或.【解析】

試題分析:本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,用,化簡(jiǎn)表達(dá)式,得到曲線的極坐標(biāo)方程,由已知點(diǎn)和傾斜角得到直線的參數(shù)方程;第二問,直線方程與曲線方程聯(lián)立,消參,解出的值.試題解析:(1)即,.(2),符合題意考點(diǎn):本題主要考查:1.極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與直角方程的相互轉(zhuǎn)化;2.直線與拋物線的位置關(guān)系.19.y=2sin2x.【解析】

計(jì)算MN,計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn),N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣變換,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20.(1);(2)【解析】

(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(),設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.21.(1)①單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見解析;(2).【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.【詳解】解:,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;,或,若,因?yàn)?故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因?yàn)?所以,由在上單調(diào)遞增,綜上.時(shí),,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所

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