2021-2022學(xué)年甘肅省酒泉市重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長.C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.2.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.33.已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.5.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.136.已知等差數(shù)列的公差為-2,前項和為,若,,為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內(nèi)角為,則的最大值為()A.5 B.11 C.20 D.257.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.8.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個月的平均收入為萬元9.若函數(shù)在時取得極值,則()A. B. C. D.10.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.11.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明,此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明,能說出兩種發(fā)明的有45人,能說出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中,對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人12.已知函數(shù),若則()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復(fù)數(shù),則____________.14.已知定義在的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則的解集為__________________.15.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)的和為________16.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個數(shù);(2)證明:當(dāng)時,.18.(12分)已知函數(shù)(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程有兩個不同實(shí)根,,證明:.19.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個極值點(diǎn),且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實(shí)數(shù)和a的值(3)證明20.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.21.(12分)已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,求證:線段的中垂線恒過定點(diǎn).22.(10分)已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a5=45,a2+a6=1.(I)求{an}的通項公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:…,求{bn}的前n項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對于A選項:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對于B選項:與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長,所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長,故B正確;對于C選項:2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個,故C錯誤;對于D選項:去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析,學(xué)生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當(dāng)取2時,常數(shù)項為,當(dāng)取時,常數(shù)項為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對所取的項要進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實(shí)部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以且,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.4.D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.5.D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6.D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減,再由余弦定理結(jié)合通項可求得首項,即可求出前n項和,從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減,則,,中最大,最小,又,,為三角形的三邊長,且最大內(nèi)角為,由余弦定理得,設(shè)首項為,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前項和.故的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查求前n項和的最值問題,同時還考查了余弦定理的應(yīng)用.7.D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8.D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項正確;結(jié)余最高為月份,為,故項正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項正確;前個月的平均收入為萬元,故項錯誤.綜上,故選.9.D【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于常考題型.10.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

先求得名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的有人,設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人,則,解得人.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計總體,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增,結(jié)合與圖象,判斷出的大小關(guān)系,由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增;在同一坐標(biāo)系中作與圖象,,可得,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由于,則.14.【解析】

由已知得出函數(shù)是偶函數(shù),再得出函數(shù)的單調(diào)性,得出所解不等式的等價的不等式,可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足,所以函數(shù)是偶函數(shù),又當(dāng)時,,得時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以不等式等價于,即或,解得或,所以不等式的解集為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解,關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,屬于中檔題.15.1【解析】

設(shè),令,的值即為所有項的系數(shù)之和。【詳解】設(shè),令,所有項的系數(shù)的和為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地,對于,展開式各項系數(shù)之和為,注意與“二項式系數(shù)之和”區(qū)分。16.【解析】

分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當(dāng)時,此時,符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,.當(dāng),即時,最大.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)求出,分別以當(dāng),,時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的個數(shù).(2)令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出;同理可求出滿足,從而可得,進(jìn)而證明.【詳解】解析:(1),,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,,此時有1個零點(diǎn);當(dāng)時,無零點(diǎn);當(dāng)時,由得,由得,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴在處取得最小值,若,則,此時沒有零點(diǎn);若,則,此時有1個零點(diǎn);若,則,,求導(dǎo)易得,此時在,上各有1個零點(diǎn).綜上可得時,沒有零點(diǎn),或時,有1個零點(diǎn),時,有2個零點(diǎn).(2)令,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴.令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,∴,,∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)問題,考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點(diǎn)在于第二問不等式的證明中,合理設(shè)出函數(shù),通過比較最值證明.18.(1)(2)詳見解析【解析】

(1)將原不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求得的最大值即可;

(2)首先通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間,考查兩根的取值范圍,再構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為證明,探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證.【詳解】解:(1)由,即,即,令,則只需,,令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,的取值范圍是;(2)證明:不妨設(shè),當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,,當(dāng)時,,,要證,即證,由在上單調(diào)遞增,只需證明,由,只需證明,令,,只需證明,易知,由,故,,從而在上單調(diào)遞增,由,故當(dāng)時,,故,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最值等,關(guān)鍵是要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,把根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題,屬難題.19.(1)在區(qū)間單調(diào)遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】

(1)求出,在定義域內(nèi),再次求導(dǎo),可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結(jié)論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果;(3)由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項相消法,結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,令,則有,由,可得,可知當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:1-0+極小值,即,可得在區(qū)間單調(diào)遞增;(2)由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,由已知得,即,①由可得,,②?lián)立①②,消去a,可得,③令,則,由(1)知,,故,在區(qū)間單調(diào)遞增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)證明:由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,故當(dāng)時,,,可得在區(qū)間單調(diào)遞增,因此,當(dāng)時,,即,亦即,這時,故可得,取,可得,而,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明,屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個,一是比較簡單的不等式證明,不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值即可;二是較為綜合的不等式證明,要觀察不等式特點(diǎn),結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形,并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮,然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.20.(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定

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