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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.2.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.一個(gè)正四棱錐形骨架的底邊邊長(zhǎng)為,高為,有一個(gè)球的表面與這個(gè)正四棱錐的每個(gè)邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.4.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},則?R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)5.已知集合,,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.46.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a7.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中,為的中點(diǎn),在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.若集合,,則()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.11.在中,角的對(duì)邊分別為,,若,,且,則的面積為()A. B. C. D.12.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,且,,則________.14.在中,角的對(duì)邊分別為,且,若外接圓的半徑為,則面積的最大值是______.15.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_(kāi)________.16.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點(diǎn),且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)設(shè)拋擲4次的得分為,求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)當(dāng)游戲得分為時(shí),游戲停止,記得分的概率和為.①求;②當(dāng)時(shí),記,證明:數(shù)列為常數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).19.(12分)已知,均為正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和分別為,,且,,,當(dāng),時(shí),,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)無(wú)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過(guò)分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
對(duì)分類討論,當(dāng),函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),求出單調(diào)遞增區(qū)間,即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,的遞增區(qū)間是,所以,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性,熟練掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
根據(jù)正四棱錐底邊邊長(zhǎng)為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因?yàn)檎睦忮F底邊邊長(zhǎng)為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.4.D【解析】
求函數(shù)的值域得集合,求定義域得集合,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴?R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域,函數(shù)的值域,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.5.B【解析】
解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解:,.當(dāng)時(shí),,此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),,此時(shí)成立,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.6.C【解析】
兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
設(shè)出棱長(zhǎng),通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長(zhǎng)為:2,對(duì)于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對(duì)于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點(diǎn),所以,②正確;對(duì)于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標(biāo)原點(diǎn),平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.8.B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.11.C【解析】
由,可得,化簡(jiǎn)利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面積.【詳解】解:,,且,,化為:.,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12.D【解析】
連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題可得,解得,所以,,上述兩式相減可得,即,因?yàn)?,所以,即,所以?shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以.14.【解析】
由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式,結(jié)合范圍可求的值,利用正弦定理可求的值,進(jìn)而根據(jù)余弦定理,基本不等式可求的最大值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解:,由正弦定理可得:,,,又,,,即,可得:,外接圓的半徑為,,解得,由余弦定理,可得,又,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),即最大值為4,面積的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理,基本不等式,三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.15.【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.16.【解析】
設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng),高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng),高,則,即故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望為6;(2)①;②證明見(jiàn)解析【解析】
(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而可求出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,分別求出兩種情況的概率,進(jìn)而可求得;②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,可知當(dāng)且時(shí),,結(jié)合,可推出,從而可證明數(shù)列為常數(shù)列;結(jié)合,可推出,進(jìn)而可證明數(shù)列為等比數(shù)列.【詳解】(1)變量的所有可能取值為4,5,6,7,8.每次拋擲一次硬幣,正面向上的概率為,反面向上的概率也為,則,.所以變量的分布列為:45678故變量的數(shù)學(xué)期望為.(2)①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上,概率的和為.②得分分兩種情況,第一種為得分后拋擲一次正面向上,第二種為得分后拋擲一次反面向上,故且時(shí),有,則時(shí),,所以,故數(shù)列為常數(shù)列;又,,所以數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查常數(shù)列及等比數(shù)列的證明,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,則,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn),所以,即,所以,因?yàn)?,,則直線方程為,即;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,所以,所以,設(shè),則,所以在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)在是增函數(shù),因?yàn)闀r(shí),,,,所以當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,當(dāng)或時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于難題.19.(1),(2)【解析】
(1),所,兩式相減,即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式,由,整理得,得到,即可求解通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知,,即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)因?yàn)椋?,兩式相減,整理得,當(dāng)時(shí),,解得,所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列,即,因?yàn)椋淼?,又因?yàn)椋?,所以,即,因?yàn)?,所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及數(shù)列求和,關(guān)鍵在于對(duì)題中所給關(guān)系合理變形,發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,裂項(xiàng)求和作為一類常用的求和方法,需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式.20.(1),(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫(xiě)出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】(1)直線的普通方程為,即,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化,,,而,則,即,故直線l的普通方程為,曲線C的直角坐標(biāo)方程(2)點(diǎn)在直線l上,且直線的傾斜角為,可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),代入到曲線C的方程得,,,由參數(shù)的幾何意義知.【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.21.(1);(2).【解析】
(1)只需分,,三種情況討論即可
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