蘇教版高中數(shù)學(xué)選修（1-1）-3.4《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元復(fù)習(xí)教學(xué)教案

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合復(fù)習(xí)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解導(dǎo)數(shù)的概念2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.理解導(dǎo)數(shù)的運算；能利用導(dǎo)數(shù)公式表的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的極大(小)值；函數(shù)的最大(小)值5.理解導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用【重點與難點】1.導(dǎo)數(shù)的概念和切線方程2.利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題【學(xué)習(xí)過程】一、熱身訓(xùn)練1．曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________．解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，∴切線方程為y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1.答案：y＝3x＋12.已知函數(shù)f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，則f(eq\f(π,4))＝________.解析：f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx，∴f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)，即f′(eq\f(π,2))＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，f(eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝0.答案：03.若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，則a等于________．解析：令過(1,0)的直線與y＝x3切于點(x0，y0)，切線斜率為k＝3x02.設(shè)切線方程為y＝3x02(x－1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x03，,y0＝3x02(x0－1)))?x03＝3x03－3x02?2x03－3x02＝0?x0＝0或x0＝eq\f(3,2).故切線方程為y＝0或y＝eq\f(27,4)(x－1)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))?ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0，∵Δ＝0，∴a＝－eq\f(25,64).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(27,4)(x－1)，,y＝ax2＋\f(15,4)x－9))?ax2＋eq\f(15,4)x－9＝eq\f(27,4)(x－1)，∵Δ＝0，∴a＝－1.答案：－1或－eq\f(25,64)4．已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)＝0.當(dāng)x>0時，f(x)<0，∴0<x<1；當(dāng)x<0時，圖象關(guān)于y軸對稱，f(x)>0，∴x<－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)5.若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．解析：f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)≤0(x>－1)恒成立，即b≤x(x＋2)恒成立．又x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，∴b≤－1.答案：b≤－16．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(1,0)，則f(x)的極大值和極小值分別為________和________．解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0.即2p＋q＝3，①又f(x)過點(1,0)，∴1－p－q＝0,②由①②：p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，則x1＝eq\f(1,3)，x2＝1，當(dāng)x＝eq\f(1,3)時，f(x)極大值＝eq\f(4,27)；當(dāng)x＝1時，f(x)極小值＝0.答案：eq\f(4,27)07.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為________．解析：f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,(x2＋a)2)＝eq\f(a－x2,(x2＋a)2)，當(dāng)x>eq\r(a)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)減，當(dāng)－eq\r(a)<x<eq\r(a)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)增，當(dāng)x＝eq\r(a)時，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合題意，∴f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1二、知識要點1．平均變化率及瞬時變化率(1)f(x)從到的平均變化率是：。(2)f(x)在x＝處的瞬時變化率是。2．導(dǎo)數(shù)的概念(1)f(x)在x＝處的導(dǎo)數(shù)就是f(x)在x＝處的．記作：或f′()，即f′()＝.(2)當(dāng)把上式中的x0看作變量x時，f′(x)即為f(x)的，簡稱導(dǎo)數(shù)，即3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0),切線方程為．4．函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)＞0，則f(x)為．若f′(x)＜0，則f(x)為，若f′(x)＝0，則f(x)為．（2）如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化，這時，函數(shù)的圖象就越“”．（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)求f′(x)；(2)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．5．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的概念：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的．函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的．極小值點、極大值點統(tǒng)稱為，極大值和極小值統(tǒng)稱為(2)求函數(shù)極值的步驟：①；②；③檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取．6．函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在[a，b]上求最大值與最小值的步驟：(1)．(2).7．生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值問題應(yīng)注意：(1)在求實際問題中的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應(yīng)舍去．(2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，那么不與端點值比較，也可知道這就是最大(小)值．三、典例精講例1.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x2.(1)求x<0時，f(x)的表達式；(2)令g(x)＝lnx，問是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0處的切線互相平行？若存在，請求出x0的值；若不存在，請說明理由．解：(1)當(dāng)x<0時，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.(2)若f(x)，g(x)在x＝x0處的切線互相平行，則f′(x0)＝g′(x0)，又由題知x>0，則f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝eq\f(1,x0)，解得x0＝±eq\f(1,2)，∵x>0，∴x0＝eq\f(1,2).例2.若函數(shù)f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在區(qū)間(－eq\f(1,2)，0)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍解析：設(shè)g(x)＝x3－ax，則g′(x)＝3x2－a，①當(dāng)0<a<1時，f(x)在區(qū)間(－eq\f(1,2)，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)在(－eq\f(1,2)，0)上單調(diào)遞減，即當(dāng)－eq\f(1,2)<x<0時恒有g(shù)′(x)<0?a>3x2?a>eq\f(3,4)，∴a∈(eq\f(3,4)，1)；②當(dāng)a>1時，f(x)在區(qū)間(－eq\f(1,2)，0)上單調(diào)遞增，則g(x)在(－eq\f(1,2)，0)上單調(diào)遞增，即當(dāng)－eq\f(1,2)<x<0時恒有g(shù)′(x)>0?a<3x2?a<0，與a>1矛盾；③當(dāng)a＝eq\f(3,4)時，符合題意，∴a∈[eq\f(3,4)，1)．答案：[eq\f(3,4)，1)例3.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．(1)若在f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為eq\f(2,3)的點處存在垂直于y軸的切線，求a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(－2,3)內(nèi)有兩個不同的極值點，求a的取值范圍；(3)在(1)的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有三個交點？若存在，求出實數(shù)m的值，若不存在，說明理由．解：(1)依題意，f′(eq\f(2,3))＝0，∵f′(x)＝－3x2＋2ax，∴－3×(eq\f(2,3))2＋2·a·eq\f(2,3)＝0，∴a＝1.(2)若f(x)在區(qū)間(－2,3)內(nèi)有兩個不同的極值點，則方程f′(x)＝0在區(qū)間(－2,3)內(nèi)有兩個不同的實根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,f′(－2)<0，,f′(3)<0，,－2<\f(a,3)<3，))解得－3<a<eq\f(9,2)且a≠0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x3＋1無極值點，∴a的取值范圍為(－3,0)∪(0，eq\f(9,2))．(3)在(1)的條件下，a＝1，要使函數(shù)f(x)與g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的圖象恰有三個交點，等價于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1，即方程x2(x2－4x＋1－m)＝0恰有三個不同的實根．∵x＝0是一個根，∴應(yīng)使方程x2－4x＋1－m＝0有兩個非零的不等實根，由Δ＝16－4(1－m)>0，且1－m≠0，解得m>－3，且m≠1，∴存在m∈(－3,1)∪(1，＋∞)，使函數(shù)f(x)與g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1的圖象恰有三個交點.五．課堂鞏固：1.函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)________．①無極大值點、有四個極小值點②有三個極大值點、兩個極小值點③有兩個極大值點、兩個極小值點④有四個極大值點、無極小值點解析:根據(jù)圖象,用極值的定義直接判斷,得出答案.答案:③2.函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有極大值又有極小值，則a的