解三角形1.1.1正弦定理 課件

第一章解三角形

1.1.1正弦定理1、邊的關(guān)系：2、角的關(guān)系：3、邊角關(guān)系：1）兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=18001）大邊對大角，大角對大邊，等邊對等角一、回顧三角形中的邊角關(guān)系:ABCabc斜三角形中這一關(guān)系式是否仍成立呢?2）在直角三角形ABC中,C=900,則可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則同理可得從而當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，以上等式是否也成立？大家課后討論證明。

在一個三角形中,各邊的長和它所對角的正弦的比相等,即正弦定理證明：∵BACDabc而∴同理∴ha證法二：(面積法)證法三：(外接圓法)如圖所示,作△ABC外接圓則∴同理∴（R為△ABC外接圓半徑）ABCabcOD∠A=∠D1、當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖（1）證明:過A作單位向量垂直,則的夾角為_______,

的夾角為________,

的夾角為________.已知:△ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.求證:ACBabcj證法四：(向量法)由向量的加法可得則所以所以下略ACBabcj

在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引入單位向量？怎樣取數(shù)量積？在鈍角中，過A作單位向量j垂直于，

j

與的夾角為.

同樣可證得：jACB則有j

與的夾角為，變式:

在一個三角形中,各邊的長和它所對角的正弦的比相等,即正弦定理（R為△ABC外接圓半徑）1、在中，一定成立的等式是（）隨堂練習(xí)C一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。解三角形

利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？正弦定理在解三角形中的兩類應(yīng)用:(1)、已知兩角和任一邊,求一角和其他兩條邊.(2)、已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角(進(jìn)而求其他的角和邊)ABaCAaabB例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B

解：∵c=10A=450,C=300

∴B=1800-(A+C)=1050

由=得a===由=得b===20sin750=20×

=5+5例題講解：2、△ABC中，B=30°，c=150，b=50，則△ABC的形狀是（）A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形隨堂練習(xí)D例2、在ΔABC中，b=,B=600,c=1,求a和A，C

解：∵

=∴sinC===

∴

A=900

a==2

∵b>c,B=600

∴C<B,C為銳角，∴C=300例3.ΔABC中,c=,A=450a=2,求b和B、C.解：∵

=

∴sinC=

=

=

b===+1∴C=600∴當(dāng)C=600時，B=750

或C=1200∴當(dāng)C=1200

時，B=150

，b===-1

∴b=+1,B=750

，C=600

或b=-1，B=150

，C=1200請同學(xué)們思考兩個問題：1.為什么會出現(xiàn)兩個解？2.當(dāng)a=1時C有幾個解；當(dāng)a=時C有幾個解；當(dāng)a=3時C有幾個解ACaba<bsinA無解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b兩解BB1B2BACba一解aABabCABabCABabCa<b

無解a=b

無解a>b

一解練習(xí)1．在△ABC中，若，a=2，且三角形有解，則A的取值范圍是（）（A）0°<A<30°（B）0°<A≤45°（C）0°<A<90°（D）30°<A<60°B2．在△ABC中，若則△ABC一定是（）（A）等腰三角形（B）等腰直角三角形（C）直角三角形（D）等邊三角形D3．在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）（A）a=7，b=14，A=30°（B）a=30，b=25，A=150°（C）a=72，b=50，A=135°（D）a=25，b=30，A=30°D4．在△ABC中，已知a=5，B=120°，C=15°,則此三角形最大邊的長為

。5.已知△ABC，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大?。ūＡ舾柣蚓_到0.1）:(1)∠A=60°,∠B=45°,a=10；(2)a=3，b=4，∠A=30°；(3),c=6，∠B=120°.(1)∠A=60°,∠B=45°,a=10；解：因?yàn)椤螩=180°－(60°+45°)=75°,所以由正弦定理得(2)a=3，b=4，∠A=30°；由正弦定理得因此∠B=41.8°或∠B=138.2°，當(dāng)∠B=41.8°時，∠C=108.2°，當(dāng)∠B=138.2°時，∠C=11.8°，(3),c=6，∠B=120°.由正弦定理得因此∠C=45°或∠C=135°,因?yàn)椤螧=120°，所以∠C<60°，∠C=45°.∠A=180°－(∠B+∠C)=15°再由正弦定理求得a≈2.2例4.如圖在△ABC中，∠A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：證明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得兩式相除得例5.在△ABC