云南省大理市洱源縣第一中學2021年高三數(shù)學理模擬試題含解析

云南省大理市洱源縣第一中學2021年高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則的值為A．3 B．5 C． D．參考答案：D2.已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．設H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的較大值，min（p，q）表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則A﹣B=(

) A．a(chǎn)2﹣2a﹣16 B．a(chǎn)2+2a﹣16 C．﹣16 D．16參考答案：C考點：函數(shù)最值的應用．專題：壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：本選擇題宜采用特殊值法．取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．從而得出H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，再將兩函數(shù)圖象對應的方程組成方程組，求解即得．解答： 解：取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．則H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故選C．點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)最值的應用等，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．3.已知全集集合,則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則z的虛部是（ ）A．

B．

C．

D．參考答案：A因為，所以，所以z的虛部是，選D.

已知函數(shù)5.，則a的取值等于（

）A．-1

B．1

C．2

D．4參考答案：B6.設,，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A7.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36

參考答案：B本題主要考查線性規(guī)劃問題.作出約束條件所表示的可行域如圖，由圖可知，目標函數(shù)在點A處取到最大值，解得故選B。

8.（5分）已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，則A∩?RB=（

）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．[﹣1，0]∪[2，+∞）參考答案：B【考點】：交、并、補集的混合運算．集合．【分析】：求出A中不等式的解集確定出A，求出B中x的范圍確定出B，找出A與B補集的交集即可．解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，∴CRB=（﹣∞，0]∪（2，+∞），則A∩CRB=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），故選：B．【點評】：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．9.已知三個數(shù)a=0.32，b=log20.3，c=20.3，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a參考答案：A10.已知，，函數(shù)，下列四個命題：①是周期函數(shù)，其最小正周期為；②當時，有最小值；③是函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間；④點是函數(shù)的一個對稱中心.正確命題的個數(shù)是

（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：D②③④試題分析：函數(shù)的周期為，①為錯誤的；當時，取得最小值，此時，即，當時，，②為正確的；令，解得，函數(shù)的增區(qū)間為，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，③為正確的；令，解得，函數(shù)的對稱中心為，當時，得點是函數(shù)的一個對稱中心，④為正確的；綜上所述，②③④是正確的命題.故答案為②③④.考點：命題的真假；三角函數(shù)的性質(zhì).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x、、、y成等差數(shù)列，x、、、y成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________．參考答案：[4，+∞）或（-∞，0]略12.記等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，利用倒序求和的方法得：Sn=；類似的，記等比數(shù)列{bn}的前n項的積為Tn，且bn＞0（n∈N+），試類比等差數(shù)列求和的方法，可將Tn表示成首項b1，末項bn與項數(shù)n的一個關(guān)系式，即公式Tn=．參考答案：

【考點】進行簡單的合情推理；等比數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和；類比推理．【分析】由等差和等比數(shù)列的通項和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果，在運用類比推理時，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積．【解答】解：在等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=，因為等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項均為正的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn=（b1bn）故答案為：．13.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）（c＞0），作圓x2+y2=的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若=2﹣，則雙曲線的離心率是．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設右焦點為F′，由=2﹣，可得E是PF的中點，利用O為FF'的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求PF′、PF，再由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．【解答】解：設右焦點為F′，∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中點，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e=，故答案為：．14._____________.參考答案：略15.設曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+3=0垂直，則a=

．參考答案：-2【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求函數(shù)的導數(shù)，得到切線斜率，根據(jù)直線垂直關(guān)系即可得到解得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=，則曲線y=在點（3，2）處的切線斜率k=f′（3）==，∵直線ax+y+3=0的斜截式方程為y=﹣ax﹣3，斜率為﹣a，∴若切線與直線ax+y+3=0垂直，則﹣a×，則a=﹣2，故答案為：﹣216.以拋物線y2＝4x上的點A(4.，4)為圓心，且與拋物線的準線相切的圓被x軸截得的弦長為＿＿＿＿參考答案：617.已知上所有實根和為

參考答案：10

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知無窮數(shù)列的首項，.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）記，為數(shù)列的前項和，證明：對任意正整數(shù)，.參考答案：（Ⅰ）證明：①當時顯然成立；②假設當時不等式成立，即，那么當時，，所以，即時不等式也成立.綜合①②可知，對任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列。------------7分又，易知為遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列，所以當時，-------------------10分所以當時，------12分當時，，成立；當時，綜上，對任意正整數(shù)，-----------------------------------------------------------------15分19.已知函數(shù).（1）當時，討論導函數(shù)的零點個數(shù)；（2）當時，證明：.參考答案：(1)見解析；(2)見證明【分析】（1）對求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由，判斷的正負，利用零點存在定理可得結(jié)果.（3）利用（1）設的極小值點為，得，且，只需判斷.將變形，，利用基本不等式可證.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以，，所以在上存在唯一的零點．(2)由（1）可知：在上存在唯一的零點，設該零點為，則，當時，，當時，，所以在處取得最小值，由得，所以，，所以，由得，所以，而，當時，取“=”，而，所以，所以，即．【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，結(jié)合零點存在定理研究復雜函數(shù)的零點，考查不等式恒成立問題，考查等價變形能力、運算能力，屬于難題.20.近年來，某地區(qū)積極踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發(fā)展理念，2012年年初至2018年年初，該地區(qū)綠化面積（單位：平方公里）的數(shù)據(jù)如下表：

年份2012201320142015201620172018年份代號t1234567綠化面積y2.93.33.64.44.85.25.9

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，預測該地區(qū)2022年年初的綠化面積，并計算2017年年初至2022年年初，該地區(qū)綠化面積的年平均增長率約為多少．（附：回歸直線的斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為）參考答案：（1），，

………………4分線性回歸方程為

………………6分（2）將2022年年號11代入，預測綠化面積為7.8平方公里

………………9分設年平均增長率為x，則，，年平均增長率約為8.4%.

………………12分21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，），一個焦點為（，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y=k（x﹣1）（k≠0）與x軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點Q，求的取值范圍．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓過點（1，），結(jié)合給出的焦點坐標積隱含條件a2﹣b2=c2求解a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B橫縱坐標的和與積，進一步求得AB的垂直平分線方程，求得Q的坐標，由兩點間的距離公式求得|PQ|，由弦長公式求得|AB|，作比后求得的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，解得a=2，b=1．∴橢圓C的方程是；（Ⅱ）聯(lián)立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則有，，．∴線段AB的中點坐標為，∴線段AB的垂直平分線方程為．取y=0，得，于是，線段AB的垂直平分線與x軸的交點Q，又點P（1，0），∴．又=．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范圍為．【點評】本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是難題．22.高三一班、二班各有6名學生參加學校組織的高中數(shù)學競賽選拔考試，成績?nèi)缜o葉圖所示.（1）若一班、二班6名學生的平均分相同，求