中學物理中的平均值問題

中學物理中的平均值問題當我們研究的物理量是變量時，經常用一個與其等效的常量來替代，這就是該物理的平均值。使用物理量的平均值，可以使我們有一個大致的數(shù)量概念；同時引入平均值可以消除或減小誤差，簡化數(shù)學運算，方便使用。明確平均值的物理意義，弄清平均物理量的特點，掌握求平均值的數(shù)學方法，這是對學習運用平均值的三項基本要求。9.1中學物理中幾種常見的平均值使用物理量的平均值，除本身的物理意義外，還包含獲得這個平均值的數(shù)學過程和方法。9.1.1算術平均例如：做勻變速直線運動的物體，初速度為V］、末速度為V2。則物體在這段時間內的平均速度V=匕:匕，這一速度實際上也是物體在這段時間中點的瞬時速度。算術平均值是物理量平均平均值中最簡單常見的一種，物理實驗中各種數(shù)據(jù)的處理，基本上都是算術平均值。9.1.2幾何平均例如：質量為m的物體由戰(zhàn)地心『］遠處緩慢提升至距地心r2處，若物體在前后兩位置所受的萬有引力分別為F1和F2,則物體所受的萬有引力的平均值可由下述方法給出：由引GmM t ,t/ ,斗，、，匚力勢能公式E=-可知，在提升過程中物體引力勢能增量pr△E=-GmM-f-GmM］=GmM(r-r)，由于萬有引力做功與路徑無關，其數(shù)值等prkrJrr2i于引力勢能的增量，GmM因此，F(xiàn)(于引力勢能的增量，GmM因此，F(xiàn)(r—r)= (r—r)，2 1rr2 1GmMr1r29.1.3調和平均n平均的量只有兩個，上式變成了調和平均的定義X= 。若被平均的量只有兩個，上式變成了調11 1X+X+……+方12 nX=2X1X。例如汽車發(fā)動機的功率一定，當阻力不變時，汽車沿一略傾斜的斜坡向上調X+X2勻速行駛的速率為V］，向下勻速行駛的速率為v2,求汽車在水平路面上行駛的速率。因為汽車發(fā)動機的功率一定，因此有：(mgsinQ+^mgcos0)V=^mgV=(^mgcos。-mgsin0)V。由略微傾斜的條件可知cos9=1，從上式中消去sin9理可解得V=2丫2，中學物理中的調和平均還有“兩地之V+V間不同速率的往返問題”、“順水、逆水問題”等，都是在連續(xù)相等的兩段路程上兩個常速的調和平均。9.2兩類拓廣的平均值問題9.2.1冪平均如果被平均的量是某物理量的平方或高次方，這時的平均就是冪平均，它可由下式求V2+V2H V2出：V2= 2 n-V2+V2一，在研究勻變速直線運動時，若初速度為V^末速度為V2，則物理量、:122就是始末速度冪平均的結果，它實際上就是物體通過這段位移中點時的瞬時速度。用冪平均方法求出的速率就是所謂“方均根速率”寸祐，它與V是不同的。9.2.2加權平均在以上所見的到的各類求平均值的方法中，某一物理量的各原始數(shù)據(jù)在計算過程中所處的地位都是一樣的，但實際上并非始終如此。當它們在被研究的問題中所處的地位不同時，“加權平均”就是合理地反映它們平均過程中“權重”的的一種平均方法。例如：從甲地開往乙地的汽車，先以V］的速度行駛了時間,，又以速度v2行駛了時間t，求汽車從甲地到乙地的平均速度，它的結果V=匕‘1+匕‘2就是典型的加權平均。此外，2 t+1冷熱水混合后的平均溫度問題、求一條直線上幾個不同質量的質點的質心問題、幾種不同溶液混合后的密度問題都屬于加權平均。9.3求物理量平均值時應注意的問題物理學中平均值問題的特點在于它的量值不僅取決于物理問題的過程和性質，而且還依賴于獲得平均值的方法和手段。因此，求物理量的平均值時應注意以下幾點：9.3.1j是哪類問題的平均為了確定研究量的平均值的基本屬性，首先應根據(jù)平均值的定義取平均。如果物理學中的變量是離散型的，那么它的平均值可定義為：X=*^2，這實際i上就是前面所介紹的加權平均。_』X2（X）dX如果物理學中變量是連續(xù)型的，那么它的平均值定義為：Y=XX_X，這里被平2 1均的量Y（X）是自變量X的函數(shù)。在中學物理中這個積分的結果的一般表述形式可以寫成Y=券’即平均值就是積累量對自變量變化的比值。實際上很多物理量的平均值都是以這種方式給出的，如平均速度：V=蕓，平均感應電動勢E=學等。這種情況告訴我們，在取平均值時要強調平均值的屬性和數(shù)學處理方法，在求平均值時要強調平均量、積累量和自變量三者間的關系，即強調平均的定義和性質，不能憑經驗處理，否則極易發(fā)生錯誤。_ 1 1例如，求平均動能不能直接根據(jù)氣弓伸2,而必須從定義萬伸2出發(fā)，因為〃2和V2實際上并不等價；求平均功率時，也不能根據(jù)P=FV計算。這是由于平均物理量與一般物理量不同，不能將適用于一般物理量的關系式隨意推廣到平均物理量。濫用算術平均也是求證時常犯的一種錯誤，其實算術平均只適用于被平均的量是線性函數(shù)的情況，而在大量的實際問題中，被平均的量往往都是非線性的。例如：單擺擺球在14…,_1 一，—、-，，周期內平均速率，矩形線圈在有周期內的平均感應電動勢等，這些都不是算術平均。49.3.2對什么平均物理問題的性質決定了物理量的平均值的不同求法。一個物理量在確定的范圍內的平均值，取不同的權重時，可能有不同的結果。例如，對加速度取平均，如果以時間為權重，應有：_at+at+???+at AV+AV+???+AVV—Va= 2^2 nn=1 2 = 01 2如果以位移為權重，應有：as+asH Fas-^4 M r^~n~TOC\o"1-5"\h\zs+sF Fs(v2-V2) (v2-V2) (v2-V2)1 0 + 2 1 +...n n-12 2 2V2-V2=—n 02s這里的匕和as是有區(qū)別的，它們使用的場合也不盡相同。兩種加速度在勻變速直線運動中是等價的但對于一般有恒定規(guī)律的非勻變速運動就不一樣了。與此類似，對于平均力的計算，也存在同樣的問題。若物體在變力作用下沿受力方向由位置I運動到位置II,速度由V]變到V2,經過的時間為Z，則:fF(t)dt^mVTOC\o"1-5"\h\z力對時間的平均：F=A =—tt—t At\o"CurrentDocument"2 ]fF(x^dxW力對空間的平均：F=s =-\o"CurrentDocument"sx-x Ax前者是力對時間的積累效應，是從沖量的角度計算平均力的；而后者是力對空間累積效應，是從功的角度計算平均力的，二者不可混為一談。9.3.3在什么區(qū)間內平均任何一個