中心對稱及其性質

廠（例1）3（例2）廠（例1）3（例2）第一部分 中心對稱一、探索新知問題：作出如圖的兩個圖形繞點O旋轉180。的圖案，并回答下列的問題:以O為旋轉中心，旋轉180。后兩個圖形是否重合？各對稱點繞O旋轉180°后，這三點是否在一條直線上？解：像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點.例1.如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180°，請作出旋轉后的圖案，寫出作法并回答.（1）這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不是，請說明理由.（2）如果是中心對稱，那么A、B、C、D關于中心的對稱點是哪些點.矩形正方形矩形正方形分析：（1）根據(jù)中心對稱的定義便直接可知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心就是旋轉中心.（2）旋轉后的對應點，便是中心的對稱點.例2.如圖，已知AD是AABC的中線，畫出以點D為對稱中心，與^ABD成中心對稱的三角形.分析：因為D是對稱中心且AD是^ABC的中線，所以C、B為一對的對應點，因此，只要再畫出A關于D的對應點即可.二、應用拓展例3.如釁，在^ABC中，ZC=70°，BC=4,AC=4,現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到AA，B‘C'的位置.（1） 若平移的距離為3，求左ABC與^A'B，C'重疊部分的面積.（2） 若平移的距離為x（0WxW4），求^ABC與言B'C'重疊部分的面積y，寫出y與x的關系式.L籽f（例3）正方形圓矩形 菱形（2）三、練習（一）選擇題1.在英文字母VWXYZ中，是中心對稱的英文字母的個數(shù)有（）個.A.1B.2C.3D.4下面的圖案中，是中心對稱圖形的個數(shù)有（）個 A.1 B.2C.3D.4

如圖，把一張長方形ABCD的紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點為G,點D、C分別落在D，、C'的位置上，若ZEFG=55°,則Z1=() A.55° B.125°C.70°D.110°2.如圖，3.如圖，（2）是由兩個半圓組成的圖形，已知點B是2.如圖，3.如圖，（2）是由兩個半圓組成的圖形，已知點B是AC的中點，（3）畫出此圖形關于點B成（二）填空題關于某一點成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線必通.把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形是圖形.用兩個全等的直角非等腰三角形可以拼成下面圖形中的哪幾種：（填序號）（1）長方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四邊形；（5）等腰三角形；（6）梯形.（三）綜合提高題仔細觀察所列的26個英文字母，將相應的字母填入下表中適當?shù)目崭駜?DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ對稱形式軸對稱旋轉對稱中心對稱只有一條對稱軸有兩條對稱軸在正方形ABCD中，作出關于P點的中心對稱圖形，并寫出作法.中心對稱的圖形.第二部分 中心對稱的性質一、畫三角形ABC，分兩種情況作兩個圖形（1） 作^ABC一頂點為對稱中心的對稱圖形；（2） 作關于一定點O為對稱中心的對稱圖形.以^ABC的C點（或O點）為中心，旋轉180°畫出AA，B，和AA，B，C，，如圖1和用2所示.（1） （2）從圖1中可以得出△ABC與AA，B，C是全等三角形；分別連接對稱點AA，、BB，、CC，，點O在這些線段上且O平分這些線段.下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論.

證明：（1）在^ABC和AA，B，C，中，OA=OA，，OB=OB，，/AOB=/A，OB， 」.△AOB絲AA，OB， .?.AB=A，B，同理可證：AC=A，C，，BC=B，C， 「.△ABC絲AA，B，C，（2）點A，是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA證明：（1）在^ABC和AA，B，C，中，OA=OA，，OB=OB，，/AOB=/A，OB， 」.△AOB絲AA，OB， .?.AB=A，B，同理可證：AC=A，C，，BC=B，C， 「.△ABC絲AA，B，C，（2）點A，是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA繞點O旋轉180°得到線段OA，，所以點O在線段AA，上，且OA=OA，，即點O是線段AA，的中點.同樣地，點O也在線段BB，和CC，上，且OB=OB，，OC=OC，，即點O是BB，和CC，的中點.因此，得到結論關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分.關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.例1.如圖，已知△ABC和點O,畫出△DEF,（例1）使^DEF和^ABC關于點O成中心對稱.（例2）（例3）'CD，，使四邊形A，B，CD，不要求寫出作法）.例2.如圖，已知四邊形ABCD和點0,畫四邊形A，B和四邊形ABCD關于點0成中心對稱（只保留作圖痕跡，二、 應用拓展例3.如圖等邊△ABC內有一點0，試說明：OA+OB>OC.三、 練習（一）選擇題下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.直角 B.等邊三角形下列命題中真命題是（）兩個等腰三角形一定全等兩直線平行，同旁內角相等少將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖的所示的圖形，已知/CED，=60。，則ZAED的大小是（）A.60°B.50C.直角梯形 D.兩條相交直線菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形正多邊形的每一個內角的度數(shù)隨邊數(shù)增多而減C.75°D.55°關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過.關于中心對稱的兩個圖形是圖形.，而且被對稱中心所，它的對稱中心線段既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，它的對稱軸是

，而且被對稱中心所，它的對稱中心是.(三)綜合提高題分別畫出與已知四邊形ABCD成中心對稱的四邊形，使它們滿足以下條件：(1)以頂點A為對稱中心，(2)以BC邊的中點K為對稱中心.如圖，已知一個圓和點O,畫一個圓，使它與已知圓關于點O成中心對稱."二(2) 「、⑶如圖，A、B、C是新建的三個居民小區(qū)，我們已經在到三個小區(qū)距離相等的地方修建了一所學校M,現(xiàn)計劃修建居民小區(qū)D,其要求：(1)到學校的距離與其它小區(qū)到學校的距離相等；(2)控制人口密度，有利于生態(tài)環(huán)境建設，試寫居民小區(qū)D的位置.第三部分 關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用一、探索新知如圖，在直角坐標系中已知A(-3，1)、B(-4,0)、C(0，3)、D(2,2)、E(3,-3)、F(-2,-2),作出A、B、C、D、E、F點關于原點O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答這些坐標與已知點的坐標有什么關系？（例1）（例1）討論的內容：關于原點作中心對稱時，①它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？②坐標與坐標之間符號又有什么特點？兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,y)關于原點O的對稱點P'(-x,-y).例1.如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與線段AB關于原點對稱的圖形.例2.已知△ABC,A(1,2),B(-1,3),C(-2,4)利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出AABC關于原點對稱的圖形.二、應用拓展例3.如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，將直線AB繞點O順時針旋轉

90°得到直線A1B1.（1）在圖中畫出直線A1B1. （2）求出線段A1B1中點的反比例函數(shù)解析式.（3）是否存在另一條與直線AB平行的直線y=kx+b（我們發(fā)現(xiàn)互相平行的兩條直線斜率k值相等）它與雙曲線只有一個交點，若存在，求此直線的函數(shù)解析式，若不存在，請說明理由.（選作）三、練習（一）選擇題下列函數(shù)中，圖象一定關于原點對稱的圖象是（）A.y=LB.y=2x+1C.y=-2x+1xD.以上三種都不可能如圖，已知矩形ABCD周長為56cm，O是對稱線交點，點O到矩形兩條鄰邊的距離之差等于8cm，則矩形邊長中較長的一邊等于（） A.8cm B.22cm C.24cmD.11cm（二） 填空題如果點P（-3,1），那么點P（-3,1）關于原點的對稱點P'的坐標是P'.寫出函數(shù)y=-3與y=3具有的一個共同性質（用對稱的觀點寫）.xx（三） 綜合提高題1.如圖，在平面直角坐標系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），畫出△ABC關于x軸對稱的AA'BzCz，再畫出AA'Bz。關于y軸對稱的△▲〃B〃C〃，那么^人〃B〃C〃與AABC有什么關系，請說明理由.（1） （2）如圖，直線AB與x