2016普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷Ⅰ)理科數(shù)學(xué)

2016一般高等學(xué)校招生全國一致考試(全國卷Ⅰ)·理科數(shù)學(xué)總分?jǐn)?shù)170分時長:不限題型單項選擇題填空題綜合題題量1248總分6020901(5分)設(shè)會集A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A.B.C.D.2(5分)設(shè)（1+i）x=1+yi，此中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）1B.C.D.23(5分)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）A.100B.99C.98D.974(5分)某企業(yè)的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超出10分鐘的概率是（）A.B.C.D.5(5分)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）（﹣1，3）（﹣1，）（0，3）（0，）6(5分)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A.17πB.18πC.20πD.28π7(5分)函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大體為（）A.B.C.D.8(5分)若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.ac＜bcB.abc＜bacC.alog

bc＜blogacD.log

ac＜log

bc9(5

分)執(zhí)行下邊的程序框圖，假如輸入的

x=0，y=1，n=1，則輸出

x，y的值滿足（

）A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10(5分)以拋物線C的極點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.2B.4C.6D.811(5分)平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的極點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A.B.C.D.12(5分)已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為（）A.11B.9C.7D.513(5分)設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且，則m=____1____．14(5分)（2x+）5的睜開式中，x3的系數(shù)是____1____．（用數(shù)字填寫答案）15(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2a的最大值為____1____．n16(5分)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新式資料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲資料1.5kg，乙資料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲資料0.5kg，乙資料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲資料150kg，乙資料90kg，則在不超出600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為____1____元．17(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．(1)(6分)求C；(2)(6分)若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．18(12

分)如圖，在以

A，B，C，D，E，F(xiàn)為極點的五面體中，面

ABEF為正方形，

AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角

D﹣AF﹣E與二面角

C﹣BE﹣F都是

60°．(1)(5分)證明平面ABEF⊥平面EFDC；(2)(7分)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19(12分)某企業(yè)計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被裁減．機(jī)器有一易損部件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這類部件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用時期，假如備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損部件，為此采集并整理了100臺這類機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損部件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損部件數(shù)的頻率取代1臺機(jī)器更換的易損部件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損部件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損部件數(shù)．(1)(4分)若要求P（X≤n）≥0.5，確立n的最小值；(2)(5分)以購買易損部件所需花費的希望值為決策依照，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)采納哪個？(3)(3分)求X的分布列；20(12分)設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．(1)(5分)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)(7分)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．21(12分)已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．(1)(5分)求a的取值范圍；(2)(7分)設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．22(10分)如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．(1)(5分)證明：直線AB與⊙O相切；(2)(5分)點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB//CD．23(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ．(1)(5分)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)(5分)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=，此中滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．24(10分)已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．(1)(5分)在圖中畫出y=f（x）的圖象；(2)(5分)求不等式|f（x）|＞1的解集．2016一般高等學(xué)校招生全國一致考試(全國卷Ⅰ)·理科數(shù)學(xué)參照答案與試題分析1(5分)設(shè)會集A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A.B.C.D.【分析】解：∵會集B={x|2x﹣3＞0}=（

A={x|x，+

2﹣4x+3＜0}=（1，3），），∴A∩B=（

，3），應(yīng)選：D．【答案】D2(5分)設(shè)（1+i）x=1+yi，此中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）1B.C.D.2【分析】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得即|x+yi|=|1+i|=，應(yīng)選：B．【答案】B3(5分)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）100999897【分析】解：∵等差數(shù)列{an}前9項的和為27，S9===9a5．9a5=27，a5=3，又∵a10=8，d=1，∴a100=a5+95d=98，應(yīng)選：C．【答案】C4(5分)某企業(yè)的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超出10分鐘的概率是（）A.B.C.D.【分析】解：設(shè)小明到達(dá)時間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超出10分鐘，故P==，應(yīng)選：B．【答案】B5(5分)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）（﹣1，3）（﹣1，）（0，3）（0，）【分析】解：∵雙曲線兩焦點間的距離為4，∴c=2，當(dāng)焦點在x軸上時，222可得：4=（m+n）+（3m﹣n），解得：m=1，∵方程

表示雙曲線，22∴（m+n）（3m﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點在y軸上時，222可得：﹣4=（m+n）+（3m﹣n），解得：m=﹣1，無解．應(yīng)選：A．【答案】A6(5分)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A.17πB.18πC.20πD.28π【分析】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個球去掉可得：=，R=2．

后的幾何體，如圖：它的表面積是：

×4π

22+

=17π．應(yīng)選：A．【答案】A7(5分)函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大體為（）A.B.C.D.【分析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時，y=8﹣e2∈（0，1），故消除A，B；當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=y=2x2﹣ex，f′（x）=4x﹣ex=0有解，2|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故消除C，故函數(shù)y=2x﹣e應(yīng)選：D．【答案】D8(5分)若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A.ac＜bcB.abc＜bacC.alogbc＜blogacD.logac＜logcb【分析】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函數(shù)f（x）=xc在（0，+）上為增函數(shù)，故ac＞bc，故A錯誤；函數(shù)f（x）=xc-1在（0，+）上為減函數(shù)，故ac-1＜bc-1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B錯誤；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D錯誤；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbcblogac，故C正確；應(yīng)選：C．【答案】C9(5分)執(zhí)行下邊的程序框圖，假如輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）y=2xy=3xy=4xy=5x【分析】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，應(yīng)選：C．【答案】C10(5分)以拋物線C的極點為圓心的圓交C于A、B兩點，交|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（

C的準(zhǔn)線于）

D、E兩點．已知A.2B.4C.6D.8【分析】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA=

=，|OD|=|OA|，+5，解得：p=4．C的焦點到準(zhǔn)線的距離為：4．應(yīng)選：B．【答案】B11(5分)平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的極點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面

ABB1A1=n，則

m、n所成角的正弦值為（

）A.B.C.D.【分析】解：如圖：α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n//CD1，m//B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．應(yīng)選：A．【答案】A12(5x=

分)已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（

0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點，，）上單調(diào)，則ω的最大值為（）11975【分析】解：∵∴

x=-

為f（x）的零點，

x=

為y=f（x）圖象的對稱軸，（n∈N），即ω=2n+1，（n∈N），即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在

上單調(diào)，則

﹣=≤

，即T=當(dāng)ω=11∵|φ|≤

≥，解得：ω≤12，時，-+φ=kπ，k∈Z，，∴φ=-，此時

f（x）在（

，

）不但調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω=9時，-

+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤

，∴φ=

，此時

f（x）在

單調(diào)，滿足題意；故ω的最大值為應(yīng)選：B．【答案】B

9，13(5

分)設(shè)向量

=（m，1），

=（1，2），且

，則

m=____1____．【分析】解：

，可得

．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．【答案】-214(5分)（2x+）5的睜開式中，x3的系數(shù)是____1____．（用數(shù)字填寫答案）【分析】解：（2x+）5的睜開式中，通項公式為：，令5-=3，解得r=4，3∴x的系數(shù)=10．故答案為：10．【答案】1015(5分)設(shè)等比數(shù)列{a}滿足a+a=10，a+a=5，則aaa的最大值為____1____．n132412n【分析】解：等比數(shù)列{a}滿足a+a=10，a+a=5，n1324可得q（a1+a3）=5，解得q=．a(chǎn)1+q2a1=10，解得a1=8．n1+2+3++（n﹣1）=8n=，12n1當(dāng)n=3或4時，表達(dá)式獲得最大值：=26=64．故答案為：64．【答案】6416(5分)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新式資料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲資料1.5kg，乙資料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲資料0.5kg，乙資料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲資料150kg，乙資料90kg，則在不超出600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為____1____元．【分析】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，贏利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過A時，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)獲得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．【答案】21600017(12分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．(1)(6分)求C；(2)(6分)若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【分析】已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及引誘公式化簡，依據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確立出出C的度數(shù)；(2)利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinCcosC=，C=；由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，a+b=5，∴△ABC的周長為5+．18(12分)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為極點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．(1)(5分)證明平面ABEF⊥平面EFDC；(2)(7分)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】(1)證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判判定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立以下列圖的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【答案】證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，DF∩EF=F，AF⊥平面EFDC，AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB//CD，∴CD//EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點，建立以下列圖的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）設(shè)平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則，則，取=（，0，﹣1）．設(shè)平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則，則，取=（0，，4）．設(shè)二面角

E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ=

=

，則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為．19(12分)某企業(yè)計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被裁減．機(jī)器有一易損部件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這類部件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用時期，假如備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損部件，為此采集并整理了

100臺這類機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損部件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這

100臺機(jī)器更換的易損部件數(shù)的頻率取代

1臺機(jī)器更換的易損部件數(shù)發(fā)生的概率，

記

X表示

2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損部件數(shù)，

n表示購買

2臺機(jī)器的同時購買的易損部件數(shù)．(1)(4分)若要求P（X≤n）≥0.5，確立n的最小值；(2)(5分)以購買易損部件所需花費的希望值為決策依照，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)采納哪個？(3)(3分)求X的分布列；【分析】(1)由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能確立滿足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．(2)法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出買19個所需花費希望EX1和買20個所需花費希望EX2，由此能求出買19個更適合．法二：解法二：購買部件所用花費含兩部分，一部分為購買部件的花費，另一部分為備件不足時額外購買的花費，分別求出n=19時，花費的希望和當(dāng)n=20時，花費的希望，從而獲得買19個更適合．由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．【答案】由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）=P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=買19個所需花費希望：EX1=200（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，買20個所需花費希望：EX2=200×20×+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴買19個更適合．解法二：購買部件所用花費含兩部分，一部分為購買部件的花費，另一部分為備件不足時額外購買的花費，當(dāng)n=19時，花費的希望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，當(dāng)n=20時，花費的希望為：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴買19個更適合．解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=，P（X=17）=，P（X=18）=P（X=19）=，P（X=20）=，P（X=21）=，P（X=22）=，∴X的分布列為：X16171819202122P20(12分)設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．(1)(5分)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；(2)(7分)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．【分析】(1)求得圓A的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，求得a，b，c，即可獲得所求軌跡方程；(2)設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可獲得所求范圍．【答案】解：證明：圓x2+y2+2x﹣15=0即為（x+1）2+y2=16，可得圓心A（﹣1，0），半徑r=4，由BE//AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即為∠D=∠EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，則點E的軌跡方程為+=1（y≠0）；(2)橢圓C1：，設(shè)直線l：x=my+1，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），由22可得（3m+4）y+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，則|MN|=|1﹣y2|===12，A到PQ的距離為d=，|PQ|=2=，則四邊形MPNQ面積為S=|PQ||MN|=12，當(dāng)m=0時，S獲得最小值12，又＞0，可得S＜24=8，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）．21(12分)已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．(1)(5分)求a的取值范圍；(2)(7分)設(shè)x，x是f（x）的兩個零點，證明：x+x＜2．1212【分析】由函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），對a進(jìn)行分類談?wù)摚C合談?wù)摻Y(jié)果，可得答案．(2)設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，則﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的單調(diào)性，令m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）=

，設(shè)h（m）=

，m＞0，利用導(dǎo)數(shù)法可得

h（m）＞h（0）=0恒建立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒建立，令

m=1﹣x1＞0，可得結(jié)論．【答案】解：∵函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）ex=0?x=2，函數(shù)f（x）只有獨一的零點2，不合題意；x②若a＞0，那么e+2a＞0恒建立，當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取極小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函數(shù)f（x）在x＞1存在一個零點；當(dāng)x＜1時，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的兩根為t1，t2，且t1＜t2，2則當(dāng)x＜t1，或x＞t2時，f（x）＞a（x﹣1）+e（x﹣1）﹣e＞0，故函數(shù)f（x）在x＜1存在一個零點；即函數(shù)f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；③若＜a＜0，則ln（﹣2a）＜lne=1，當(dāng)x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒建立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，故當(dāng)x=ln（﹣2a）時，函數(shù)取極大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；④若a=，則ln（﹣2a）=1，當(dāng)x＜1=ln（﹣2a）時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞加，函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；⑤若a＜，則ln（﹣2a）＞lne=1，當(dāng)x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，當(dāng)1＜x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒建立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒建立，故f（x）單調(diào)遞加，故當(dāng)x=1時，函數(shù)取極大值，由f（1）=﹣e＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+）證明：∵x1，x2是f（x）的兩個零點，f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴當(dāng)x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞加；設(shè)m＞0，則

g（1+m）﹣g（1﹣m）=

-

=

，設(shè)h（m）=

，m＞0，則h′（m）=

＞0恒建立，即h（m）在（0，+）上為增函數(shù)，h（m）＞h（0）=0恒建立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒建立，令m=1﹣x1＞0，則g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）?2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．22(10分)如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．(1)(5分)證明：直線AB與⊙O相切；(2)(5分)點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB//CD．【分析】設(shè)K為AB中點，連結(jié)OK．依據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線．設(shè)圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明