二維隨機(jī)變量

第四章 隨機(jī)向量§1 二維隨機(jī)變量及其分布在實際問題中，有很多隨機(jī)現(xiàn)象，往往需要引進(jìn)商個.三個或更多個變量來描述,為此，有必要研究多維隨機(jī)變量.本節(jié)主要對二維隨機(jī)變量展開討論，至于二維以上情形可以類推.一二維隨機(jī)變景及其分布1- 定義設(shè)隨機(jī)試蛉的樣本空間為0,X和丫是定義在□上的兩個隨機(jī)變血，我們稱向景（X,y）為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.2?定義：義設(shè)（x,y）是一個二維隨機(jī)變量，二元函數(shù)FO,2）= （一ooO＜十co,—ooVVV+8）稱為（x,v）的分布函數(shù)，或稱x與丫的聯(lián)合分布函數(shù).如果隹（X.Y）肴成是平而！:的魂機(jī)點，妙分布函數(shù)FQJ）表示啟（x,y）落在無限的矩形區(qū)域=“一 毛此內(nèi)的概率,容易看出隨機(jī)點（X,Y）落在健形域：的概率為=F3芬饑）一F（%,垢）—F（色*拍）+F（%.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)F。"）有下列諸條性質(zhì)：0＜F3）＜，2口FIX30對■其和y分別是單調(diào)不減的，即對任意的為若為＜劉則Fg，）MF（%y）f對任意的七若七〈為，則F。, 為）}3° 對每個變元是右連續(xù)的;4°limFO,y)=0.lim T)=0§Vf—8)imF。，7)=0；髯i~ilimF〈*,7)=1,Xf+m1—+3以上結(jié)果常記成；F(—co,y)=0,F(x,—co)=。*F(—co,—8)=0*F(+oo,+8)=1.二二維離散型隨機(jī)變景若二維隨機(jī)變量〈X,K）的所有可能取的值是有限個或可列無限多個數(shù)組，則稱〈X,礦）為二維肯列型隨機(jī)變量.■?n■■ r. -■ I 設(shè)（X*丫）是二維離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為（&,w）,（bj=l,2*…），其取值規(guī)律記為P{X-XitF=打，（f,j=lr2,…）則稱P{X^xi9Y=Uj}—pij（i3J—1,2,…）為（7GV〉的分布律.分布律常用袤格形式表達(dá)，其形式為

滿足 f"1例1設(shè)隨機(jī)變y>H能取《一LD),(0,OT(ofD三組翊且取這些數(shù)對的概率分別是｝§和*r試用表格形式列出(X,F)的分布律.W￡裝中有5個同樣大小的球，Z個涂有白色，3個禰有紅色，現(xiàn)進(jìn)行有放回地與無放回地抽球兩次，每次抽一只，定義隨機(jī)變量x_f°>若第一次抽到紅球若第一次抽到白球55 25戶{Xh戶{Xh〕*y—i}=—?—=^A5525其表格形式為9 6其表格形式為9 625 25J 425 25無放回地抽取，其分布律為6565P{jY=O子Y=1}=—*—=—

【例】從1,2,3,4四個整數(shù)中隨機(jī)地取一個'記所取的數(shù)為X,再從I到X中隨機(jī)地取一個，記所取的數(shù)為y,求的分布律.解顯然x,丫均為離散型隨機(jī)變量，它們的可能取值均為1,2,3,4,(X,Y)的分布律::

三二維連續(xù)型隨機(jī)變置1.定義：設(shè)FSG為二維隨機(jī)變量頃”的分布諼數(shù)，如果對任意（孫必，存在非負(fù)可積函數(shù)『3,G,?I了3,y）dxdyJ一ctJ—aS尸｛3,尸｛3,必興｝=。y)dxdy例3已知（才，F(xiàn)）的盈度函數(shù)為心y）=玲（6一,1皿'GW2,2&W4

"。， 其它設(shè)⑴刀I為平面上由黑■＜，所確定的區(qū)域（圖2—14以（2）3為平面上由x+y＜^所確定的區(qū)域（圖2—15）.試求（＞=1,2）,解⑴P{(xty)CZ)J=F(1,3)~y^dxdy*13= \fSy)dxdyJ-cdJ-?=j*匚普6f-必的=亨

<2) (禮I+, 小例4設(shè)(X,K)的密度函數(shù)為O0,y>0其它求⑴常數(shù)勺(2)分布函數(shù)*⑶(X,F》落在三角形區(qū)域心0, 3忘2-曷內(nèi)的概率〈圖2—16).1*12-1Q1*12-1Q解有也就是(1)解有也就是(1)由密度函數(shù)性質(zhì)(幻「山「fooJ°[yf=i=e「-礦勺+fl°[-#叮0由此求得c=l+ca=1n(2)I(2)IJ 5"如如0.fS護(hù)dud。其它穴1一礦*)(1),w>0,y>0n,其它(3)P{(Xf%)EG}=||/(x,y)<!xdy=Jdx==(1一gTF=0,3996二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的分布有均勻分布和正態(tài)芬布.1?二維均勻分布"設(shè)G是平面上面積為zz(0<zj<+oo)的區(qū)域■稱二維隨機(jī)向量(XW)服從G上的均勻分布,如果F{(X,n&G)=l,且CC"取值屬于G之任何部分占以是G的子區(qū)域)的概率與A的面積成正比，這時(XJO稱為二維均勻分布隨機(jī)向量.均勻分布隨機(jī)向量(XY)的聯(lián)合密度為0,其它.2?二維正態(tài)分布：如果￡=(XN)的密度函數(shù)(f8VhV+°°￥—8<；,<+8)(其中一ocV/M*V+8*—ooV的V+g*ch>(hcrg>0#Ip|<l是5個參數(shù))則稱服從二維正態(tài)分布(或稱為二Jft正態(tài)分布隨機(jī)向量)，稱小為二維正態(tài)密度.邊緣分布'通過上邊的討論.不3?著出，二維隨機(jī)變量的每一個分?量又都是一維隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)當(dāng)然是一纏的，又由于〈X,F》作為一個整體又有聯(lián)合分布，那么分賢的分布與聯(lián)合分布必然存在某種聯(lián)系，這一點表現(xiàn)出分量分布與前邊所講的一維分布不完全相同*于是引入邊緣分布幌念.I離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)（X,丫》的聯(lián)合分布律為RX=為,yUXL,2,河得GO（竿）=F。勺+8）=￡52Pa:t,Vtf三1可知應(yīng)的分演律為toj=i同櫛，F(xiàn)的分布律為尹｛￥=隊｝=?力mJr2,*如<=1記=?=P{X=”J9SHL2*'T>i■=L*“=】,由“=旦廠7=h2t…顯然，X與F的分布也是離散型的.邊緣分布律與聯(lián)合分布律可用同一表格表達(dá)出來，其形式如下：例5已知（X,丫）的聯(lián)合分布律為x-23一」0330J230263063063039A23303030求關(guān)于*和關(guān)于F的邊緣分布律.解先列表計算

由此得到關(guān)于火與關(guān)于F的邊緣分布律分別為X-1 2 3187P■303030F-123-Pk303030有^x（x>=I /（x,y）dc/x,J-sij—. j扇然關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)Fg是連續(xù)型的，其密度函數(shù)為扣3）=\f〈方君）心.J-?同理ri-g/y（V）=I心,10dxJ-《=是關(guān)于V的邊緣密度函數(shù)-意))當(dāng)已知二維連續(xù)型隨機(jī)向量（X.Y）的分布密度p】.意))時,求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度時,須計算積分J*■'二n力（―>）d?J—?如（，）= 戶0如（，）= 戶0商）di.J1二―當(dāng)p<^.y）的表達(dá)式分區(qū)域給出，并且在某些區(qū)域上/>（工心）=0,為了計算積分為了計算積分如M)=首先要根據(jù)為危以)的表達(dá)式，確定N的取值的某些范圍.在這些范圍內(nèi)，對任意〃有"少=Q,于是，當(dāng)］在這些范圍內(nèi)取值時如G)=°，意在這些范圍之外取值時，把衛(wèi)視為常數(shù)，確定'的取值范圍，使pG")產(chǎn)。,從而積分化為在上述的取值范圍內(nèi)的積分?一般「對y積分的上，下限可能是衛(wèi)的函數(shù),計算,+OU/（H.y）djr—CTj的方法與工)類假例6設(shè)〈X,7)在平面區(qū)域G(圖2-19所示)上服從陶勻分布,求(D關(guān)于(X,F)的聯(lián)合分布密度函數(shù)，(2)關(guān)于X和關(guān)于￥的邊緣密度函數(shù).解(1)G的面積為S(G)=1,因此得(X,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為I r1 , 3*攜€GfgT,其它(2)先求關(guān)于X的邊緣密度函巍.當(dāng)或丈＞2時，顯然，43)當(dāng)0<x<2時,TOC\o"1-5"\h\zt? rf3,y)dy=IL j+i^t> OJyi- ￡1一言，C<x<20,其它同理求得關(guān)于V的邊緣分布密度函敬2(1-1/),0<p<l0，其它【例8】P.109----例1.7例7設(shè)(X,P)服從二維正態(tài)分布，它的密度函數(shù)為SG=湍云念蕓祠-點訓(xùn)肅關(guān)于X與關(guān)于r的邊緣密度函數(shù).打⑴=匚川，必必=洞^^M 1_ 「業(yè)一心金-— —例)-詢'金&心一函Lcti2 o-jcr3丁ffi河見關(guān)于X的邊緣分布為（由，。了）.由對稱性知關(guān)于丫的邊緣分布為*（出，a/）Te-徹）22{T22例7告訴我們w二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，而且均與參數(shù)Q無關(guān),該例還姓一步表明「邊緣分布由聯(lián)合分布唯一確定，而反過來，一般情況下邊緣分布不能確定聯(lián)合分布.即一般情況下3豐0）f（x，力，f（x）f（》）五觸機(jī)變■的獨立性例7的結(jié)論指出，一艘情況下邊緣分布不能確定聯(lián)合分布，這里隱含著在特殊情況下，邊緣分布還可以確定聯(lián)合分布，這種特殊情況是由X與V間的相互關(guān)系所決定的，我們把這種關(guān)系稱為X0P的相互獨立性，下也給出具體定義.設(shè)Fsm, 分別是（X,r>的聯(lián)合分布函數(shù)和邊綠分布函數(shù)，若對一切的*和y都有F⑷y）—F^（.r）7?y（y>則稱隨祖變量X與F相互獨立.利用事件的糧互獨立性定義及分布函數(shù)與密度函數(shù)間的I關(guān)系,可以推出隨機(jī)變量相互獨立性有如下等價關(guān)系，（1）若（X,『）是離散型隨機(jī)變量，X與V相互獨立的充分必要條件是，對（X,T）的所有可能取值〈&,們〉都有（2）若〈x,『）是連續(xù)型隨機(jī)變量『則x與v相互獨立的充分必要條件是，對一切的K,f（x『=fAy）下面給出（2）的證明'如果X、F相互獨立，則由fx（x）dx"-? f\這說明x、『相互獨立.【注意】（i）在判斷x和y是否相互獨立時,首先由（x,y）的概率分布（分布密度）求出關(guān)于x的邊緣分布（邊緣分布密度）和關(guān)于y的邊緣分布（邊緣分布密度），再確定其獨立性.（2）聯(lián)合密度決定邊緣密度?一般講，邊緣密度不能決定聯(lián)合密度，但當(dāng)x,v相互獨立時,兩個邊緣密度gG和勤頃》的乘積就是聯(lián)合密度，也就是說*當(dāng)x獨立時，邊緣密度也能確定聯(lián)合密度.（3）由例7知，二維正態(tài)分布，f（乙y）豐f（w,（y）,（p。°）若（x,丫）服從二維正態(tài)分布,則它們相互獨立的充要條件是p=o.例8設(shè)（X、F）?的聯(lián)合分布律為TOC\o"1-5"\h\z旦 J ￡20 20 202 1220 20 M2^ ￡20 商 20何X與『是否相有獨立?p=PggP宙（i，j=1,2,3）X，Y是相互獨立的.9證明例6中兩隨機(jī)變量不相互獨立.由例6知…11《方y(tǒng)）丘G0,其它m)=}—蘇?！葱?o.其它<2(1—y5s0<yVl偈T。，其它.在f（x,必,f的連續(xù)點y=^-處勤=1顯然"-亳Ar\2Z」故X與V不粗互獨立例1。證明銅7中的兩個隨機(jī)變量X與/相互獨立的一充分必要條件是P=0.證設(shè)X與V相互獨立.由例7知X與V的密度函數(shù)分1 _ -1）七別是"心■廠,1 一（■一咨三、住E）=彰兀建,例口設(shè)（X,丫）的分布函數(shù)是]_君-。如」?*2十廠msp,太河,O，. 其它問（1）X與Y是否相互整立<2）求P{XA120,r>i2OFJB<i>x與/的辿緣分布函數(shù)是.F又3)=F(s4-co)_1F又3)=F(s4-co)_1一苗2Z邱,y>Qy<0對一切的*,V都有F〈禮幼=Fx3F—y）故X與丫相互獨立.<2)由于X與F相宜獨立，=：1一FW2。}]口一FW20}]=T1-^^(120)X1-Ft(12O)J=廠￡回*0.。907獨立性的概念是由實際問題中提密來的，在獨立的情無下，邊緣分布唯一決定聯(lián)合分布，這就將-二維的問題化為一維問題，使問題簡單化了，因此獨立性的概念是非常重要的概念.【例12】已知X,F獨立同分布，其概率密度為/對s x>0I0 jcW。試寫出(XfY)的聯(lián)合概率密度。六.習(xí)題：1.課外：…1,(補(bǔ)充)求概率尸(1-XV2,3<Y<4)2, 4,82.課內(nèi)： ---3,5,7.例15設(shè)(X-XifX,)的