2023年山西省太原市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)

2023年山西省太原市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.1

B.0

C.2

D.

2.A.1/3B.1C.2D.3

3.A.0B.1C.2D.4

4.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

5.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

6.

7.若函數(shù)f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

8.A.A.∞B.1C.0D.－1

9.

10.微分方程y"-4y=0的特征根為A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

11.設在點x=1處連續(xù)，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2

12.

13.

14.（）。A.3B.2C.1D.0

15.

16.設等于()A.A.-1B.1C.-cos1D.1-cos1

17.當x→0時，3x2+2x3是3x2的()。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小但不是等價無窮小D.等價無窮小

18.設y=cos4x，則dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

19.設f(x)為區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.

B.

C..

D.不能確定

20.當x→0時，與x等價的無窮小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

二、填空題(20題)21.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______．

22.

23.設y=cosx，則y'=______

24.

25.

26.

27.

28.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。

29.

30.

31.

32.

33.設z=x2+y2-xy，則dz=__________。

34.微分方程y=x的通解為________。

35.

36.

37.設，且k為常數(shù)，則k=______．

38.

39.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

43.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

44.

45.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

46.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

47.

48.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

51.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

52.

53.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

54.求微分方程的通解．

55.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

56.證明：

57.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

58.

59.

60.

四、解答題(10題)61.

62.求，其中區(qū)域D是由曲線y=1+x2與y=0，x=0，x=1所圍成．

63.

64.

65.

66.求xyy=1-x2的通解．

67.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數(shù)，且f(x)＝xlnx，求F(x)．

68.

69.

70.在曲線y=x2(x≥0)上某點A(a，a2)處作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12．試求：(1)切點A的坐標((a，a2)．(2)過切點A的切線方程．

五、高等數(shù)學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.D解法1由于當x一0時，sinax～ax，可知故選D．

解法2故選D．

3.A本題考查了二重積分的知識點。

4.A由于定積分

存在，它表示一個確定的數(shù)值，其導數(shù)為零，因此選A．

5.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質(zhì)。由于所給定積分的積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)f(x)=x3+x為連續(xù)的奇函數(shù)。由定積分的對稱性質(zhì)可知

可知應選A。

6.B

7.C本題考查了導數(shù)的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

8.C本題考查的知識點為導數(shù)的幾何意義．

9.A解析：

10.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B。

11.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念。

由于y為分段函數(shù)，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續(xù)點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

12.B

13.B

14.A

15.D

16.B本題考查的知識點為可變上限的積分．

由于，從而知

可知應選B．

17.D本題考查的知識點為無窮小階的比較。

由于，可知點x→0時3x2+2x3與3x2為等價無窮小，故應選D。

18.B

19.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應選B。常見的錯誤是選C。如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤。

20.B?

21.(0，0)本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的一般步驟，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在點x1，x2，…，xk兩側，y"的符號是否異號．若在xk的兩側y"異號，則點(xk，f(xk)為曲線y=f(x)的拐點．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．當x=0時，y=0．

當x＜0時，y"＜0；當x＞0時，y"＞0．因此點(0，0)為曲線y=x3-6x的拐點．

本題出現(xiàn)較多的錯誤為：填x=0．這個錯誤產(chǎn)生的原因是對曲線拐點的概念不清楚．拐點的定義是：連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點．其一般形式為(x0，f(x0))，這是應該引起注意的，也就是當判定y"在x0的兩側異號之后，再求出f(x0)，則拐點為(x0，f(x0))．

注意極值點與拐點的不同之處!

22.

23.-sinx

24.1

25.

本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

26.

27.

本題考查的知識點為定積分的基本公式．

28.

29.

30.

31.

32.(12)(01)

33.(2x-y)dx+(2y-x)dy34.本題考查可分離變量的微分方程．分離變量得dy=xdx，兩端分別積分，∫dy=∫xdx，

35.3本題考查了冪級數(shù)的收斂半徑的知識點.

所以收斂半徑R=3.

36.極大值為8極大值為8

37.本題考查的知識點為廣義積分的計算．

38.

39.

40.2本題考查的知識點為極限運算．

由于所給極限為“”型極限，由極限四則運算法則有

41.

42.

列表：

說明

43.由二重積分物理意義知

44.45.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

46.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％47.由一階線性微分方程通解公式有

48.

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.

51.

52.

53.

54.55.由等價無窮小量的定義可知

56.

57.函數(shù)的定義域為

注意

58.

59.

則

60.

61.62.積分區(qū)域D如圖1-4所示。D可以表示為0≤x≤1，0≤y≤1+x2本題考查的知識點為計算二重積分，選擇積分次序。如果將二重積分化為先對x后對y的積分，將變得復雜，因此考生應該學會選擇合適的積分次序。

63.

64.

65.

66.解先將方程分離變量，得

即為原方程的通解，其中c為不等于零的任意常數(shù)．67.本題考查的知識點為兩個：原函數(shù)的概念和分部積分法．

由題設可得知

68.

69.70.由于y=x2，則y'=2x，曲線y=x2上過點A(a，a