第講集合與映射

會(huì)計(jì)學(xué)1第講集合與映射第一節(jié)集合與映射一、集合的基本概念二、集合的基本運(yùn)算三、映射的基本概念四、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域第1頁(yè)/共77頁(yè)康托爾將集合定義為：所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間有明確區(qū)別的那些對(duì)象（這些對(duì)象稱(chēng)為元素）作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果。1.集合一、集合的基本概念第2頁(yè)/共77頁(yè)第3頁(yè)/共77頁(yè)2.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括上。表示集合的方法有兩種:注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得重復(fù)出現(xiàn)。（唯一，互異，無(wú)序）第4頁(yè)/共77頁(yè)3.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為?？占侨魏我粋€(gè)集合的子集：第5頁(yè)/共77頁(yè)4.有限集、無(wú)限集：含有有限個(gè)元素的集合稱(chēng)為有限集；含有無(wú)限個(gè)元素的集合成為無(wú)限集。第6頁(yè)/共77頁(yè)二、集合的基本運(yùn)算在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合運(yùn)算的概念第7頁(yè)/共77頁(yè)第8頁(yè)/共77頁(yè)一般說(shuō)來(lái),AB第9頁(yè)/共77頁(yè)交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律2.集合的運(yùn)算性質(zhì)冪等律吸收律第10頁(yè)/共77頁(yè)1.

實(shí)數(shù)集與數(shù)軸實(shí)數(shù)集為有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集的并.實(shí)數(shù)具有稠密性和連續(xù)性.aR，必

n

Z，使n

a

<

n+1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).三、實(shí)數(shù)、區(qū)間、鄰域第11頁(yè)/共77頁(yè)2.

絕對(duì)值、距離任一實(shí)數(shù)a

的絕對(duì)值|a|

定義為：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)a，b

之間的距離為

d=|ab|

。第12頁(yè)/共77頁(yè)3.區(qū)間(1)

閉區(qū)間[a,b]={x|a

x

b}ab(2)

開(kāi)區(qū)間(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()第13頁(yè)/共77頁(yè)(a,b]={x|a

<

x

b}

(稱(chēng)為左開(kāi)右閉區(qū)間)[a,b)={x|a

x

<

b}

(稱(chēng)為右開(kāi)左閉區(qū)間)(3)

半開(kāi)閉區(qū)間ab。[)第14頁(yè)/共77頁(yè)(4)

無(wú)窮區(qū)間[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)第15頁(yè)/共77頁(yè)(5)區(qū)間長(zhǎng)度有限區(qū)間的長(zhǎng)度=右端點(diǎn)值－左端點(diǎn)值

不論是閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)閉區(qū)間，其長(zhǎng)度計(jì)算均按此式進(jìn)行。

所有無(wú)窮區(qū)間的長(zhǎng)度=+∞第16頁(yè)/共77頁(yè)U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.鄰域第17頁(yè)/共77頁(yè)?(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0第18頁(yè)/共77頁(yè)點(diǎn)的某鄰域，

記為

U(x0).點(diǎn)

的某去心鄰域，

記為

?(x0).第19頁(yè)/共77頁(yè)點(diǎn)x0=3的

=0.1

鄰域?yàn)辄c(diǎn)x0=3的去心

=0.1

鄰域?yàn)槔?第20頁(yè)/共77頁(yè)四、映射的基本概念1.映射第21頁(yè)/共77頁(yè)注意：1)

映射是集合間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.集合X

、Y中所含的元素不一定是數(shù)，可以是其它的一些對(duì)象(或事物)。2)

對(duì)每一個(gè)xX，只有唯一的一個(gè)yY

值與之對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定就是映射。對(duì)應(yīng)，這一點(diǎn)很重要，它說(shuō)明集合間元素的第22頁(yè)/共77頁(yè)3)

映射的定義不排除幾個(gè)不同的x

值與同一個(gè)y值對(duì)應(yīng)。RfXYfy2x1x2x3y1.....第23頁(yè)/共77頁(yè)設(shè)f

為集X

到集Y

的一個(gè)映射。如果

xX，存在唯一的

y=f(x)Y

與之對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái),若

y

Y,

存在唯一的

x

X

使得

y=f(x),

則稱(chēng)f

是

X

到Y(jié)

的一一對(duì)應(yīng)。2.一一對(duì)應(yīng)第24頁(yè)/共77頁(yè)第二、三節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的基本概念二、函數(shù)的基本性質(zhì)三、基本初等函數(shù)四、初等函數(shù)第25頁(yè)/共77頁(yè)一、函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義第26頁(yè)/共77頁(yè)第27頁(yè)/共77頁(yè)2.

函數(shù)的表示法解析法表格法圖示法

自己看書(shū)！第28頁(yè)/共77頁(yè)3.求函數(shù)定義域舉例

數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象是函數(shù)，確定函數(shù)的定義域是一件十分重要的事情。通常依據(jù)：分式的分母不能為零；負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方；已知的一些函數(shù)的定義域；物理意義；幾何意義等來(lái)確定函數(shù)的定義域。第29頁(yè)/共77頁(yè)例1第30頁(yè)/共77頁(yè)例2求的定義域。第31頁(yè)/共77頁(yè)將

x

表示為:函數(shù)y=[x]=“整數(shù)”稱(chēng)為取整函數(shù)，它是一個(gè)分段函數(shù)。例3“整數(shù)”

+

“正的小數(shù)”或

“零”第32頁(yè)/共77頁(yè)想想取整函數(shù)的圖形是什么樣子？第33頁(yè)/共77頁(yè)例4第34頁(yè)/共77頁(yè)

定義域與對(duì)應(yīng)規(guī)則均相同的兩個(gè)函數(shù)相同。

如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同?4.判斷函數(shù)相同第35頁(yè)/共77頁(yè)例6第36頁(yè)/共77頁(yè)5.函數(shù)的圖形稱(chēng)為函數(shù)f(x)

的圖形。在平面上建立直角坐標(biāo)系Oxy，則

xy

平面上的點(diǎn)集是否所有的函數(shù)均可繪出幾何圖形？第37頁(yè)/共77頁(yè)例7狄利克雷函數(shù)就不能作出幾何圖形.Dirichlet1805—1859

狄利克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他以出色的數(shù)學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理方程等領(lǐng)域的杰出成果，成為繼高斯之后與雅可比齊名的德國(guó)數(shù)學(xué)界的核心人物之一。第38頁(yè)/共77頁(yè)單調(diào)性有界性奇偶性周期性二、函數(shù)的基本性質(zhì)第39頁(yè)/共77頁(yè)1.單調(diào)性

在不需要區(qū)別上面兩種情況時(shí)，一般將統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)增加,記為。第40頁(yè)/共77頁(yè)

在不需要區(qū)別上面兩種情況時(shí)，一般將統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)減少,記為。第41頁(yè)/共77頁(yè)

函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部性的性質(zhì),它與所討論的區(qū)間I有關(guān).第42頁(yè)/共77頁(yè)

畫(huà)畫(huà)圖就一目了然.例9我們以后將運(yùn)用微積分的方法研究函數(shù)的單調(diào)性。第43頁(yè)/共77頁(yè)2.有界性

有界性

有上界

有下界

有界第44頁(yè)/共77頁(yè)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實(shí)數(shù)A,B,使對(duì)一切x

I

恒有A

f(x)

B則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

上有界。否則,稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

I

上無(wú)界。函數(shù)有界性的定義第45頁(yè)/共77頁(yè)y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函數(shù)有界示意圖

第46頁(yè)/共77頁(yè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

上有界你能理解嗎?第47頁(yè)/共77頁(yè)成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是上方有界的,簡(jiǎn)稱(chēng)有上界。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義。

若存在實(shí)數(shù)M(可正，可負(fù))，對(duì)一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M第48頁(yè)/共77頁(yè)

f(x)≥m在區(qū)間I

上是下方有界的,簡(jiǎn)稱(chēng)有下界。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

上有定義。若存在實(shí)數(shù)m(可正，可負(fù)),對(duì)一切x

I

恒有成立，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)y=f(x)第49頁(yè)/共77頁(yè)

函數(shù)y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在區(qū)間I上:xyABO第50頁(yè)/共77頁(yè)無(wú)窮多個(gè)下界，所有下界中最大者稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)在區(qū)間I

上有下界，則必有若函數(shù)間I

上的下確界，記為無(wú)窮多個(gè)上界，所有上界中最小者稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)在區(qū)間I上有上界，則必有若函數(shù)間

I上的上確界，記為有上(下)界的函數(shù)是否必有上(下)確界？可以證明：有上(下)界的函數(shù)必有上(下)確界.第51頁(yè)/共77頁(yè)如何證明或判斷函數(shù)無(wú)界？提一個(gè)問(wèn)題：第52頁(yè)/共77頁(yè)證明或判斷無(wú)界，通常依據(jù):函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

上無(wú)界，則不論

M>

0的值取得多么大，總使得

|

f(x0

)|>M

成立。第53頁(yè)/共77頁(yè)易知：例10解在其定義域內(nèi)是無(wú)界的。

故函數(shù)在任何一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)有界。第54頁(yè)/共77頁(yè)3.奇偶性若

xDf,有f(x)=f(x)成立，則稱(chēng)

f(x)為偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)。若

xDf,有f(x)=

f(x)成立，則稱(chēng)

f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域Df

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。第55頁(yè)/共77頁(yè)三、基本初等函數(shù)大家在中學(xué)就已熟悉它們了！第56頁(yè)/共77頁(yè)以下六種簡(jiǎn)單函數(shù)稱(chēng)為基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)

y=C

(C

為常數(shù)

)2.冪函數(shù)y=x

(

R為常數(shù)

)3.指數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a1)第57頁(yè)/共77頁(yè)4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,a1)5.三角函數(shù)

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函數(shù)y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx詳情見(jiàn)書(shū)第58頁(yè)/共77頁(yè)四、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)·····？如何描述第59頁(yè)/共77頁(yè)1.復(fù)合函數(shù)設(shè)有映射及的每一個(gè)x

所對(duì)應(yīng)的u

值，都屬于f(u)的定義域

Df，如果對(duì)于映射的定義域(或定義域的一部分

)中那么，將代入消去u

后,就有其中，u

稱(chēng)為中間變量。與稱(chēng)之為函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。第60頁(yè)/共77頁(yè)由函數(shù)可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)函數(shù)復(fù)合后一般應(yīng)重新驗(yàn)證它的定義域例13第61頁(yè)/共77頁(yè)函數(shù)復(fù)合而成?它是由以下幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成:例14解復(fù)合函數(shù)分解到什么時(shí)候?yàn)橹梗?/p>

以上過(guò)程稱(chēng)為對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解

分解到基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算為止.第62頁(yè)/共77頁(yè)是一一對(duì)應(yīng)(即映射f

是一一對(duì)應(yīng)),稱(chēng)

f的

f的反函數(shù).只有在一一對(duì)應(yīng)的前提下才能有反函數(shù).與互為反函數(shù).2。反函數(shù)的定義第63頁(yè)/共77頁(yè)例16第64頁(yè)/共77頁(yè)反函數(shù)的圖形

將函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)寫(xiě)成x=f

1(y)時(shí)，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形相同.

將函數(shù)y=