分組分解法因式分解

分組分解法(第二教時(shí))分組分解法(第二教時(shí))(一)復(fù)習(xí)(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)把下列多項(xiàng)式因式分解(1)2x(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(二)新課講解1.引入提問(wèn)：如何將多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解？分析：很顯然，多項(xiàng)式am+an+bm+bn中既沒(méi)有公因式，也不好用公式法。怎么辦呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).這樣就有:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法。說(shuō)明：如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來(lái)分解因式。練習(xí)：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y(2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b(4)2m-2n-4x(m-n)2．應(yīng)用舉例例1.把a(bǔ)2-ab+ac-bc分解因式分析:把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，分別提出公因式a與c后，另一個(gè)因式正好都是a-b,這樣就可以繼續(xù)提公因式。解：a2—ab+ac—bc=(a2-ab)+(ac—bc)=a(a—b)+c(a—b)=(a—b)(a+c)例2：把2axT0ay+5by-bx分解因式分析：把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降冪排列，然后從兩組中分別提出公因式2a與-b,這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y,這樣就可繼續(xù)提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提問(wèn)：這兩個(gè)例題還有沒(méi)有其他分組解法？請(qǐng)你試一試。如果能,請(qǐng)你看一下結(jié)果是否相同？練習(xí)：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b(2)a2+2ab-ac-2bc(3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3(6)2ax+6bx+5ay+15by(7)mn+m-n-1(8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx(10)x2-2bx-ax+2ab(11)ma2+na2-mb2-nb2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1．3．5．7．9．11.13.15.a(m＋n)－b(m＋n)n(x＋y)＋x＋yp(m－n)－m＋na2＋ac－ab－bc2x3－x2＋6x－3xy＋x－y－1x3－2x2y－4xy2＋8y4x3＋4x2y－9xy2－9y2.4.6.8.10.12.14.16.xy(a－b)＋x(a－b)a－b－q(a－b)2a－4b－m(a－2b)3a－6b－ax＋2bx2ax＋6bx＋7ay＋21byax2＋bx2－ay2－by23m－3y－ma＋ayx3y－3x2－2x2y2＋6xy分組分解法(第三教時(shí))分組分解法(第三教時(shí))(一)復(fù)習(xí)1．提問(wèn)：什么是分組分解法？分組時(shí)有什么要求？2．用分組分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4(二)新課講解1．例題分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上節(jié)課一樣，分別把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，則無(wú)法繼續(xù)分解，但把一、三兩項(xiàng)和二、四兩項(xiàng)分別分成兩組，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交換律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分組=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b)練習(xí):用分組分解法因式分解：再提公因式(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，雖然后兩項(xiàng)有公因式，但前后兩組之間卻沒(méi)有公因式，不好繼續(xù)分解。如果把一、四兩項(xiàng)和二、三兩項(xiàng)分成兩組，就可以繼續(xù)分解了。解：m2+5n-mn—5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(3)x2+yz-xy-xz(5)5am+b-a-5bm(2)5ax2-b2-b2x+5ax(4)4x2+3z-3xz-4x(6)x2-yz+xy-xz四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1．mn＋m－n－13．m3－m2＋m－15．a(chǎn)2－2b＋ab－2a7．xy－z＋y－xz9．mx3－mx2－mx＋m2．3mx＋4ny＋4my＋3nx4．m3＋m2－m－16．a(chǎn)x＋by＋ay＋bx8．a(chǎn)2x＋by－ay－abx10．a(chǎn)2b－a2c＋a3－abc(一)復(fù)習(xí)分組分解法(第四教時(shí))分組分解法(第四教時(shí))(3)a2(3)a2-2ab+b2=例5：把x2-y2+ax+ay分解因式1．什么是分組分解法？2．把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd(3)5ax+6by+10ay+3bx3.填空⑴a2-b2二(二)新課講解1．例題與練習(xí)(2)ay2-ax+bx-by2(4)5x2+7a-7ax-5x(2)a2+2ab+b2= 分析：顯然無(wú)論如何分組都無(wú)法用前面的知識(shí)來(lái)分解，是不是無(wú)法分解呢？不是。由于第一、二兩項(xiàng)滿足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四兩項(xiàng)有公因式a,而ax+ay=a(x+y).這時(shí)可以看出(x+y)(x-y)與a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a(bǔ)2-2ab+b2-c2分解因式分析：用剛才的方法不能見(jiàn)效。我們發(fā)現(xiàn)a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此時(shí)，原式就變?yōu)?a-b)2-C2,再用平方差公式。分組運(yùn)用完全平方公式運(yùn)用平方差公式解：a2-2ab+b2—c2=(a2-2ab+b2分組運(yùn)用完全平方公式運(yùn)用平方差公式=(a-b)2-c2=[(a-b)+c][(a-b)-c]=(a-b+c)(a-b-c)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1.4x2－y2－4x＋2y2.b2－a2＋ax＋bx3.m－2n＋m2－4n24.p＋3q－9q2＋p25.s2－t2＋3s－3t6.x2－2x＋2y－y27.4a2－b2－2a－b8.9a2－6a＋2b－b29.x2－2x＋1－y210.m2＋2mn＋n2－p211.4x2－4xy＋y2－16z212.a2－b2－2bc－c213.x2－4y2＋4y－114.x2－y2－z2－2yz(一)復(fù)習(xí)把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2(4)a2-b2+2bc-c2提問(wèn)：什么樣的多項(xiàng)式可以用分組后運(yùn)用公式法？(二)新課講解1．例題與練習(xí)例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第(1)題分好的兩組中，雖然第一組可用平方差公式，但與第二組卻無(wú)公因式，因此無(wú)法分解。如果將括號(hào)去掉，再重新分組，得x2-(4y2-4y+1)，此題可用分組后直接用公式法分解因式。在第(2)題中，先用平方差公式分解，再用分組分解法。注意：必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。解：⑴(x2-4y2)+(4y-1)=x2-4y2+4y-1=x2-(4y2-4y+1)=x2—(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2+2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)(2ab-a2)+(c2-b2) (2)(ax+by)2+(bx-ay)24a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多項(xiàng)式分解因式x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2分組分別提公因式提公因式運(yùn)用平方差公式相同因式寫(xiě)成冪的形式先提公因式分組運(yùn)用完全平方公式解：⑴x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)(x分組分別提公因式提公因式運(yùn)用平方差公式相同因式寫(xiě)成冪的形式先提公因式分組運(yùn)用完全平方公式提問(wèn)：還有其他解法嗎？a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2)=a[a2-(b2-4bc+4c2)]=a[a2-(b-2c)2]=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)]運(yùn)用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理練習(xí)：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13．作業(yè)：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1(2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1.3ax+5ay—6bx—10by2.a2—b2—4a—4b3.m2—4mn＋4n2—44.4—x2—2xy—y25.ax2—ay2＋a2x—a2y6.a3＋2a2b＋ab2—a7.a2b2—a2—2ab—b28.x3—x2y＋xy2—y39.(ax—by)2＋(bx＋ay)210．(m2－4n2)＋(4n－1)11．(a2—m2—n2)2—4m2n2分組分解法(第五教時(shí))(一)復(fù)習(xí).什么是分組分解法？怎樣才是正確的分組？.把下列多項(xiàng)式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq(二)新課講解.引入(1)把x2+(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已學(xué)的知識(shí)來(lái)分解因式，可以把式子展開(kāi)為x2+px+qx+pq。這時(shí)，可以用分組分解法。x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我們知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(2)特點(diǎn)式子x2+(p+q)x+pq的特點(diǎn)為：(1)二次項(xiàng)的系數(shù)是1。(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積。(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。說(shuō)明：根據(jù)上面的結(jié)果，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。.應(yīng)用舉例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15分析：(1)x2+3x+2的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)2=1X2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2。這是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。(2)x2-7x+6的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)6=(-1)X(-6),一次項(xiàng)系數(shù)-7=(-1)+(-6)。這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。x2+x-2的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)-2=(-1)X2,一次項(xiàng)系數(shù)1=(-1)+2。這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。

x2-2x-15的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)-15=(-5)X3,一次項(xiàng)系數(shù)-2=(-5)+3,這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。解：(1)因?yàn)?=1X2,并且3=1+2,所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2)因?yàn)?=(-1)X(-6),并且-7=(-1)+(-6),所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)(3)因?yàn)?2=(-1)X2,并且1=(-1)+2,所以x2+x-2=(x-1)(x+2)(4)因?yàn)?15=(-5)X3,并且-2=(-