同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件-上冊(cè)第三章d34單調(diào)與凹凸

第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,例2.

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且證證明*證明令則從而即定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),例4.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸對(duì)應(yīng)例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加

,及B1.

設(shè)在

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè)

P1523(1),(7);5(2),(4);9(3),(6);10(3);13;14;*15

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;第五節(jié)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證明：備用題令得從而三