直接證明數(shù)學(xué)歸納法

感謝你的觀看直接證明--數(shù)學(xué)概括法姓名____________班級(jí)___________學(xué)號(hào)____________分?jǐn)?shù)______________一、選擇題．（山東省新泰一中08-09學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（理））已知命題及其證明:(1)當(dāng)時(shí),左側(cè)=1,右側(cè)=因此等式建立;(2)假定時(shí)等式建立,即建立,則當(dāng)時(shí),,因此時(shí)等式也建立?由(1)(2)知,對(duì)隨意的正整數(shù)n等式都建立?經(jīng)判斷以上談?wù)揂．命題、推理都正確B命題不正確、推理正確C．命題正確、推理不正確D命題、推理都不正確2（．浙江海寧一中2010屆高三暑期考試（理））已知,則等于( )A．B．C．D．．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明“”（）時(shí)，從“”時(shí)，左側(cè)應(yīng)增加的式子是（）A．B．C．D．4．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）某個(gè)命題與正整數(shù)n相關(guān)，假如當(dāng)時(shí)命題建立，那么可推合適時(shí)命題也建立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不建立，那么可推得（）A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不建立B．當(dāng)n=6時(shí)該命題建立C．當(dāng)n=4時(shí)該命題不建立D．當(dāng)n=4時(shí)該命題建立感謝賞析感謝你的觀看．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明時(shí)，由的假定到證明時(shí)，等式左側(cè)應(yīng)增加的式子是（）A．B．C．D．6．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）設(shè)，則（）A．B．C．D．7．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)概括法證明時(shí)，若已假定為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用概括假定再證（）A．時(shí)等式建立B．時(shí)等式建立C．時(shí)等式建立D．時(shí)等式建立8．（安徽省蚌埠二中2009屆高三9月第一次質(zhì)量檢測(cè)（理））設(shè)n棱柱有f(n)個(gè)對(duì)角面，則n+1棱柱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)f(n+1)等于（）A．f(n)+n+1B．f(n)+nC．f(n)+n-1D．f(n)+n-29．（2009屆上海市數(shù)學(xué)新教材高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)月考（數(shù)列，向量，矩陣））若命題P(n)對(duì)全部的n=2建立，且由P(k)建立能夠推證P(k+2)也建立，則必然有（）A．P(n)對(duì)全部正整數(shù)都建立B．P(n)對(duì)全部大于等于2的正整數(shù)都建立C．P(n)對(duì)全部正偶數(shù)都建立D．P(n)對(duì)全部正奇數(shù)都建立10．（福建省福州八中2009屆選修4-5模塊）用數(shù)學(xué)概括法證明“”時(shí)，由的假定證明時(shí)，假如從等式左側(cè)證明右側(cè)，則必然證得右側(cè)為（）感謝賞析感謝你的觀看A．B．C．D．二、填空題11．（浙江省臺(tái)州中學(xué)08-09學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)練（文））設(shè)正數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和為,對(duì)全部正整數(shù)n都有,則經(jīng)過(guò)概括猜想可獲得=___________12．（上海市浦東新區(qū)2008-09學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)高三理）用數(shù)學(xué)概括法證明等式：（，），考證時(shí)，等式左側(cè)=_________．13．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，當(dāng)?shù)诙郊俣}為真時(shí)，從而需證時(shí)，命題亦真.14．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明“”時(shí)，第一步考證為.15．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)條這樣的直線把平面分成個(gè)地區(qū)，則條直線把平面分紅的地區(qū)數(shù).16．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）凸邊形內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角為.三、解答題17．（福建省三地09-10學(xué)年高二五校聯(lián)考（理））已知數(shù)列知足,(1)計(jì)算的值;(2)由(1)的結(jié)果猜想的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論?感謝賞析感謝你的觀看18．（山東省新泰一中08-09學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（理））已知數(shù)列{an}知足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,設(shè)bn=n+n(n∈N*).求{bn}的通項(xiàng)公式.19．（廣東省汕尾市08-09學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（理））等差數(shù)列中,,為方程的兩根,前項(xiàng)和為.等比數(shù)列的前項(xiàng)和(為常數(shù)).求;(II)證明:對(duì)隨意,;(III)證明:對(duì)隨意,20．（浙江海寧一中2010屆高三暑期考試（理））若n為大于1的自然數(shù),求證:21．（南通市2009屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)參照答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）已知．用數(shù)學(xué)概括法證明：.22．（江蘇南京市2009屆高三第一次調(diào)研測(cè)試（3月））已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè).試用數(shù)學(xué)概括法證明：當(dāng)時(shí)，.23．（山東省聊城市07-08學(xué)年度第二學(xué)期期末高二(理)）已知函數(shù)，且隨意的感謝賞析感謝你的觀看（1）求、、的值；（2）試猜想的解析式，并用數(shù)學(xué)概括法給出證明.24．（河南省豫南七校2008—2009學(xué)年高三上期期中聯(lián)考（理））設(shè)數(shù)列知足：，（I）當(dāng)時(shí)，求并由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式；（II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)全部的，有（i）;（ii）.25．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）設(shè)數(shù)列，此中，求證：對(duì)都有（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.26．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）設(shè)數(shù)列，此中是不等于零的常數(shù)，求證：不在數(shù)列中.27．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；感謝賞析感謝你的觀看28．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明：（Ⅰ）能被264整除；（Ⅱ）能被整除（此中n，a為正整數(shù)）29．（選修2-2：數(shù)學(xué)概括法及其應(yīng)用）用數(shù)學(xué)概括法證明：；30．若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an知足關(guān)系：，求證：為等差數(shù)列.31．用數(shù)學(xué)概括法證明.32．用數(shù)學(xué)概括法證明33．已知n個(gè)圓中每?jī)蓚€(gè)圓訂交于兩點(diǎn)，且無(wú)三圓過(guò)同一點(diǎn)，用數(shù)學(xué)概括法證明：這n個(gè)圓將平面區(qū)分紅塊地區(qū).34．用數(shù)學(xué)概括法證明求證：：被133整除.35．用數(shù)學(xué)概括法證明求證：能被6整除.36．用數(shù)學(xué)概括法證明：.37．.用數(shù)學(xué)概括法證明：38．（江蘇省成化高中第二學(xué)期高二期末模擬試卷）數(shù)列知足：=1，，（）（1）務(wù)實(shí)數(shù)的值（2）求的值，依據(jù)，，的值，猜想與的關(guān)系式，并證明你的猜想感謝賞析感謝你的觀看39．（2009屆杭州市第一次高考科目講課質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理））已知數(shù)列{bn}知足條件:首項(xiàng)b1=1,前n項(xiàng)之和Bn=.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{an}的知足條件：an＝(1＋)an–1，且a1=2,試比較an與的大小，并證明你的結(jié)論.40．（河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008-2009學(xué)年高三第一次月考（理））在數(shù)列{an}中，．1）用數(shù)學(xué)概括法證明：an>2（n∈N*）;2）關(guān)于n∈N*，證明①a1+a2+a3++an<2n+141．（黑龍江哈爾濱師大附中2009屆高三第一次考試(理)）已知數(shù)列（1）假如常數(shù)列，求的值；（2）若，用數(shù)學(xué)概括法證明：（3）若直接證明--數(shù)學(xué)概括法參照答案一、選擇題1．C2．C3．B4．C5．B6．D7．B8．C9．C．10．D二、填空題11．4n-212．13．14．當(dāng)時(shí)，左側(cè)=4=右側(cè)，命題正確.感謝賞析感謝你的觀看15．，16．，三、解答題17．解:(1)由,當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)由(1)猜想證明①當(dāng)時(shí)建立②假準(zhǔn)時(shí)建立那么時(shí)有即時(shí)建立綜合①②可知18．當(dāng)n=1時(shí),由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1.當(dāng)n=2時(shí),a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,,由此猜想bn=2n2.要證bn=2n2,只要證an=2n2-n①當(dāng)n=1時(shí),a1=2×12-1=1建立②假定當(dāng)n=k時(shí),ak=2k2-k建立.那么當(dāng)n=k+1時(shí),由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得ak+1=(ak-1)感謝賞析感謝你的觀看=(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1).∴當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論建立?由①、②知an=2n2-n,從而bn=2n219．(I)解:由得,∴,∵為等比數(shù)列∴=(II)證明:方程的兩根為3、7,由知,∴20．?dāng)?shù)學(xué)概括法21．【證明】（1）當(dāng)n=2時(shí)，左側(cè)－右側(cè)＝，不等式建立.感謝賞析感謝你的觀看（2）假定當(dāng)n=k（）時(shí)，不等式建立，即因?yàn)?，因此，于是?dāng)n=k+1時(shí)，.即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也建立綜合（1），（2）知，關(guān)于，不等式總建立.22．解：（1）當(dāng)n＝5時(shí)，原等式變成(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5．令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243．（2）因?yàn)?x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，2n－2因此a2＝Cn2．a(chǎn)22因此bn＝2n－3＝2Cn＝n(n－1)（n≥2）．2－1①當(dāng)n＝2時(shí)，左側(cè)＝T2＝b1＋b2＝2，右側(cè)＝3＝2，左側(cè)＝右側(cè)，等式建立．②假定當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，等式建立，即Tk＝k－13，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左側(cè)＝T＋b＝k－1k＋1)－1]＝k－1＋(k＋1)kk＋13＋(k＋1)[(3kk－1k＋2k＋1－1]＝k(k＋1)(3＋1)＝3＝3＝右側(cè)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式建立．n－1綜合①②，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝3．23．解：（1）感謝賞析感謝你的觀看2）猜想：證明以下：①當(dāng)n=1時(shí)，∴猜想正確；②假定當(dāng)那么當(dāng)由①②知，對(duì)，正確24．解（I）由，得由，得由，得由此猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式：（）。（II）（i）用數(shù)學(xué)概括法證明：①當(dāng)時(shí)，，不等式建立．②假定當(dāng)時(shí)不等式建立，即，那么．也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，據(jù)①和②，關(guān)于全部，有．。（ii）由及（i），對(duì)，有于是，感謝賞析感謝你的觀看25．三小題都用數(shù)學(xué)概括法證明：（Ⅰ）.當(dāng)時(shí)，建立；.假定時(shí)，建立，∴當(dāng)時(shí)，，而；由知，對(duì)都有.（Ⅱ）.當(dāng)n=1時(shí)，，命題正確；.假準(zhǔn)時(shí)命題正確，即，當(dāng)時(shí)，，，命題也正確；由，知對(duì)都有.（Ⅲ）.當(dāng)n=1時(shí)，，命題正確；.假準(zhǔn)時(shí)命題正確，即∴當(dāng)時(shí)，，命題正確；感謝賞析感謝你的觀看由、知對(duì)都有.26．先用數(shù)學(xué)概括法證明；假定與條件矛盾.27．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，左側(cè)（）=右側(cè)，命題正確（Ⅱ）時(shí)，左側(cè)28．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，能被264整除，命題正確.（Ⅱ）時(shí)，能被整除.29．當(dāng)時(shí)，左側(cè)=.30．[證明]用數(shù)學(xué)概括法證明：.當(dāng)時(shí)，，，即成等差數(shù)列，命題正確；.假準(zhǔn)時(shí)成等差數(shù)列，且公差為d，感謝賞析感謝你的觀看當(dāng)時(shí)，，①—②得，，成等差數(shù)列（公差為d），即時(shí)命題建立，由、知成等差數(shù)列.31．解析]記，.當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，不等式正確；.假準(zhǔn)時(shí)不等式正確，即，當(dāng)時(shí)，∵而，而，，即時(shí)不等式正確；依據(jù)知對(duì)，不等式正確.感謝賞析感謝你的觀看32．[證明].當(dāng)=2時(shí)，左側(cè)，n∴當(dāng)n=2時(shí)，不等式正確；.假定當(dāng)不等式正確，即，∴當(dāng)時(shí)，左側(cè)，∴當(dāng)時(shí)不等式也正確；依據(jù)知對(duì)，且，不等式都正確.33．[證明].當(dāng)時(shí)，1個(gè)圓將平面分紅2部分，而22=1－1+2，∴當(dāng)n=1時(shí)命題正確；.假定時(shí)命題正確，即知足條件的個(gè)圓將平面區(qū)分紅部分，∴當(dāng)時(shí)，平面上增加了第個(gè)圓，它與本來(lái)的個(gè)圓的每一個(gè)圓都訂交于兩個(gè)不一樣樣點(diǎn)，共個(gè)交點(diǎn).而這個(gè)點(diǎn)將第個(gè)圓分成段弧，每段弧將本來(lái)的一塊地區(qū)隔成了兩塊地區(qū)，∴地區(qū)的塊數(shù)增加了塊，∴個(gè)圓將平面區(qū)分紅的塊數(shù)為，時(shí)命題也正確，依據(jù)知命題對(duì)都正確.感謝賞析感謝你的觀看34．[證明]33能被133整除，∴當(dāng)n=1時(shí)命.當(dāng)n=1時(shí)，11+12=1331+1728=3059=133×23題正確；.假定當(dāng)時(shí)命題正確，即能被133整除，時(shí)，能被133整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確；由知命題對(duì)都正確.35．[證明].當(dāng)時(shí)，13+5×1=6能被6整除，命題正確；.假準(zhǔn)時(shí)命題正確，即能被6整除，∴當(dāng)時(shí)，，∵兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確，由知命題時(shí)都正確.36．[證明].當(dāng)時(shí)，左側(cè)右側(cè)，等式建立；.假準(zhǔn)時(shí)等式建立，即，∴當(dāng)時(shí)，左側(cè)=+右側(cè)，等式也建立；由知等式對(duì)都建立.感謝賞析k+1+1感謝你的觀看37．[證明].當(dāng)時(shí)，左側(cè)，右側(cè)，∴左側(cè)=右邊，時(shí)等式建立；.假準(zhǔn)時(shí)等式建立，即，∴當(dāng)時(shí)，左側(cè)=右側(cè)，即時(shí)等式建立，依據(jù)，等式對(duì)都正確.38．（1）將1,a2,3的值代入n+2=an+1+2n+t得t=-1aaaa（2）a=a+2a–1=3+4–1=6∴a+a=943234因?yàn)閍+=2＋１,a2+1,a3+=2+=2+1122334n猜想可得：a+a=2+1nn1證明：n=1時(shí)，a1+a2=2+1建立則n=k+1時(shí)，ak+2+ak+1=ak+1+2ak+ak+1-1=2(ak+1+ak)-1利用概括假定得kak+2+ak+1=2·(2+1)-1=2n=k+1時(shí)命題也建立對(duì)n∈N＊有an+an+1=2n+1建立（也能夠用其余方法證明）39．(1)當(dāng)n>1時(shí),bn=Bnn–1=–=3n－2–B令n=1得b1＝1,∴bn＝3n－2（2）由an＝(1＋)an–1，得∴an＝感謝賞析感謝你的觀看由a1=2,bn＝3n－2知，an＝(1＋)(1+)(1＋)2＝(1＋1)(1＋)(1＋)又==,設(shè)cn=,當(dāng)n＝1時(shí)，有(1＋1)=＞當(dāng)n＝2時(shí)，有an＝(1＋1)(1＋)==>==cn假定n＝k(k≥1)時(shí)an>cn建立，即(1＋1)(1＋)(1＋)>建立,則n＝k＋1時(shí)，左側(cè)=＝(1＋1)(1＋)(1＋)(1＋)>(1＋)=右側(cè)=ck+1==由(ak+1)3–(ck+1)3=(3k+1)–(3k+4)==>0,得ak+1>ck+1建立.綜合上述,an>cn對(duì)任何正整數(shù)n都建立40．（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=>2，結(jié)論建立假定n=k（k≥1）不等式ak>2建立當(dāng)時(shí)，，由ak>2得ak+1－2>0即ak+1>2說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也建立依據(jù)