數學建模講座之02如何寫好競賽答卷及案例

如何寫好數學建模競賽答卷及案例

如何寫好數學建模競賽答卷及案例

第一部分如何寫好數學建模競賽答卷第二部分數學建模案例（奧運場館問題）第一部分如何寫好數學建模競賽答卷一、寫好數模答卷的重要性二、答卷的基本內容，需要重視的問題三、對分工執(zhí)筆的同學的要求四、關于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃五、答卷要求的原理一、寫好數模答卷的重要性1.

評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級別

數模答卷，是唯一依據。

2.

答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。

3.

寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。

二、答卷的基本內容，需要重視的問題Ⅰ.

評閱原則

Ⅱ.

答卷的文章結構

Ⅲ.

要重視的問題

Ⅰ.

評閱原則

假設的合理性建模的創(chuàng)造性結果的合理性表述的清晰程度

Ⅱ.

答卷的文章結構

0．

摘要1．

問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，略2．

模型的假設，符號說明（表）3．

模型的建立（問題分析，公式推導，基本模型，最終或簡化模型

等）4．

模型的求解5．

結果表示、分析與檢驗，誤差分析，模型檢驗……6．

模型評價，特點，優(yōu)缺點，改進方法，推廣…….7．

參考文獻8．

附錄4．

模型的求解

計算方法設計或選擇；

算法設計或選擇，

算法思想依據，步驟及實現，計算框圖；

所采用的軟件名稱；

引用或建立必要的數學命題和定理；

求解方案及流程

8．

附錄計算框圖詳細圖表

Ⅲ.

要重視的問題0．

摘要。

1．

問題重述。

2．

模型假設

3．

模型的建立

4．

模型求解

5．

結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示

6．模型評價和推廣

7．參考文獻

8．附錄

0．

摘要a.

模型的數學歸類（在數學上屬于什么類型）b.

建模的思想（思路）c

.

算法思想（求解思路）d.

建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，

算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，

模型檢驗…….）e.

主要結果（數值結果，結論）（回答題目所問的全部“問題”）

▲表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法；

符合打印文章格式。務必認真校對。例1：本文獲2004年全國數學建模競賽一等獎。摘要：本文所要討論的問題可以歸結為一個二元整數規(guī)劃問題。首先，我們根據三次預演運動會的調查結果推斷出奧運會期間觀眾在出行方式、餐飲、消費水平三個方面的行為規(guī)律以及不同性別、年齡的人群在這三個方面上的差異，然后根據這些規(guī)律估計了奧運會期間各主要場館周圍商業(yè)區(qū)的人流分布情況。為了更好地反映商業(yè)區(qū)的商業(yè)價值，本文在人流分布的基礎上進一步討論了各商區(qū)的消費潛力的分布并據此設計商業(yè)區(qū)的超市群：首先，我們從招租方（組委會）、經營商和顧客三個不同角度討論了大、小規(guī)模MS對各自利益的影響，并分別以地租總收入、單位面積上的平均利潤和安全經營率、顧客滿意度等量化指標來衡量三者的各自的利益。此時，問題轉化為二元整數規(guī)劃問題：為各個商區(qū)確立大MS數目和小MS的數目，使得模型在滿足經營商和顧客的一定的利益的前提下（約束條件），組委會獲得的利益最大。通過計算，我們求解得到了全部商區(qū)的規(guī)劃設計方案，比如在A6區(qū)（面積約為15;000m2）中需要建設5個大MS（面積為450m2）和17個小MS（面積為150m2），該商業(yè)區(qū)內的超市的總建筑面積為4;800m2，約占整個商業(yè)區(qū)面積的三分之一。為了說明我們方案的合理性和貼近實際的特性，我們從顧客滿意度、零售單位與人口分布的一致性指數、公平競爭原則和共同盈利原則四個方面對模型的合理性進行了分析說明。在模型的進一步討論中，我們討論了經濟增長、旅游人口等因素對設計方案可能產生的影響。另外，為了使同一商區(qū)內的超市間避免盲目競爭，同時也是為了奧運會結束后能更好地現有的臨時商業(yè)點地面進行二次開發(fā)，我們利用商圈理論對商區(qū)內超市的布局原則做了討論并得出“大店分散，小店聚集”的規(guī)律。最后，我們根據模型求解的結果給北京奧組委提出幾點建議：關注市場規(guī)模的增長、流動人口對市場的影響以及及時制定臨時商業(yè)用地的二次開發(fā)方案。例2：本文獲2004年全國數學建模一等獎。摘要：本文首先對三次問卷調查的結果進行統(tǒng)計分析，以年齡結構、出行方式、用餐習慣以及消費水平為不同劃分標準，得出人群的分布規(guī)律以及各規(guī)律間的內在聯系：1.選擇不同出行方式的各類人群在消費水平方面的分布是相似的。2.選擇不同用餐習慣的各類人群在消費水平方面的分布是相似的。在對人流量分布問題的處理上，我們根據題目給出的假設，在保證每位觀眾的“最短路徑”前提下，模擬出觀眾的行進路線，從而跟蹤計算出各商區(qū)的人流量比例。結果見表1。對各商區(qū)的MS設置的方案設計，是一個多目標規(guī)劃問題，目標函數為：滿足觀眾購物需求、分布均衡以及商業(yè)上盈利。我們首先根據基于網絡的Hu®模型，研究了人群進入商區(qū)的購物欲望曲線，計算出每個商區(qū)的總消費量，從而得到每個商區(qū)需要的MS的大致數目。為了得到最優(yōu)的設計方案，我們定義了飽和指數指標¾2，來衡量整個商業(yè)區(qū)的MS分布情況，再通過改進的模擬退火算法求出各商區(qū)間MS分布方差最小的設計方案，即為所求的最優(yōu)解。由于存在兩種不同規(guī)模的MS，我們嚴格討論了其性質與特征，并根據不同情況，在滿足目標函數的前提下，對MS和LMS在商區(qū)內的數量分布進行了設計，結果見表2。最后，我們對模型的科學性與現實性進行了闡述。根據雅典奧運體育場的構造圖，驗證了各商區(qū)的MS個數比例是符合實際的。1．

問題重述用自己的話去復述或理解一遍，實際是問題分析的開始切忌：原封不動照寫一遍2．

模型假設

根據全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。

（1）根據題目中條件作出假設

（2）根據題目中要求作出假設關鍵性假設不能缺；假設要切合題意3．

模型的建立

（1）

基本模型：（2）

簡化模型（3）

模型要實用，有效，有特色，以解決問題有效為原則。（4）鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標新立異（5）在問題分析推導過程中，需要注意的問題：（1）

基本模型：1)

首先要有數學模型：數學公式、方案等2)

基本模型，要求

完整，正確，簡明

（2）

簡化模型1）

要明確說明：簡化思想，依據2）

簡化后模型，盡可能完整給出（3）

模型要實用，有效，有特色，以解決問題有效為原則。數學建模面臨的、要解決的是實際問題，

較復雜的問題，力求簡單化不追求數學上：高（級）、深（刻）、難（度大）。

能用初等方法解決的，就不用高級方法

能用簡單方法解決的，就不用復雜方法

能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數人看懂、理解的方法。對較簡單的問題，做出自己的特色，你想如果自己能做，別人也能這樣做，只有比賽各自的創(chuàng)新。

人無我有，別人想不到的，大膽去想

人有我新，別人容易想到的，我比你想得更全面，更好（4）鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標新立異數模創(chuàng)新可出現在

▲建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等，

▲模型求解中

▲結果表示、分析、檢驗，模型檢驗

▲推廣部分（5）在問題分析推導過程中，需要注意的問題：

分析：中肯、確切術語：專業(yè)、內行原理、依據：正確、明確表述：簡明，關鍵步驟要列出，可將公式與中文說明相結合忌：外行話，專業(yè)術語不明確，表述混亂，冗長。

4．

模型求解（1）

需要建立數學命題時：

命題敘述要符合數學命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴密。能用定理總結的，盡量給出定理，并證明（很專業(yè)）（2）

需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。

若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱（3）

計算過程，中間結果可要可不要的，如果篇輻大的，不要列出。（4）

設法算出合理的數值結果。5．

結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示

（1）

最終數值結果的正確性或合理性是第一位的

；（2）

對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗。（3）

題目中要求回答的問題，數值結果，結論，須一一列出；（4）

列數據問題：考慮是否需要列出多組數據，或額外數據

對數據進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據；（5）

結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析

（6）

必要時對問題解答，作定性或規(guī)律性的討論。最后結論要明確。（2）

對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗。結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因，對算法、計算方法、或模型進行修正、改進；

（5）

結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析

▲數值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式▲求解方案，用圖示更好

6．模型評價

優(yōu)點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建?？稍诖俗觥Ｍ茝V或改進方向時，不要玩弄新數學術語。

7．參考文獻

力求規(guī)范，清晰：標號，作者，論文名稱，雜志名稱或出版社名稱，時間（年、月），頁例：［1］趙靜，但琦，數學建模與數學實驗，高等教育出版社，2003.6［2］徐茂良，張勇等，矩陣在基金使用計劃模型中的應用，成都大學學報(自然科學版)，2005(1):1～4文中引用文獻處，最要標出例：……資料表明，小型超市的面積一般為120～400平方米……[3]8．附錄

較詳細的結果，較詳細的數據表格，可在此列出。但不要錯，錯的寧可不列。主要結果數據，應在正文中列出。

注：切忌過于冗長的數據列表，因為太多的數據一般應用獨立于主程序的數據文件來表示，以免主程序太長檢查答卷的主要三點：

模型的正確性、合理性、創(chuàng)新性結果的正確性、合理性文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、對分工執(zhí)筆的同學的要求執(zhí)筆者思路清晰，文字流暢通順，語言優(yōu)美文章結構層次分明，思想表述明確又簡潔摘要、問題重述、模型假設、模型的建立、模型求解、結果分析、檢驗、模型檢驗及模型修正、結果表示、模型評價、參考文獻、附錄各自安排要合理恰當，體現出既專業(yè)又中肯四、關于寫答卷前的思考和工作規(guī)劃答卷需要回答哪幾個問題――建模需要解決哪幾個問題

問題以怎樣的方式回答――結果以怎樣的形式表示每個問題要列出哪些關鍵數據――建模要計算哪些關鍵數據每個量，列出一組還是多組數――要計算一組還是多組數……

五、答卷要求的原理

準確――科學性

條理――邏輯性

簡潔――數學美

創(chuàng)新――研究、應用目標之一，人才培養(yǎng)需要

實用――建模。實際問題要求。建模理念：1.

應用意識：要解決實際問題，結果、結論要符合實際；

模型、方法、結果要易于理解，便于實際應用；

站在應用者的立場上想問題，處理問題。2.

數學建模：用數學方法解決問題，要有數學模型；

問題模型的數學抽象，方法有普適性、科學性，

不局限于本具體問題的解決。3.

創(chuàng)新意識：建模有特點，更加合理、科學、有效、符合實際；

更有普遍應用意義；不單純?yōu)閯?chuàng)新而創(chuàng)新。2008年北京奧運會地區(qū)臨時超市點網設計

（2004年全國大學生建模比賽A題）第二部分數學建模案例（奧運場館問題）比賽題目：2008年北京奧運會主館場周邊臨時商亭網點設計

為了了解觀眾的購物需求和人流量的規(guī)律，假設我們在已經建設好的某運動場，舉辦了三次運動會，對觀眾發(fā)放問卷調查，采集相關數據，供解題者使用。

2008年北京奧運會的建設工作已經進入全面設計和實施階段。奧運會期間，在比賽場館的周邊地區(qū)必須建設一個由小型商亭構建的臨時商業(yè)網點。我們稱之為迷你超市（MS）網，主要滿足運動員，觀眾，游客，工作人員在奧運會期間購物需求，經營食品、旅游用品、奧運紀念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場館周邊地區(qū)設置這種MS，在地點、大小類型和總量方面，必須滿足三個基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。顯然，這是一個必須用科學的方法解決的問題。

在本題卷中給出了奧運會主要比賽場館的規(guī)劃圖，是解決上述問題的地理平臺。作為真實地圖的簡化，在本頁結構圖中僅保留了與上述問題有關的地區(qū)，以及相關內容：道路、公交車站、出租車站、自駕車停車場、地鐵、餐飲部門等。并在答卷論文中明確回答以下必答問題：

假定每位觀眾出行平均兩次，一次為進出場館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請你依據附錄中給出的問卷調查數據所反映的規(guī)律，測算圖中20個商區(qū)內人流量分布（用百分比）。

2.請你設計MS類型（可以分兩種大小不同規(guī)模），在20個商區(qū)內的分布（每個商區(qū)內不同類型MS的個數），以滿足“題目描述”中的三個基本要求。

3．闡明你的方法的科學性和結果是貼近實際的。

問題：對結構圖上標明的比賽場館周邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標有A、B、C及編號的黃色填充的區(qū)域）內設計網點。原型的目的：在奧運館場優(yōu)化設計臨時小超市（MS）分析結構并抽象出專業(yè)模型：1）對于設計環(huán)境抽象出與目的有關的館場結構圖。2）抽取影響設計MS的主要因素：人流量，因此在以上館場結構圖中，應該存在一個人流分布結構。3）理解設計的三條原則：滿足購物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實質上是在以上兩種結構之上加上限制性結構——約束。用自然語言表述了原型及目的涉及的結構以及結構之間的聯系，這種專業(yè)模型實際上在題目中已經給出，只要理解并再清楚地表述。建立數學模型：總體模型和每個部分的具體模型總體結構的數學模型：調查數據人流動的一般規(guī)律（數據模型）規(guī)律發(fā)現+館場平面結構人流量在館場結構圖中的分布（網絡流模型）三條原則的數學模型（約束條件）+有約束的整數規(guī)劃問題各個部分的數學模型1）人流動的一般規(guī)律的數據模型：用數據挖掘方法，可以找出全部二維和三維關聯規(guī)則，得到數據模型。2）將館場平面結構圖和數據模型可以建立由連通道路組成的網絡流模型，進而計算出每個商區(qū)的人流量分布。3）建立三項原則的數學模型：滿足需求和商業(yè)贏利都容易用數學表示。均衡性是十分靈活的特別體現“淺無邊，深無底”的命題指導思想。4）最后給出整數規(guī)劃問題。本問題的解決過程基本上劃分為三個部分：

A．出行規(guī)律的數據模型的建立這一部分的目的是通過對三次問卷調查給出的一萬條記錄的數據進行分析、匯總計算，給出出行與不同類型人流的分布關系，將這些關系數據組成盡可能全面反應相關規(guī)律的數據系統(tǒng)。對三次調查的規(guī)律一致性給予充分關注，認為一致性規(guī)律才是一般性規(guī)律，這是很重要的一步分析。

在分析不同的出行與不同類型的人流相關聯時，最簡單的是采用直觀選擇可能的相關性使用統(tǒng)計相關分析進行計算。主要的關系都能計算出，但往往不夠完整，其中性別與年齡段對出行方式的考慮不足，由于性別對與出行方式中存在著相關性（例如女性乘出租與私車比例較高），這一條比較容易忽略的規(guī)則對計算結果是有影響的。因為一般的統(tǒng)計方法需要確定相關性的對象，依賴直觀的相關屬性的選擇，是造成不夠完善的一個原因。使用系統(tǒng)的數據挖掘方法，挖掘出所有二維屬性相關值，計算出支持度與置性度，才給出完整的數據模型。

共10600條記錄，分三次獲得。第一次為3500條；第二次為3200條；第三次為3900條。與人流量相關的規(guī)則，其平均比率如下：1、性別男：5549條（52.3％）女：5051條（47.7％）2、年齡：（男女比例基本上為1：1）20以下：1174人（11.1％),20－30：6150人（58%）,30—50：2139人（20.2%）50以上：1137人（10.7％）3、交通數據公交：3602人（34％）,公交（南北）：1774人；公交（東西）：1828人地鐵：4030人（38％）,地鐵（東）：2006人；地鐵（西）：2024人

出租車：2010人（19％）(男：女＝1：2)

私車：958人（9％）(男：女＝1：2)

20歲以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50歲以下（1137）中餐123人（10.5％）992（16.2％）807（37.7％）460（40.5％）西餐552人（47％）3809（61.9％）894（41.8％）312（27.4％）超市（購物）499人（42.5％）1349（21.9％）438（20.5％）365（32.1％）就餐數據：

購物欲：消費額20歲以下（1174）20－30（6150）31－50（2139）50歲以上（1137）0-50040（3.4%）69（1.1%）44（2.1%）53（4.7%）500-1000101（8.6%）222（3.6%）118（5.5%）551（48.5%）1000-1500478（40.6%）445（7.2%）119（5.6%）332（29.2%）1500-2000394（33.6%）372（6.1%）199（9.3%）139（12.2%）2000-2500131（11.2%）2316（37.7%）1344（62.8%）42（3.7%）2500-300030（2.6%）2726（44.3%）315（14.7%）20（1.8%）性別與消費額：消費額男（5549）女（5051）

0-500105（1.9%）101（2%）500-1000734（13.2%）258（5.1%）1000-1500823（14.8%）551（10.9%）1500-2000726（13.1%）378（7.5%）2000-25003034（54.7%）799（15.8%）2500-3000127（2.3%）2964（58.7%）B、建立數學模型來確定人流量分布—數據模型數學建模中概念的清楚的定義是很重要的，是否注意到人流量是與購物量是不同的概念，可以通過購物欲的數據，把人流量轉變?yōu)橘徫锪?。但是“人流”本身也應該有明確的定義，因為性別不同和年齡段不同造成出行方式的差別和購物欲的差別。因此，將男女性別的人不加區(qū)分地統(tǒng)稱為“人”的理解造成計算上的誤差。在計算人流分布（或購物量分布）的方法上，可以構造許多創(chuàng)造性的數學模型。例如畫出路徑的網絡圖，確定最短路徑是最普遍使用的方法；對路口節(jié)點的分析是很貼近人們出行與購物習慣的；利用了矩陣表示商區(qū)節(jié)點與出行目標之間關系數據，從而使計算變得簡便等等。特別是構造電路模型或水流模型，用于計算人流分布，這種方法實際上就是網絡流模型的一些變形和形象化，也可以取得很好的效果。還可以特色地引入購物心理學，適當地修正僅用商圈概念的簡單模型，得到一些求