第九章-方差分析

會計(jì)學(xué)1第九章----方差分析t檢驗(yàn)u檢驗(yàn)單樣本樣本均數(shù)與總體均數(shù)n較小σ已知，σ未知但n足夠大兩樣本樣本均數(shù)與樣本均數(shù)n1、n2均較小n1、n2均較大

適用于u檢驗(yàn)的資料都可以使用t檢驗(yàn)多個樣本均數(shù)比較方差分析（F檢驗(yàn)）第1頁/共61頁方差分析的發(fā)明者

方差分析由著名英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher在1923年提出,為紀(jì)念Fisher,以F命名,故方差分析又稱F檢驗(yàn)。第2頁/共61頁

例6.1隨機(jī)抽取50~59歲男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，測定空腹血糖值，試推斷三類人群空腹血糖值總體均數(shù)是否相同？第3頁/共61頁

第一節(jié)方差分析的概述第4頁/共61頁

在進(jìn)行科研時,有時需要按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)將所研究的對象隨機(jī)分為多個處理組,施加不同的干預(yù)措施,所施加的干預(yù)措施稱為處理因素。處理因素至少有兩個水平。第5頁/共61頁

一、多個樣本均數(shù)間的比較能否用t檢驗(yàn)或

u檢驗(yàn)？為什么？

第6頁/共61頁原因:

五個樣本均數(shù)進(jìn)行比較,每次兩個均數(shù)作一次t檢驗(yàn),共需作10（C52=10）次t檢驗(yàn)。若每次比較的檢驗(yàn)水準(zhǔn)α＝0.05,則每次比較不犯Ⅰ型錯誤的概率為（1-α）＝0.95。當(dāng)這些檢驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行時,則10次比較均不犯Ⅰ型錯誤的概率為0.9510＝0.5987,此時犯Ⅰ型錯誤的概率,即總的檢驗(yàn)水準(zhǔn)α變?yōu)?-0.5987＝0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型錯誤的概率增大,可能將原本無差別的兩個總體推斷為有差別,誤判為有統(tǒng)計(jì)意義。因此多重比較不宜用的t檢驗(yàn)或u檢驗(yàn)作兩兩比較。第7頁/共61頁

比較的次數(shù)為Ck2即次。若每次比較的檢驗(yàn)水準(zhǔn)為α,則每次比較不犯Ⅰ型錯誤的概率為（1-α）。當(dāng)這些檢驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行時,則m次比較均不犯Ⅰ型錯誤的概率為(1-α)m,此時犯Ⅰ型錯誤的概率,即總的檢驗(yàn)水準(zhǔn)α變?yōu)?-(1-α)m。第8頁/共61頁

二、方差分析的目的

在無效假設(shè)成立的前提下,通過分析各處理組均數(shù)之間的差別,以推斷其各相應(yīng)總體均數(shù)間有無差別,從而說明處理因素的效果是否不同（或處理因素是否起作用）。第9頁/共61頁

三、方差分析的基本思想

根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的類型及研究目的,將全部觀察值之間所表現(xiàn)出來的總變異,分解為兩個或多個部分。除隨機(jī)誤差作用外,其余每個部分的變異均可由某個因素的作用加以解釋。通過比較不同變異來源的均方(MS),借助F分布做出統(tǒng)計(jì)推斷,從而推斷研究因素對試驗(yàn)結(jié)果有無影響。第10頁/共61頁

四、方差分析的應(yīng)用條件

1、各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本,且來自正態(tài)分布的總體;2、相互比較的各樣本的總體方差相等,即具有方差齊性。

獨(dú)立性、隨機(jī)性、正態(tài)性、方差齊性第11頁/共61頁五、方差分析的用途

1、用于進(jìn)行兩個或多個樣本均數(shù)的比較;2、分析兩因素或多因素間的交互作用;3、用于回歸方程的線性假設(shè)檢驗(yàn)。第12頁/共61頁六、方差分析的優(yōu)點(diǎn)

1、不受比較組數(shù)的限制,可比較多組均數(shù);2、可同時分析多個因素的作用;3、可分析因素間的交互作用.第13頁/共61頁

第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析

one-wayANOVA

(單因素方差分析)

第14頁/共61頁完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(completelyrandomdesign)是將全部試驗(yàn)對象按隨機(jī)化的方法,分配到各個處理組中,各組對象分別接受不同水平的處理;試驗(yàn)或觀察結(jié)束后,比較各組均數(shù)之間的差別有無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,推斷處理因素的效應(yīng)。第15頁/共61頁

各組樣本含量可以相等也可以不等，相等時檢驗(yàn)效率較高。由于完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析只有一個研究因素,所以又稱為單因素方差分析。第16頁/共61頁一、數(shù)據(jù)的基本形式第17頁/共61頁第1組第2組…第k組X11X21…Xk1X12X22…Xk2┇┇…┇X1jX2j…Xkj┇┇…┇X1nX2n…Xkn…n1n2…nkNS1S2…SkS2222

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)第18頁/共61頁

例隨機(jī)抽取50~59歲男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，測定空腹血糖值，試推斷三類人群空腹血糖值總體均數(shù)是否相同？第19頁/共61頁正常組冠心病組脂肪肝組4.756.265.784.754.366.68┇┇…4.625.595.72111111334.610.28955.060.54495.710.42745.130.6207三組觀察對象空腹血糖檢測結(jié)果(mmol/L)第20頁/共61頁二、變異分解第21頁/共61頁

1、總變異:33個空腹血糖檢測數(shù)據(jù)大小不等,這種變異稱為總變異?？傋儺惖拇笮】捎秒x均差平方和表示,即各觀測值Xij與總均數(shù)差值的平方和,記為SS總。SS總反映了所有觀測值之間總的變異程度。第22頁/共61頁

計(jì)算公式：第23頁/共61頁

簡化計(jì)算公式：第24頁/共61頁

2、組間變異:

各處理組的樣本均數(shù)大小不等,這種變異稱為組間變異,其大小可用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示。記作SS組間。

組間變異存在的原因:

⑴.隨機(jī)誤差(包括個體變異和測量誤差);⑵.處理因素的不同水平可能對實(shí)驗(yàn)結(jié)果有影響。第25頁/共61頁

計(jì)算公式：第26頁/共61頁3、組內(nèi)變異:

在同一處理組內(nèi),雖然各受試對象接受的處理相同,但測量值之間仍不同,這種變異稱為組內(nèi)變異(誤差),其大小可用組內(nèi)各測量值Xij與其組均數(shù)差值的平方和表示,

記為SS組內(nèi),反映了隨機(jī)誤差的影響。第27頁/共61頁

計(jì)算公式：第28頁/共61頁4、三種變異的關(guān)系：離均差平方和與自由度具有可加性第29頁/共61頁5、方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值：第30頁/共61頁

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值的意義:

多個樣本均數(shù)比較的方差分析,其無效假設(shè)H0是各樣本均數(shù)來自相同的總體,即處理因素對研究結(jié)果無影響,組間變異與組內(nèi)變異均只反映隨機(jī)誤差作用的大小,則F值在理論上應(yīng)等于1,由于抽樣的偶然性,得到的F值不會恰好等于1,而是接近1。若處理因素對研究結(jié)果有影響,將出現(xiàn)MS組間明顯大于MS組內(nèi),F值也明顯大于1。F值越大,拒絕H0的理由越充分。第31頁/共61頁

若組間變異明顯大于組內(nèi)變異,則不能認(rèn)為組間變異僅反映隨機(jī)誤差的大小,處理因素也在起作用。根據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值,查界值表得到相應(yīng)的P值,按所取檢驗(yàn)水準(zhǔn)α作出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值服從F分布。

F<Fα,(ν組間,ν組內(nèi)),則P

>α,不拒絕H0,還不能認(rèn)為各樣本所來自的總體均數(shù)不同;

當(dāng)F≥Fα,(ν組間,ν組內(nèi)),則P≤α,拒絕H0,接受H1,可認(rèn)為總體均數(shù)不等或不全相等。第32頁/共61頁三、實(shí)例計(jì)算第33頁/共61頁

例6.1隨機(jī)抽取50~59歲男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，測定空腹血糖值，試推斷三類人群總體均值是否相同？第34頁/共61頁3組觀察對象空腹血糖測定結(jié)果(mmol/L)組別

測量值甲組4.754.754.774.614.494.025.034.574.214.884.62乙組6.264.365.244.674.555.184.615.125.264.835.59丙組5.786.685.445.865.675.245.425.146.095.745.72第35頁/共61頁組別正常組114.610.2895冠心病組115.060.5449脂肪肝組115.710.4274合計(jì)335.130.6207第36頁/共61頁

1、變異的分解:

本資料是根據(jù)研究者所施加的干預(yù)措施不同進(jìn)行分組的。處理因素:即干預(yù)措施,

三個水平:正常組冠心病組脂肪肝組第37頁/共61頁(1)、總變異:

33個空腹血糖的檢測結(jié)果不盡相同,具有變異。這一變異既有隨機(jī)誤差,又包含了處理因素的影響。第38頁/共61頁第39頁/共61頁(2)、組內(nèi)變異:

正常組、冠心病組和脂肪肝組三組觀察對象,同一組內(nèi)的各個研究對象的空腹血糖測定結(jié)果大小不同。產(chǎn)生這種差異的原因是研究對象的個體差異、測量誤差等偶然因素。由這類原因造成的誤差稱為隨機(jī)誤差,方差分析中稱組內(nèi)變異。

SS組內(nèi)的大小與變異及樣本含量有關(guān),能夠客觀反映組內(nèi)變異的是組內(nèi)均方（即方差）,用MS組內(nèi)表示。第40頁/共61頁第41頁/共61頁(3)、組間變異:

正常組、冠心病組和脂肪肝酒組三組各組的組均數(shù)不盡相同,在方差分析中稱為組間變異,它表明各處理因素間的變異程度。組間變異包括了隨機(jī)誤差,也反映了處理因素可能對觀察結(jié)果的影響。能夠客觀反映組間變異的是組間均方(即方差),用MS組間表示。第42頁/共61頁第43頁/共61頁2、分析步驟:即三個組空腹血糖值的總體均數(shù)相等三個組空腹血糖值的總體均數(shù)不等或不全相等第44頁/共61頁變異來源SS自由度均方MSFP總變異12.328632組間6.694723.364417.97＜0.01組內(nèi)5.6339300.1878

查表得F0.05(2,

30)=2.89,F0.01(2,

30)=3.89,F>3.89,

P＜0.01,按α=0.05,拒絕H0,接受H1,可以認(rèn)為三組人群的空腹血糖值總體均數(shù)不等或不全相等,

即不同人群空腹血糖值存在差異。第45頁/共61頁注意:

方差分析的結(jié)果若拒絕H0,接受H1,不能說明各組總體均數(shù)兩兩間都有差別。如果要分析哪兩組之間有差別,需要進(jìn)行多個均數(shù)間的多重比較。當(dāng)k=2時,完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析結(jié)果與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的兩樣本均數(shù)比較的t

檢驗(yàn)是等價的,而且F=t2。第46頁/共61頁

已知各組均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和樣本含量時F值的簡便計(jì)算方法。當(dāng)原始數(shù)據(jù)未知,只知各組均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和樣本含量時,可進(jìn)行如下計(jì)算,分兩種情況:1、各組樣本含量ni相等;2、各組樣本含量ni不等。第47頁/共61頁1、各組樣本含量ni相等時,F值的計(jì)算:

第48頁/共61頁

本例計(jì)算結(jié)果:

同前。

第49頁/共61頁2、各組樣本含量ni不等時,F值的計(jì)算:

第50頁/共61頁第三節(jié)多個樣本均數(shù)間的多重比較第51頁/共61頁

SNK(Student-Newman-Keuls)－q檢驗(yàn)

適用于多個樣本均數(shù)兩兩之間的全面比較。

統(tǒng)計(jì)量q的公式：注：在完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析中，MS誤差為MS組內(nèi),ν誤差為ν組內(nèi)。第52頁/共61頁SNK(Student-Newman-Keuls)－q檢驗(yàn)優(yōu)點(diǎn):1.靈敏度適中;2.犯Ⅰ類、Ⅱ類錯誤的概率都不是很大。3.由于采用多重界值,檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性較高。第53頁/共61頁3組觀察對象空腹血糖測量結(jié)果(mmol/L)組別

測量值正常組4.754.754.774.614.494.025.034.574.214.884.62冠心病組6.264.365.244.674.555.184.615.125.264.835.59脂肪肝組5.786.685.445.865.675.245.425.146.095.745.72變異來源SS自由度均方MSFP總變異12.328632組間6.694723.364417.97＜0.01組內(nèi)5.6339300.1878第54頁/共61頁

例:三組觀察對象空腹血糖值均數(shù)兩兩之間有無差別？H0:A=B,即任意兩對比組的總體均數(shù)相等H1:A≠B,即任意兩對比組的總體均數(shù)不等α＝0.05

將3個均數(shù)由大到小排隊(duì),并編上秩次：

均數(shù)5.715.064.61組別脂肪肝組冠心病組正常組秩次123第55頁/共61頁

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

第1組與第3組比