第二章測量誤差分析

會(huì)計(jì)學(xué)1第二章測量誤差分析解決的問題認(rèn)識(shí)測量誤差存在的規(guī)律性；找出消除或減小誤差對(duì)測量結(jié)果影響的方法；獲得正確合理的測量結(jié)果。第1頁/共40頁2.1隨機(jī)誤差的分布規(guī)律第2頁/共40頁一、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)有界性：在一定的相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動(dòng)；單峰性：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。對(duì)稱性：大小相等、符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相同。抵償性：在等精度測量條件下，測量次數(shù)趨于無窮時(shí)，全部隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。第3頁/共40頁隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律，分布密度函數(shù)：第4頁/共40頁隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。均方根誤差：σ第5頁/共40頁二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分正態(tài)分布密度函數(shù)是一個(gè)曲線族。σ的大小表征測定值在真值周圍的彌散程度。σ值愈小，表明測量的精密度愈高。第6頁/共40頁在一定條件下進(jìn)行等精度測量時(shí)，任何單次測定值的誤差δi可能都不等于σ，一系列測定值卻有同樣的均方根誤差σ。隨機(jī)誤差的性質(zhì)決定了不可能獲得單個(gè)測定值的真誤差δi的數(shù)值。第7頁/共40頁只能是在一定的概率意義之下估計(jì)測量隨機(jī)誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個(gè)區(qū)間的概率。這里需要用到概率積分。第8頁/共40頁第9頁/共40頁2.2直接測量誤差分析與處理第10頁/共40頁解決的問題：如何根據(jù)有限次的直接測量估計(jì)被測量真值？如何衡量這種估計(jì)的精密度？第11頁/共40頁兩個(gè)概念子樣平均值：代表由n個(gè)元素x1，x2，…，xn組成的子樣的散布中心，表示為：子樣方差：描述子樣在其平均值附近散步程度，表示為：第12頁/共40頁一、算術(shù)平均值原理、真值的估計(jì)最大似然估計(jì)值根據(jù)最大似然原理，使測定值x1，x2，…，xn同時(shí)出現(xiàn)的概率P達(dá)到最大的參數(shù)值，就是未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值。第13頁/共40頁一、算術(shù)平均值原理、真值的估計(jì)測定值子樣平均值是被測量真值的最大似然估計(jì)值。用測定值子樣平均值估計(jì)被測量的真值應(yīng)該具有協(xié)調(diào)性和有效性，由于測定值子樣平均值的數(shù)學(xué)期望恰好就是被測量真值：第14頁/共40頁算術(shù)平均值原理：測定值子樣的算術(shù)平均值是被測量真值的最佳估計(jì)值。均方根誤差：說明：用測定值子樣平均值估計(jì)被測量真值比用單次測量測定值估計(jì)具有更高的精密度。第15頁/共40頁二、均方根誤差的估計(jì)與貝塞爾公式第16頁/共40頁三、測量結(jié)果的置信度

在實(shí)際測量過程中，我們真正關(guān)心的是被測量真值μ。確切地說，關(guān)心的是真值μ處于區(qū)間內(nèi)的概率。表示在寬度一定（2λ），中心值（為）作隨機(jī)變動(dòng)的隨機(jī)區(qū)間

內(nèi)包含被測量真值，這一事件的概率。

第17頁/共40頁如果線段與真值相交，表明區(qū)間內(nèi)包含有被測量真值；不相交，表明在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)不包含真值。第18頁/共40頁定義區(qū)間為測量結(jié)果置信區(qū)間，也稱置信限；λ為置信區(qū)間半長，也稱誤差限。置信概率為。置信區(qū)間與置信概率共同表明測量結(jié)果的置信度，即測量結(jié)果的可信程度。測量結(jié)果完整表達(dá)式：測量結(jié)果＝子樣平均值±置信區(qū)間半長

（置信概率P＝？）第19頁/共40頁例題2-1

在等精度測量條件下對(duì)某透平機(jī)械的轉(zhuǎn)速進(jìn)行了20次測量，獲得如下的一列測定值(單位：r／min)

4753.14757.54752.74752.84752.14751.04753.94751.24750.34753.34752.34748.44752.54754.74750.0試求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速(設(shè)測量結(jié)果的置信概率＝95％)。第20頁/共40頁計(jì)算測定值子樣平均值；第21頁/共40頁由貝塞爾公式計(jì)算均方根誤差σ；第22頁/共40頁對(duì)于給定的置信概率P，求置信區(qū)間半長λ。設(shè)，且記第23頁/共40頁查表2-1，得z=1.96，故測量結(jié)果表達(dá)為：轉(zhuǎn)速＝4752.0±0.9（r/min）(P=95%)第24頁/共40頁四、測量結(jié)果的誤差評(píng)價(jià)置信區(qū)間半長，是測量的誤差限，即測量誤差。它不是個(gè)別測定值與真值之間的真誤差，而是指真誤差在一定概率之下可能出現(xiàn)的一個(gè)范圍界限。實(shí)際測量中用測量誤差對(duì)測量結(jié)果進(jìn)行誤差評(píng)價(jià)。第25頁/共40頁1.標(biāo)準(zhǔn)誤差均方根誤差定義為測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。若測量結(jié)果用單次測定值表示：測量結(jié)果＝單次測定值x±標(biāo)準(zhǔn)誤差σP＝(68.3％）若測量結(jié)果用測定值子樣平均值表示：測量結(jié)果＝子樣平均值±標(biāo)準(zhǔn)誤差（P＝68.3％）第26頁/共40頁2.極限誤差測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的三倍，定義為極限誤差Δ。

Δ＝3σ被測量真值落在x±3σ范圍之內(nèi)的概率接近100%3.平均誤差4.或然誤差第27頁/共40頁五、小子樣誤差分析，t分布及其應(yīng)用當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)（n<10次），則應(yīng)按t分布計(jì)算誤差限。自由度t分布與母體均方根誤差無關(guān)，只與子樣容量n有關(guān)。第28頁/共40頁測量結(jié)果表示為：測量結(jié)果＝第29頁/共40頁當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)（n<10次），則應(yīng)按t分布計(jì)算誤差限。若仍用正態(tài)分布對(duì)小子樣進(jìn)行誤差估計(jì)，往往會(huì)得到“太好”的結(jié)果。第30頁/共40頁2.5粗大誤差第31頁/共40頁產(chǎn)生原因測量者的主觀原因測量時(shí)操作不當(dāng)，或粗心、疏失而造成讀數(shù)、記錄的錯(cuò)誤；客觀外界條件的原因測量條件以外改變引起儀表示值的改變。第32頁/共40頁一、拉伊特準(zhǔn)則如果測量列中某一測定殘差的絕對(duì)值大于該測量列標(biāo)準(zhǔn)偏差的3倍，認(rèn)為該測量列有粗大偏差存在。它是一種最簡單的方法，但是當(dāng)測量次數(shù)n≤10時(shí)，即使測量列中有粗大誤差，此準(zhǔn)則也判定不出來。第33頁/共40頁二、格拉布斯準(zhǔn)則當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)，用以t分布為基礎(chǔ)的格拉布斯準(zhǔn)則判定粗大誤差的存在比較合理。第34頁/共40頁2.7誤差的綜合第35頁/共40頁一、隨機(jī)誤差的綜合若測量結(jié)果中含有k項(xiàng)彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差，各單項(xiàng)測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為σ1，σ2，…,σk,隨機(jī)誤差的綜合效應(yīng)是平方和之均方根，即綜合的標(biāo)準(zhǔn)誤差。第36頁/共40頁第37頁/共4