典型非線性環(huán)節(jié)

典型非線性環(huán)節(jié)第一頁，共八十九頁，2022年，8月28日第六章非線性控制系統(tǒng)分析

§6－1

非線性控制系統(tǒng)的基本概念§6－2

典型非線性環(huán)節(jié)及其對系統(tǒng)的影響§6－4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)§6－3

描述函數(shù)法第二頁，共八十九頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容

1．非線性系統(tǒng)的基本概念

2．典型非線性環(huán)節(jié)及其對系統(tǒng)的影響

3．描述函數(shù)的基本概念及應(yīng)用前提

4．典型非線性特性的描述函數(shù)

5.用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩第三頁，共八十九頁，2022年，8月28日重點與難點

1．非線性系統(tǒng)的性質(zhì)特點

2．用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.基于描述函數(shù)法計算系統(tǒng)自振參數(shù)

4.非線性系統(tǒng)的簡化系統(tǒng)自振參數(shù)的計算與非線性系統(tǒng)的簡化重點難點第四頁，共八十九頁，2022年，8月28日

前述均為線性系統(tǒng)。嚴(yán)格說來，任何一個實際控制系統(tǒng)，其元部件都或多或少的帶有非線性，理想的線性系統(tǒng)實際上不存在。當(dāng)能夠采用小偏差法將非線性系統(tǒng)線性化時，稱為非本質(zhì)性非線性，可以應(yīng)用線性理論；但還有一些元部件的特性不能采用小偏差法進(jìn)行線性化，則稱為本質(zhì)性非線性，如飽和特性、繼電特性等等。這時不能采用線性理論進(jìn)行研究，所以只運用線性理論在工程上是不夠的，還需研究分析非線性理論。本章引言第五頁，共八十九頁，2022年，8月28日k飽和特性繼電特性本章引言（續(xù)）第六頁，共八十九頁，2022年，8月28日§6－1

非線性控制系統(tǒng)的基本概念

若系統(tǒng)含有一個或一個以上的非線性部件或環(huán)節(jié)，則此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)用傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡等概念，線性系統(tǒng)的運動特性與輸入幅值、系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，故常在典型輸入信號下和零初始條件下進(jìn)行分析研究。而由于非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，故不能采用線性系統(tǒng)的分析方法。第七頁，共八十九頁，2022年，8月28日k例如：對于線性系統(tǒng)，但對于非線性系統(tǒng)，例如飽和特性：單獨作用時，而不等于∴非線性系統(tǒng)不能用迭加原理，而且在穩(wěn)定

性、運動形式等方面具有獨特的特點。非線性系統(tǒng)的基本概念（續(xù)）第八頁，共八十九頁，2022年，8月28日一、非線性系統(tǒng)的特征：

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與初始狀態(tài)無關(guān)，與輸入信號無關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，而且與輸入信號以及初始狀態(tài)都有關(guān)。對于同一結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性系統(tǒng)，初始狀態(tài)位于某一較小數(shù)值的區(qū)域內(nèi)時系統(tǒng)穩(wěn)定，但是在較大初始值時系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，有時也可能相反。故對于非線性系統(tǒng)，不應(yīng)籠統(tǒng)地講系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要研究的是非線<一>穩(wěn)定性：第九頁，共八十九頁，2022年，8月28日此為線性系統(tǒng)。

因為t=0時,

可見無論何值系統(tǒng)均穩(wěn)定。性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定問題。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）0第十頁，共八十九頁，2022年，8月28日x項的系數(shù)是與變量x有關(guān)，此為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日因此<1>特征根在左半s平面上，則系統(tǒng)穩(wěn)定。<2>特征根上式解得其暫態(tài)過程為一常數(shù)。

非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日<3>可知特征根在右半s平面上，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由上式解得，此時只有才會有此結(jié)果。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日(∵t必須大于0，解得系統(tǒng)兩個平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，

它對應(yīng)于而平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，稍加擾動不是收斂就是發(fā)散，不可能再回到這個平衡狀態(tài)。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日<二>運動形式：

線性系統(tǒng)的運動形式與輸入信號的大小及初始條件無關(guān)，若某一系統(tǒng)在某一初始條件下的暫態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩形式，則在任何的信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式；而非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)為單調(diào)衰減；而另一初始條件下則為衰減振蕩?！?－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日〈三〉自激振蕩：

在沒有外界周期性輸入信號作用時，線性系統(tǒng)只有=0時產(chǎn)生周期性運動，此時系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。事實上，此種狀態(tài)不會持久，稍有干擾（即使非常細(xì)?。┘纯探K止，轉(zhuǎn)為發(fā)散或收斂。而對于非線性系統(tǒng)，在沒有外界作用時，系統(tǒng)完全有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定的周期運動，既可實現(xiàn)又可保持，稱為自振蕩，§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日其最終穩(wěn)定狀態(tài)有時是等幅的自振蕩，其幅值和頻率由其本身的特性所決定，這是非線性系統(tǒng)一個重要的特有的特性。人們對自振蕩非常感興趣，正常時不需要，設(shè)法消除，但有些情況下人為的引入自振蕩，使系統(tǒng)具有較好的動、靜態(tài)特性。對其研究有很大的實際意義。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日〈四〉頻率響應(yīng)：

穩(wěn)定線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，其幅值和相位均為輸入正弦信號頻率的函數(shù)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量（基頻分量）外，還含有關(guān)于頻率的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變?！?－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日

非線性系統(tǒng)還具有很多與線性系統(tǒng)不同的特異現(xiàn)象，這些現(xiàn)象無法用線性系統(tǒng)理論來解釋，因而有必要研究它們，以便抑制或消除非線性因素的不利影響。在某些情況下，還可以人為地加入某些非線性環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)獲得較線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日〈五〉運動狀態(tài)

1、恒值穩(wěn)定的平衡狀態(tài)

2、恒值自振蕩狀態(tài)

3、不穩(wěn)定狀態(tài)

4、更重復(fù)的其他運動狀態(tài)

5、多值響應(yīng)，跳躍諧振蕩等二．非線性系統(tǒng)的分析方法

1、描述函數(shù)法（或諧波平衡法）

2、相平面法（僅適于一、二階系統(tǒng)）

3、計算機求解法§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第二十頁，共八十九頁，2022年，8月28日§6-2典型非線性環(huán)節(jié)及其對系統(tǒng)的影響

與前述典型環(huán)節(jié)類似，進(jìn)行統(tǒng)一歸類；非線性系統(tǒng)的非線性特性各式各樣，但歸為兩類：

1）單值非線性特性：輸入與輸出有單一的對應(yīng)關(guān)系；

2）非單值非線性特性：對應(yīng)同一個輸入值，輸出的取值非唯一。按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀可分為飽和、死區(qū)、間隙、繼電及變放大系數(shù)特性等。第二十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日一．死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性：

x1、實際中具有死區(qū)特性的元部件：1）測量、放大元件：輸入信號在零值附近的某一小范圍內(nèi)，輸出等于零；只有當(dāng)輸入信號大于此信號范圍時，才有輸出，如敏感元件?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日2）執(zhí)行機構(gòu)：接受到信號后不能馬上動作，只有當(dāng)輸入信號大到一定數(shù)值后才動作，如電動機。2、特點：使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差（測量元件尤為明顯），執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)可能造成運動系統(tǒng)的低速不均勻，甚至使隨動系統(tǒng)不能準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)。死區(qū)特性（續(xù)）3、用途：有時人為的引入死區(qū)，可消除高頻的小幅度振蕩。4、多個元件均存在死區(qū)時，系統(tǒng)總的死區(qū)可進(jìn)行折算（見下頁圖）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日RC-比較執(zhí)行放大此時折算到比較元件的端總的死區(qū)為：可見：最前面的元件的死區(qū)影響最大，且若加大前前面的死區(qū)特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日二．飽和特性：

§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日1、實際中具有飽和特征的元件：1）放大器：只能在一定的范圍內(nèi)保持輸出量與輸入量之間的線性關(guān)系，超出則輸出限幅。2）鐵磁元件：鐵芯線圈，電機，變壓器等。2、特點：使系統(tǒng)在大信號作用下的等效增益↓，深度飽和情況下甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。飽和特性（續(xù)）3、用途：認(rèn)為地利用飽和特性做限幅，限制某些物理量，保證系統(tǒng)安全合理的工作，如調(diào)速系統(tǒng)中利用轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的輸出限幅值來限制，以?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日三．間隙（回環(huán)）特性：1、實際存在間隙的元件：

1）傳動機構(gòu)：如齒輪轉(zhuǎn)動，當(dāng)主動輪改變方向時從動輪保持位置不變，直到間隙消除。

2）鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象。

2、特點：對系統(tǒng)影響較復(fù)雜，過大而燒壞。護(hù)電動機不致因飽和特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日3、措施：提高齒輪的加工精度，采用速度反饋的控制系統(tǒng)，測速機聯(lián)軸器要安裝合適。一般會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，動態(tài)性能變差，振蕩↑，穩(wěn)定性↓?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)間隙特性（續(xù)）第二十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日四、繼電特性：1、吸和動作電流大于釋放動作電流，使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)令返回系數(shù)第二十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日繼電特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)

若返回系數(shù)m=1，則無回環(huán)，其特性稱為具有死區(qū)的單值繼電特性，如圖a所示。若返回系數(shù)m=-1即繼電器的正向返回電流等于反向動作電流時，其特性稱為具有回環(huán)的繼電特性，如圖b所示。abc第三十頁，共八十九頁，2022年，8月28日繼電特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)

若i=0，即繼電器的動作電流及返回電流均為零值切換，則稱這種特性為理想繼電特性，如圖c所示。abc第三十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、檢測電平時的射極耦合觸發(fā)器或運放組成的電平檢測器等比較電路也具有繼電特性：如邏輯無環(huán)流調(diào)速系統(tǒng)。五、變放大系數(shù)特性：特點：大誤差e（t）時具有大的k→系統(tǒng)響應(yīng)迅速，小誤差e(t)時具有小的k→系統(tǒng)響應(yīng)§6-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日平穩(wěn)，減少甚至消除超調(diào)量,若系統(tǒng)中混入高頻小振幅噪聲信號時，可抑制掉。六、帶死區(qū)的飽和特性：

1、測量元件：其最大測量范圍與最小測量范圍都為有限幅時。2、樞控直流電動機的轉(zhuǎn)速n：達(dá)到一定值時，才有n，不再增加.§6-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日★注意：盡管各種復(fù)雜非線性特性可以看作是各種典型非線性特性的組合，但決不能將各個典型非線性環(huán)節(jié)的響應(yīng)相加作為復(fù)雜非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，因為他們不能用迭加原理。非線性的存在使系統(tǒng)變的復(fù)雜，沒有統(tǒng)一的方法用來處理所有的非線性系統(tǒng)，實用中采用線性化處理，能用小偏差法的在第二章已講述，其他可用諧波線性化方法—

描述函數(shù)法近似研究非線性系統(tǒng)?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日§6-3描述函數(shù)法一．基本概念：該方法是研究非線性系統(tǒng)自振蕩的有效方法。非線性系統(tǒng)不能直接使用頻率法，但某些非線性環(huán)節(jié)可對正弦信號的響應(yīng)進(jìn)行諧波分解，滿足一定條件時，非線性特性對系統(tǒng)的影響可用基波來描述。描述函數(shù)法——基于諧波分解的線性化近似方法，也叫諧波平衡法。第三十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

設(shè)非線性系統(tǒng)滿足以下兩個條件：

1)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號作正弦信號變化時，輸出同頻率的非正弦周期信號，而且平均值為零，不產(chǎn)生直流項。這就要求非線性元件的輸入和輸出特性是斜對稱的（即具有奇對稱性，典型非線性均滿足奇對稱性）；

2)系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波特性（一般控制系統(tǒng)能滿足，且階次↑→低通特性好）；

1．基本原理和應(yīng)用條件：第三十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日則當(dāng)非線性元件輸入正弦信號時，其輸出中的高次諧波分量（本來就比基波分量?。┙?jīng)線性部分后將大大↓。因此，可以用非線性元件的輸出信號的一次諧波分量來代替非線性元件在正弦信號下的實際輸出（高次經(jīng)線性部分已↓↓，可忽略）。這就是描述函數(shù)法的概念。

2．描述函數(shù)的概念及定義：y(t)為非正弦周期信號，傅立葉展開有：描述函數(shù)法第三十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日若非線性特性是中心對稱的即y(t)奇對稱，描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第三十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日在此，N—非線性元件的描述函數(shù)，常用N(A)表示；A—正弦輸入信號的幅值；★定義：描述函數(shù)為非線性元件輸出的一次諧波分量

與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)比.描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第三十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日若非線性元件中不含有儲能元件，則N只是A的函數(shù)，若非線性元件中含有儲能元件，則N是A和ω的函數(shù)：此方法稱為諧波線性化法，N（A）又稱為非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第四十頁，共八十九頁，2022年，8月28日3．描述函數(shù)的物理意義：舉例說明：y(t)為非正弦周期函數(shù)，∵非線性特性為單值奇對稱，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。第四十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日（只與A有關(guān)）。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）第四十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日也就完全確定了。

相當(dāng)于用斜率為1.25的直線代替了元件的非線性特征

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）

之間成為線性關(guān)系，即當(dāng)12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。第四十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日

同理，A＝4時，用斜率為3.5的直線代替；即進(jìn)行了線性化處理。的線性關(guān)系也隨之改變。

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且說明：當(dāng)A改變時，N（A）隨之改變，第四十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日★用描述函數(shù)表示非線性特性時，相當(dāng)于用斜率隨輸入振幅A而變的一簇直線代替了元件本來的非線性特性，因此，可以把非線性元件看作是一個放大器，其增益是一個復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)的模值和幅角是幅值A(chǔ)

的函數(shù)。用描述函數(shù)表示非線性元件后，就可以用線性理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特性，關(guān)鍵是

N（A）的計算。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）第四十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

二．典型非線性特性的描述函數(shù)

1、飽和限幅：（見下頁圖）∵y(t)為奇函數(shù)∴第四十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日

圖6-14飽和特性及其輸入輸出波形第四十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日

（條件：A>c）[A<c時為線性，求N（A）無意義]；

可見:N與ω?zé)o關(guān)。飽和特性的描述函數(shù)（續(xù)）第四十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日2、死區(qū)特性：（見下頁圖）可見：N與ω也無關(guān)。第四十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日圖6-15死區(qū)特性及其輸入輸出波形第五十頁，共八十九頁，2022年，8月28日3、間隙特性：（見下頁圖）當(dāng)A>c時，當(dāng)A<c時，在間隙之內(nèi)，y=0。

(A>c)因為間隙特性是多值函數(shù)，它在正弦信號作用下的y(t)都需要計算，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。第五十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日圖6-16間隙特性及其輸入輸出波形第五十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日N(A)(A>c)4.繼電特性：為非單值奇對稱，∴都需要計算。典型非線性特性的描述函數(shù)

表6-1列出了一些典型非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。第五十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日圖6-17具有回環(huán)的繼電特性及其輸入輸出波形第五十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日§6—4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

一個非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)只是表示了該環(huán)節(jié)在正弦輸入下環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量與輸入的關(guān)系，顯然它不能象線性元件的頻率特性那樣全面的反映非線性環(huán)節(jié)的性質(zhì)。但在實際中，問題不是孤立的研究一個非線性環(huán)節(jié)，而是研究一個非線性系統(tǒng)的運動，特別是常常研究系統(tǒng)的振蕩問題，故可以用描述函數(shù)去近似的表示非線性環(huán)節(jié)的特性。

任何非線性系統(tǒng)經(jīng)過對方框圖的變換與簡化都可以表示成由線性部分G(jω)與非線性部分N(A)相串聯(lián)的情況，如下頁圖所示。第五十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日對于非線性系統(tǒng)的分析，主要考慮它的穩(wěn)定性及能否產(chǎn)生自振蕩。自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩，與外加的輸入信號及干擾信號無關(guān)?！嗫梢哉J(rèn)為假設(shè)x為一正弦波：一、負(fù)倒描述函數(shù)第五十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日對于線性部分，當(dāng)輸入y1時，其輸出

故在沒有外作用下，系統(tǒng)有一個正弦振蕩輸出信號。---系統(tǒng)有一個正弦振蕩運動解的充要條件。描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（續(xù)）第五十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日

---稱為負(fù)倒描述函數(shù)，它相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的（-１，j0)點，線性系統(tǒng)中閉環(huán)特性方程為，非線性系統(tǒng)中閉環(huán)特征方程為，將曲線與曲線畫在同一復(fù)平面上，兩曲線的交點即滿足上式。即可確定系統(tǒng)的周期運動解：A0，ω0

，即在交點處由曲線所對應(yīng)的ω即為ω0

，曲線所對應(yīng)A即為振幅A0。描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（續(xù)）第五十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

1．若曲線不包圍曲線，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如下頁圖（a）所示；2．若曲線包圍了曲線，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，如下頁圖（b）所示；3．若曲線與曲線相交，則系統(tǒng)中第五十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日產(chǎn)生周期性振蕩，可穩(wěn)可不穩(wěn)，其振幅由交點處的A值決定，其頻率由交點處的的ω決定。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（續(xù)）第六十頁，共八十九頁，2022年，8月28日三、振蕩狀態(tài)的確定：如上第三種情況，當(dāng)系統(tǒng)存在周期運動解時，在沒有外輸入的情況下，系統(tǒng)的輸出為一正弦周期運動。但任一系統(tǒng)在實際中總是受到形形色色的干擾，所以干擾下正弦周期運動是否能保持振幅和頻率不變，使第六十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日使系統(tǒng)保持自振蕩，也就是系統(tǒng)的周期運動是否是穩(wěn)定的，研究這個問題對實際應(yīng)用很有意義。此時系統(tǒng)有周期運動解相當(dāng)于線性系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的情況，設(shè)受干擾后，x的變化規(guī)律為非平穩(wěn)的振蕩，近似于正弦但A

緩慢的↑或↓，若設(shè)受干擾后，非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于具有幅相特性的線性環(huán)節(jié)，用線性理論可以研究此時的穩(wěn)定性：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日有a，b兩交點，如下圖所示。１）在a點：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）不包圍c點，收斂；包圍d點，發(fā)散；所以a點是穩(wěn)定工作點，可以形成自振蕩。第六十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日２)在b點：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）所以b點不是穩(wěn)定工作點?！锎讼到y(tǒng)最終呈現(xiàn)兩種可能的運動狀態(tài)：<1>當(dāng)擾動較小，其幅值<

Ab時，系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)，不產(chǎn)生自振蕩；第六十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日★判斷自振點的簡便方法：

在復(fù)平面上，將被包圍的區(qū)域看成是不穩(wěn)定區(qū)域，而不被包圍的區(qū)域看成是穩(wěn)定區(qū)振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日域，當(dāng)交點處的曲線沿著A↑的方向是由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點為穩(wěn)定的周期運動，反之則不是。若為穩(wěn)定的自振蕩點，可確定其振幅和頻率。例1：具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如下頁圖所示。求：

<1>時自振點：，；

<2>若使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，不出現(xiàn)自振，k的臨界值=?振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日解:<1>在此：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日j0振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十八頁，共八十九頁，2022年，8月28日用試湊法求得振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十九頁，共八十九頁，2022年，8月28日<2>若要穩(wěn)定且不振蕩，可使k↓。當(dāng)k↓一半時，

時交點為不振蕩，振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十頁，共八十九頁，2022年，8月28日例2

一繼電控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。繼電器參數(shù)h=1，M=3，試分析系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振蕩。若產(chǎn)生自振蕩，求出振幅和振蕩頻率。若要使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，應(yīng)如何調(diào)整繼電器參數(shù)？解：帶死區(qū)的繼電特性的描述函數(shù)為第七十一頁，共八十九頁，2022年，8月28日

（當(dāng)A→h時，當(dāng)A→∞時，振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十二頁，共八十九頁，2022年，8月28日可見，在負(fù)實軸上有極值點。求得極值點為由h=1，M=3可得振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十三頁，共八十九頁，2022年，8月28日振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十四頁，共八十九頁，2022年，8月28日求得兩個振幅值A(chǔ)1=1.11，A2=2.3。振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十五頁，共八十九頁，2022年，8月28日

顯然，系統(tǒng)會產(chǎn)生一個穩(wěn)定的自振蕩，其振幅為A=2.3，頻率為

為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，可令振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十六頁，共八十九頁，2022年，8月28日

★指出：應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期運動的穩(wěn)定性，都是假定系統(tǒng)中只有基波分量，而且是正弦基波分量情況下的輸出，實際上，這一假定并非絕對能滿足，系統(tǒng)中會有高次諧波分量流通，實際系統(tǒng)自振的波形也是一個比較復(fù)雜的周期性波振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）由此求得繼電器參數(shù)比M/h<2.36。如調(diào)整M和h比例為M=2h，則系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩。第七十七頁，共八十九頁，2022年，8月28日形，并非純正弦波?！嗝枋龊瘮?shù)法只是一種近似的研究方法，同時在采用描述函數(shù)法時又是采用的圖解法，因此必然存在著精確度問題，

幾乎垂直相交且諧波衰減的越小時，分析結(jié)果準(zhǔn)確。當(dāng)

對高次在交點幾