典型非線性環(huán)節(jié)

典型非線性環(huán)節(jié)第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日第六章非線性控制系統(tǒng)分析

§6－1

非線性控制系統(tǒng)的基本概念§6－2

典型非線性環(huán)節(jié)及其對(duì)系統(tǒng)的影響§6－4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)§6－3

描述函數(shù)法第二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容

1．非線性系統(tǒng)的基本概念

2．典型非線性環(huán)節(jié)及其對(duì)系統(tǒng)的影響

3．描述函數(shù)的基本概念及應(yīng)用前提

4．典型非線性特性的描述函數(shù)

5.用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日重點(diǎn)與難點(diǎn)

1．非線性系統(tǒng)的性質(zhì)特點(diǎn)

2．用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.基于描述函數(shù)法計(jì)算系統(tǒng)自振參數(shù)

4.非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化系統(tǒng)自振參數(shù)的計(jì)算與非線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化重點(diǎn)難點(diǎn)第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

前述均為線性系統(tǒng)。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，任何一個(gè)實(shí)際控制系統(tǒng)，其元部件都或多或少的帶有非線性，理想的線性系統(tǒng)實(shí)際上不存在。當(dāng)能夠采用小偏差法將非線性系統(tǒng)線性化時(shí)，稱(chēng)為非本質(zhì)性非線性，可以應(yīng)用線性理論；但還有一些元部件的特性不能采用小偏差法進(jìn)行線性化，則稱(chēng)為本質(zhì)性非線性，如飽和特性、繼電特性等等。這時(shí)不能采用線性理論進(jìn)行研究，所以只運(yùn)用線性理論在工程上是不夠的，還需研究分析非線性理論。本章引言第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日k飽和特性繼電特性本章引言（續(xù)）第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日§6－1

非線性控制系統(tǒng)的基本概念

若系統(tǒng)含有一個(gè)或一個(gè)以上的非線性部件或環(huán)節(jié)，則此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)用傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡等概念，線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性與輸入幅值、系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，故常在典型輸入信號(hào)下和零初始條件下進(jìn)行分析研究。而由于非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，故不能采用線性系統(tǒng)的分析方法。第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日k例如：對(duì)于線性系統(tǒng)，但對(duì)于非線性系統(tǒng)，例如飽和特性：?jiǎn)为?dú)作用時(shí)，而不等于∴非線性系統(tǒng)不能用迭加原理，而且在穩(wěn)定

性、運(yùn)動(dòng)形式等方面具有獨(dú)特的特點(diǎn)。非線性系統(tǒng)的基本概念（續(xù)）第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日一、非線性系統(tǒng)的特征：

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，而且與輸入信號(hào)以及初始狀態(tài)都有關(guān)。對(duì)于同一結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性系統(tǒng)，初始狀態(tài)位于某一較小數(shù)值的區(qū)域內(nèi)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，但是在較大初始值時(shí)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，有時(shí)也可能相反。故對(duì)于非線性系統(tǒng)，不應(yīng)籠統(tǒng)地講系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要研究的是非線<一>穩(wěn)定性：第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日此為線性系統(tǒng)。

因?yàn)閠=0時(shí),

可見(jiàn)無(wú)論何值系統(tǒng)均穩(wěn)定。性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定問(wèn)題。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）0第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日x項(xiàng)的系數(shù)是與變量x有關(guān)，此為非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日因此<1>特征根在左半s平面上，則系統(tǒng)穩(wěn)定。<2>特征根上式解得其暫態(tài)過(guò)程為一常數(shù)。

非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日<3>可知特征根在右半s平面上，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由上式解得，此時(shí)只有才會(huì)有此結(jié)果。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日(∵t必須大于0，解得系統(tǒng)兩個(gè)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，

它對(duì)應(yīng)于而平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，稍加擾動(dòng)不是收斂就是發(fā)散，不可能再回到這個(gè)平衡狀態(tài)。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日<二>運(yùn)動(dòng)形式：

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式與輸入信號(hào)的大小及初始條件無(wú)關(guān)，若某一系統(tǒng)在某一初始條件下的暫態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩形式，則在任何的信號(hào)及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式；而非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)為單調(diào)衰減；而另一初始條件下則為衰減振蕩?！?－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日〈三〉自激振蕩：

在沒(méi)有外界周期性輸入信號(hào)作用時(shí)，線性系統(tǒng)只有=0時(shí)產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。事實(shí)上，此種狀態(tài)不會(huì)持久，稍有干擾（即使非常細(xì)?。┘纯探K止，轉(zhuǎn)為發(fā)散或收斂。而對(duì)于非線性系統(tǒng)，在沒(méi)有外界作用時(shí)，系統(tǒng)完全有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，既可實(shí)現(xiàn)又可保持，稱(chēng)為自振蕩，§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日其最終穩(wěn)定狀態(tài)有時(shí)是等幅的自振蕩，其幅值和頻率由其本身的特性所決定，這是非線性系統(tǒng)一個(gè)重要的特有的特性。人們對(duì)自振蕩非常感興趣，正常時(shí)不需要，設(shè)法消除，但有些情況下人為的引入自振蕩，使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)、靜態(tài)特性。對(duì)其研究有很大的實(shí)際意義。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日〈四〉頻率響應(yīng)：

穩(wěn)定線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，其幅值和相位均為輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量（基頻分量）外，還含有關(guān)于頻率的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié)，輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變?！?－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

非線性系統(tǒng)還具有很多與線性系統(tǒng)不同的特異現(xiàn)象，這些現(xiàn)象無(wú)法用線性系統(tǒng)理論來(lái)解釋?zhuān)蚨斜匾芯克鼈?，以便抑制或消除非線性因素的不利影響。在某些情況下，還可以人為地加入某些非線性環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)獲得較線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。非線性系統(tǒng)的特征（續(xù)）§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日〈五〉運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

1、恒值穩(wěn)定的平衡狀態(tài)

2、恒值自振蕩狀態(tài)

3、不穩(wěn)定狀態(tài)

4、更重復(fù)的其他運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

5、多值響應(yīng)，跳躍諧振蕩等二．非線性系統(tǒng)的分析方法

1、描述函數(shù)法（或諧波平衡法）

2、相平面法（僅適于一、二階系統(tǒng)）

3、計(jì)算機(jī)求解法§6－1非線性系統(tǒng)的基本概念第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日§6-2典型非線性環(huán)節(jié)及其對(duì)系統(tǒng)的影響

與前述典型環(huán)節(jié)類(lèi)似，進(jìn)行統(tǒng)一歸類(lèi)；非線性系統(tǒng)的非線性特性各式各樣，但歸為兩類(lèi)：

1）單值非線性特性：輸入與輸出有單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2）非單值非線性特性：對(duì)應(yīng)同一個(gè)輸入值，輸出的取值非唯一。按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀可分為飽和、死區(qū)、間隙、繼電及變放大系數(shù)特性等。第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日一．死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性：

x1、實(shí)際中具有死區(qū)特性的元部件：1）測(cè)量、放大元件：輸入信號(hào)在零值附近的某一小范圍內(nèi)，輸出等于零；只有當(dāng)輸入信號(hào)大于此信號(hào)范圍時(shí)，才有輸出，如敏感元件。§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2）執(zhí)行機(jī)構(gòu)：接受到信號(hào)后不能馬上動(dòng)作，只有當(dāng)輸入信號(hào)大到一定數(shù)值后才動(dòng)作，如電動(dòng)機(jī)。2、特點(diǎn)：使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差（測(cè)量元件尤為明顯），執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)可能造成運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的低速不均勻，甚至使隨動(dòng)系統(tǒng)不能準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)。死區(qū)特性（續(xù)）3、用途：有時(shí)人為的引入死區(qū)，可消除高頻的小幅度振蕩。4、多個(gè)元件均存在死區(qū)時(shí)，系統(tǒng)總的死區(qū)可進(jìn)行折算（見(jiàn)下頁(yè)圖）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日RC-比較執(zhí)行放大此時(shí)折算到比較元件的端總的死區(qū)為：可見(jiàn)：最前面的元件的死區(qū)影響最大，且若加大前前面的死區(qū)特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日二．飽和特性：

§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日1、實(shí)際中具有飽和特征的元件：1）放大器：只能在一定的范圍內(nèi)保持輸出量與輸入量之間的線性關(guān)系，超出則輸出限幅。2）鐵磁元件：鐵芯線圈，電機(jī)，變壓器等。2、特點(diǎn)：使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效增益↓，深度飽和情況下甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。飽和特性（續(xù)）3、用途：認(rèn)為地利用飽和特性做限幅，限制某些物理量，保證系統(tǒng)安全合理的工作，如調(diào)速系統(tǒng)中利用轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的輸出限幅值來(lái)限制，以?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日三．間隙（回環(huán)）特性：1、實(shí)際存在間隙的元件：

1）傳動(dòng)機(jī)構(gòu)：如齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)主動(dòng)輪改變方向時(shí)從動(dòng)輪保持位置不變，直到間隙消除。

2）鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象。

2、特點(diǎn)：對(duì)系統(tǒng)影響較復(fù)雜，過(guò)大而燒壞。護(hù)電動(dòng)機(jī)不致因飽和特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日3、措施：提高齒輪的加工精度，采用速度反饋的控制系統(tǒng)，測(cè)速機(jī)聯(lián)軸器要安裝合適。一般會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，動(dòng)態(tài)性能變差，振蕩↑，穩(wěn)定性↓。§6-2典型非線性環(huán)節(jié)間隙特性（續(xù)）第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日四、繼電特性：1、吸和動(dòng)作電流大于釋放動(dòng)作電流，使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)令返回系數(shù)第二十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日繼電特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)

若返回系數(shù)m=1，則無(wú)回環(huán)，其特性稱(chēng)為具有死區(qū)的單值繼電特性，如圖a所示。若返回系數(shù)m=-1即繼電器的正向返回電流等于反向動(dòng)作電流時(shí)，其特性稱(chēng)為具有回環(huán)的繼電特性，如圖b所示。abc第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日繼電特性（續(xù)）§6-2典型非線性環(huán)節(jié)

若i=0，即繼電器的動(dòng)作電流及返回電流均為零值切換，則稱(chēng)這種特性為理想繼電特性，如圖c所示。abc第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2、檢測(cè)電平時(shí)的射極耦合觸發(fā)器或運(yùn)放組成的電平檢測(cè)器等比較電路也具有繼電特性：如邏輯無(wú)環(huán)流調(diào)速系統(tǒng)。五、變放大系數(shù)特性：特點(diǎn)：大誤差e（t）時(shí)具有大的k→系統(tǒng)響應(yīng)迅速，小誤差e(t)時(shí)具有小的k→系統(tǒng)響應(yīng)§6-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)，減少甚至消除超調(diào)量,若系統(tǒng)中混入高頻小振幅噪聲信號(hào)時(shí)，可抑制掉。六、帶死區(qū)的飽和特性：

1、測(cè)量元件：其最大測(cè)量范圍與最小測(cè)量范圍都為有限幅時(shí)。2、樞控直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速n：達(dá)到一定值時(shí)，才有n，不再增加.§6-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日★注意：盡管各種復(fù)雜非線性特性可以看作是各種典型非線性特性的組合，但決不能將各個(gè)典型非線性環(huán)節(jié)的響應(yīng)相加作為復(fù)雜非線性系統(tǒng)的響應(yīng)，因?yàn)樗麄儾荒苡玫釉?。非線性的存在使系統(tǒng)變的復(fù)雜，沒(méi)有統(tǒng)一的方法用來(lái)處理所有的非線性系統(tǒng)，實(shí)用中采用線性化處理，能用小偏差法的在第二章已講述，其他可用諧波線性化方法—

描述函數(shù)法近似研究非線性系統(tǒng)?！?-2典型非線性環(huán)節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日§6-3描述函數(shù)法一．基本概念：該方法是研究非線性系統(tǒng)自振蕩的有效方法。非線性系統(tǒng)不能直接使用頻率法，但某些非線性環(huán)節(jié)可對(duì)正弦信號(hào)的響應(yīng)進(jìn)行諧波分解，滿(mǎn)足一定條件時(shí)，非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響可用基波來(lái)描述。描述函數(shù)法——基于諧波分解的線性化近似方法，也叫諧波平衡法。第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)非線性系統(tǒng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

1)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)作正弦信號(hào)變化時(shí)，輸出同頻率的非正弦周期信號(hào)，而且平均值為零，不產(chǎn)生直流項(xiàng)。這就要求非線性元件的輸入和輸出特性是斜對(duì)稱(chēng)的（即具有奇對(duì)稱(chēng)性，典型非線性均滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)性）；

2)系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波特性（一般控制系統(tǒng)能滿(mǎn)足，且階次↑→低通特性好）；

1．基本原理和應(yīng)用條件：第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日則當(dāng)非線性元件輸入正弦信號(hào)時(shí)，其輸出中的高次諧波分量（本來(lái)就比基波分量?。┙?jīng)線性部分后將大大↓。因此，可以用非線性元件的輸出信號(hào)的一次諧波分量來(lái)代替非線性元件在正弦信號(hào)下的實(shí)際輸出（高次經(jīng)線性部分已↓↓，可忽略）。這就是描述函數(shù)法的概念。

2．描述函數(shù)的概念及定義：y(t)為非正弦周期信號(hào)，傅立葉展開(kāi)有：描述函數(shù)法第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日若非線性特性是中心對(duì)稱(chēng)的即y(t)奇對(duì)稱(chēng)，描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日在此，N—非線性元件的描述函數(shù)，常用N(A)表示；A—正弦輸入信號(hào)的幅值；★定義：描述函數(shù)為非線性元件輸出的一次諧波分量

與正弦輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比.描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日若非線性元件中不含有儲(chǔ)能元件，則N只是A的函數(shù)，若非線性元件中含有儲(chǔ)能元件，則N是A和ω的函數(shù)：此方法稱(chēng)為諧波線性化法，N（A）又稱(chēng)為非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性描述函數(shù)的概念及定義（續(xù)）第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日3．描述函數(shù)的物理意義：舉例說(shuō)明：y(t)為非正弦周期函數(shù)，∵非線性特性為單值奇對(duì)稱(chēng)，12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日（只與A有關(guān)）。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日也就完全確定了。

相當(dāng)于用斜率為1.25的直線代替了元件的非線性特征

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）

之間成為線性關(guān)系，即當(dāng)12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

同理，A＝4時(shí)，用斜率為3.5的直線代替；即進(jìn)行了線性化處理。的線性關(guān)系也隨之改變。

描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且說(shuō)明：當(dāng)A改變時(shí)，N（A）隨之改變，第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日★用描述函數(shù)表示非線性特性時(shí)，相當(dāng)于用斜率隨輸入振幅A而變的一簇直線代替了元件本來(lái)的非線性特性，因此，可以把非線性元件看作是一個(gè)放大器，其增益是一個(gè)復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)的模值和幅角是幅值A(chǔ)

的函數(shù)。用描述函數(shù)表示非線性元件后，就可以用線性理論中的頻率法來(lái)研究非線性系統(tǒng)的基本特性，關(guān)鍵是

N（A）的計(jì)算。描述函數(shù)的物理意義（續(xù)）第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

二．典型非線性特性的描述函數(shù)

1、飽和限幅：（見(jiàn)下頁(yè)圖）∵y(t)為奇函數(shù)∴第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

圖6-14飽和特性及其輸入輸出波形第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

（條件：A>c）[A<c時(shí)為線性，求N（A）無(wú)意義]；

可見(jiàn):N與ω?zé)o關(guān)。飽和特性的描述函數(shù)（續(xù)）第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日2、死區(qū)特性：（見(jiàn)下頁(yè)圖）可見(jiàn)：N與ω也無(wú)關(guān)。第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D6-15死區(qū)特性及其輸入輸出波形第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日3、間隙特性：（見(jiàn)下頁(yè)圖）當(dāng)A>c時(shí)，當(dāng)A<c時(shí)，在間隙之內(nèi)，y=0。

(A>c)因?yàn)殚g隙特性是多值函數(shù)，它在正弦信號(hào)作用下的y(t)都需要計(jì)算，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D6-16間隙特性及其輸入輸出波形第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日N(A)(A>c)4.繼電特性：為非單值奇對(duì)稱(chēng)，∴都需要計(jì)算。典型非線性特性的描述函數(shù)

表6-1列出了一些典型非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D6-17具有回環(huán)的繼電特性及其輸入輸出波形第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日§6—4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

一個(gè)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)只是表示了該環(huán)節(jié)在正弦輸入下環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量與輸入的關(guān)系，顯然它不能象線性元件的頻率特性那樣全面的反映非線性環(huán)節(jié)的性質(zhì)。但在實(shí)際中，問(wèn)題不是孤立的研究一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，而是研究一個(gè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，特別是常常研究系統(tǒng)的振蕩問(wèn)題，故可以用描述函數(shù)去近似的表示非線性環(huán)節(jié)的特性。

任何非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)對(duì)方框圖的變換與簡(jiǎn)化都可以表示成由線性部分G(jω)與非線性部分N(A)相串聯(lián)的情況，如下頁(yè)圖所示。第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析，主要考慮它的穩(wěn)定性及能否產(chǎn)生自振蕩。自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩，與外加的輸入信號(hào)及干擾信號(hào)無(wú)關(guān)?！嗫梢哉J(rèn)為假設(shè)x為一正弦波：一、負(fù)倒描述函數(shù)第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于線性部分，當(dāng)輸入y1時(shí)，其輸出

故在沒(méi)有外作用下，系統(tǒng)有一個(gè)正弦振蕩輸出信號(hào)。---系統(tǒng)有一個(gè)正弦振蕩運(yùn)動(dòng)解的充要條件。描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（續(xù)）第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

---稱(chēng)為負(fù)倒描述函數(shù)，它相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的（-１，j0)點(diǎn)，線性系統(tǒng)中閉環(huán)特性方程為，非線性系統(tǒng)中閉環(huán)特征方程為，將曲線與曲線畫(huà)在同一復(fù)平面上，兩曲線的交點(diǎn)即滿(mǎn)足上式。即可確定系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)解：A0，ω0

，即在交點(diǎn)處由曲線所對(duì)應(yīng)的ω即為ω0

，曲線所對(duì)應(yīng)A即為振幅A0。描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)（續(xù)）第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

1．若曲線不包圍曲線，則系統(tǒng)穩(wěn)定，如下頁(yè)圖（a）所示；2．若曲線包圍了曲線，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，如下頁(yè)圖（b）所示；3．若曲線與曲線相交，則系統(tǒng)中第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日產(chǎn)生周期性振蕩，可穩(wěn)可不穩(wěn)，其振幅由交點(diǎn)處的A值決定，其頻率由交點(diǎn)處的的ω決定。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（續(xù)）第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日三、振蕩狀態(tài)的確定：如上第三種情況，當(dāng)系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)解時(shí)，在沒(méi)有外輸入的情況下，系統(tǒng)的輸出為一正弦周期運(yùn)動(dòng)。但任一系統(tǒng)在實(shí)際中總是受到形形色色的干擾，所以干擾下正弦周期運(yùn)動(dòng)是否能保持振幅和頻率不變，使第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日使系統(tǒng)保持自振蕩，也就是系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)是否是穩(wěn)定的，研究這個(gè)問(wèn)題對(duì)實(shí)際應(yīng)用很有意義。此時(shí)系統(tǒng)有周期運(yùn)動(dòng)解相當(dāng)于線性系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的情況，設(shè)受干擾后，x的變化規(guī)律為非平穩(wěn)的振蕩，近似于正弦但A

緩慢的↑或↓，若設(shè)受干擾后，非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于具有幅相特性的線性環(huán)節(jié)，用線性理論可以研究此時(shí)的穩(wěn)定性：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日有a，b兩交點(diǎn)，如下圖所示。１）在a點(diǎn)：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）不包圍c點(diǎn)，收斂；包圍d點(diǎn)，發(fā)散；所以a點(diǎn)是穩(wěn)定工作點(diǎn)，可以形成自振蕩。第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日２)在b點(diǎn)：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）所以b點(diǎn)不是穩(wěn)定工作點(diǎn)。★此系統(tǒng)最終呈現(xiàn)兩種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：<1>當(dāng)擾動(dòng)較小，其幅值<

Ab時(shí)，系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)，不產(chǎn)生自振蕩；第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日★判斷自振點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：

在復(fù)平面上，將被包圍的區(qū)域看成是不穩(wěn)定區(qū)域，而不被包圍的區(qū)域看成是穩(wěn)定區(qū)振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日域，當(dāng)交點(diǎn)處的曲線沿著A↑的方向是由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，反之則不是。若為穩(wěn)定的自振蕩點(diǎn)，可確定其振幅和頻率。例1：具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如下頁(yè)圖所示。求：

<1>時(shí)自振點(diǎn)：，；

<2>若使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，不出現(xiàn)自振，k的臨界值=?振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日解:<1>在此：振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日j0振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日用試湊法求得振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日<2>若要穩(wěn)定且不振蕩，可使k↓。當(dāng)k↓一半時(shí)，

時(shí)交點(diǎn)為不振蕩，振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日例2

一繼電控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。繼電器參數(shù)h=1，M=3，試分析系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振蕩。若產(chǎn)生自振蕩，求出振幅和振蕩頻率。若要使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，應(yīng)如何調(diào)整繼電器參數(shù)？解：帶死區(qū)的繼電特性的描述函數(shù)為第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

（當(dāng)A→h時(shí)，當(dāng)A→∞時(shí)，振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日可見(jiàn)，在負(fù)實(shí)軸上有極值點(diǎn)。求得極值點(diǎn)為由h=1，M=3可得振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日求得兩個(gè)振幅值A(chǔ)1=1.11，A2=2.3。振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

顯然，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的自振蕩，其振幅為A=2.3，頻率為

為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩，可令振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）第七十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日

★指出：應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，都是假定系統(tǒng)中只有基波分量，而且是正弦基波分量情況下的輸出，實(shí)際上，這一假定并非絕對(duì)能滿(mǎn)足，系統(tǒng)中會(huì)有高次諧波分量流通，實(shí)際系統(tǒng)自振的波形也是一個(gè)比較復(fù)雜的周期性波振蕩狀態(tài)的確定（續(xù)）由此求得繼電器參數(shù)比M/h<2.36。如調(diào)整M和h比例為M=2h，則系統(tǒng)不產(chǎn)生自振蕩。第七十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，2022年，8月28日形，并非純正弦波。∴描述函數(shù)法只是一種近似的研究方法，同時(shí)在采用描述函數(shù)法時(shí)又是采用的圖解法，因此必然存在著精確度問(wèn)題，

幾乎垂直相交且諧波衰減的越小時(shí)，分析結(jié)果準(zhǔn)確。當(dāng)

對(duì)高次在交點(diǎn)幾