2023年上海高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)

2023年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷〔理工農(nóng)醫(yī)類〕一、填空題1．計(jì)算：.【測量目標(biāo)】數(shù)列極限的運(yùn)算.【考查方式】給出了數(shù)列進(jìn)行化簡，根據(jù)極限運(yùn)算法那么算出極限.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】根據(jù)極限運(yùn)算法那么，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，那么.【測量目標(biāo)】復(fù)數(shù)的根本概念.【考查方式】給出復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的根本概念算出m的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】．3．假設(shè)，那么.【測量目標(biāo)】行列式的初步運(yùn)算.【考查方式】給出行列式，由行列式的運(yùn)算法那么計(jì)算出的大小.【難易程度】容易【參考答案】0【試題解析】．4．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，假設(shè)，那么角C的大小是_______________.〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕【測量目標(biāo)】余弦定理，反三角函數(shù).【考查方式】利用余弦定理解出角C，再用反三角函數(shù)值表示.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，故．5．設(shè)常數(shù)，假設(shè)的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，那么.【測量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】根據(jù)某一項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出未知量的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】，故．6．方程的實(shí)數(shù)解為________.【測量目標(biāo)】指數(shù)方程.【考查方式】給出了指數(shù)方程，化簡求值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】原方程整理后變?yōu)椋?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為__________.【測量目標(biāo)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程，兩點(diǎn)間的距離公式.【考查方式】給出參數(shù)方程，聯(lián)立方程組得到兩點(diǎn)的距離.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】聯(lián)立方程組得〔步驟1〕，又，故所求為．〔步驟2〕8．盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，那么這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是___________〔結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示〕.【測量目標(biāo)】古典概型，隨機(jī)事件的的概率【考查方式】所求事件為一個(gè)隨機(jī)事件，利用隨機(jī)事件概率的求法求出答案【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】9個(gè)數(shù)5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為．9．設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在上，且，假設(shè)AB=4，，那么的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________.【測量目標(biāo)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì).【考查方式】寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其性質(zhì)求出焦點(diǎn)間的距離.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得〔步驟1〕，得．〔步驟2〕10．設(shè)非零常d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，那么方差.【測量目標(biāo)】隨機(jī)變量的期望和方差.【考查方式】給出等差數(shù)列，求出隨機(jī)變量的方差.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】〔步驟1〕．〔步驟2〕11．假設(shè)，那么.【測量目標(biāo)】兩角和與差的正余弦，二倍角公式.【考查方式】給出三角函數(shù)的值，利用兩角和與差的余弦公式和等量代換求出值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，，故．12．設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)對(duì)一切成立，那么的取值范圍為________.【測量目標(biāo)】奇函數(shù)的性質(zhì).【考查方式】給出了在某段定義域內(nèi)的函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，故〔步驟1〕；當(dāng)時(shí)〔步驟2〕即，又，故．〔步驟3〕13．在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作、所得截面面積為，試?yán)米鏁溤怼⒁粋€(gè)平放的圓柱和一個(gè)長方體，得出的體積值為__________.第13題圖【測量目標(biāo)】合情推理.【考查方式】給出了封閉圖形，利用祖暅原理求出其體積.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積的長方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，假設(shè)方程有解，那么.【測量目標(biāo)】反函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷.【考查方式】給出了反函數(shù)的解析式，在特定定義域內(nèi)求出它的反函數(shù)解析式并求出新函數(shù)的解.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，〔步驟1〕；時(shí)，，而的定義域?yàn)椤膊襟E2〕，故當(dāng)時(shí)，的取值應(yīng)在，故假設(shè)，只有．〔步驟3〕二、選擇題15．設(shè)常數(shù)，集合，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕ABCD【測量目標(biāo)】集合的根本運(yùn)算，解一元二次不等式.【考查方式】給出兩個(gè)集合，根據(jù)它們的并集求出a的取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】當(dāng)時(shí)，〔步驟1〕假設(shè)，那么1，，〔步驟2〕當(dāng)時(shí)，易得,此時(shí)成立，〔步驟3〕當(dāng)時(shí)，，，假設(shè)，那么a顯然成立〔步驟4〕∴；綜上a的取值范圍是，應(yīng)選B〔步驟5〕16．錢大姐常說“廉價(jià)沒好貨〞，她這句話的意思是：“不廉價(jià)〞是“好貨〞的〔〕A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分也非必要條件【測量目標(biāo)】充分必要條件.【考查方式】給出日常生活問題，判斷命題的充分必要性.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】根據(jù)等價(jià)命題，廉價(jià)沒好貨，等價(jià)于，好貨不廉價(jià)，應(yīng)選B．17．在數(shù)列中，，假設(shè)一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，〔〕那么該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為〔〕A18 B28 C48 D63【測量目標(biāo)】指數(shù)函數(shù)模型.【考查方式】給出了數(shù)列矩陣以及行列元素的關(guān)系，求出矩陣元素不同數(shù)值的個(gè)數(shù).【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】，而，故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18個(gè)，選A．18．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.假設(shè)分別為的最小值、最大值，其中,,那么滿足〔〕.AB C D【測量目標(biāo)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用.【考查方式】根據(jù)平面幾何中的向量性質(zhì)，容易求出答案.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】由題意記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，利用向量的數(shù)量積公式，只有，其余均有，應(yīng)選D．三、解答題19.〔此題總分值12分〕如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面，并求直線BC1到平面D1AC第19題圖【測量目標(biāo)】直線與平面平行的判定，錐的體積.【考查方式】給出長方體及假設(shè)干條件，根據(jù)直線與平面平行的判定定理以及三棱錐的體積公式求出答案.【難易程度】容易【試題解析】因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為長方體，，故ABC1D1為平行四邊形，故〔步驟1〕，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面〔步驟2〕；直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得〔步驟3〕而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．〔步驟4〕20．〔6分+8分〕甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品〔生產(chǎn)條件要求〕，每小時(shí)可獲得利潤是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.【測量目標(biāo)】二次函數(shù)模型的建立，求函數(shù)的最值.【考查方式】給出實(shí)際問題建立函數(shù)模型，求出其最值.【難易程度】容易【試題解析】(1)根據(jù)題意，又，可解得〔步驟1〕(2)設(shè)利潤為元，那么故時(shí)，元．〔步驟2〕21．〔6分+8分〕函數(shù)，其中常數(shù)；〔1〕假設(shè)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；〔2〕令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間〔且〕滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【測量目標(biāo)】三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，圖像及其變化.【考查方式】將三角函數(shù)進(jìn)行變化求出的取值范圍；將三角函數(shù)進(jìn)行平移和變換求出零點(diǎn)進(jìn)而求出答案.【難易程度】中等【試題解析】(1)因?yàn)椋鶕?jù)題意有〔步驟1〕(2)，或，即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，〔步驟2〕故假設(shè)在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，那么的最小值．〔步驟3〕22．〔3分+5分+8分〕如圖，曲線，曲，P是平面上一點(diǎn)，假設(shè)存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，那么稱P為“C1—C2型點(diǎn)〞．(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)〞時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程〔不要求驗(yàn)證〕；(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)〞；(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)〞．第22題圖【測量目標(biāo)】圓錐曲線的探索性問題.【考查方式】給出了“C1—C2型點(diǎn)〞的概念，證明3個(gè)命題的正確性.【難易程度】較難【試題解析】：〔1〕C1的左焦點(diǎn)為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1C2型點(diǎn)〞，且直線可以為；〔步驟1〕〔2〕直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須；〔步驟2〕直線與C2有交點(diǎn)，那么，假設(shè)方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1C2型點(diǎn)〞.〔步驟3〕〔3〕顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線假設(shè)與曲線C1有交點(diǎn)，那么斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，那么直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡得，①〔步驟4〕假設(shè)直線與曲線C1有交點(diǎn)，那么〔步驟5〕化簡得，②由①②得，〔步驟6〕但此時(shí)，因?yàn)?，即①式不成立；?dāng)時(shí)，①式也不成立綜上，直線假設(shè)與圓內(nèi)有交點(diǎn)，那么不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)〞．〔步驟7〕23．〔3

分+6分+9分〕給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.〔1〕假設(shè)，求及；〔2〕求證：對(duì)任意，；〔3〕是否存在，使得成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有這樣的，假設(shè)不存在，說明理由.【測量目標(biāo)】間接證明，等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.【考查方式】給出函數(shù)解析式及數(shù)列，間接證明出命題的正確，利用等差數(shù)列