高等數(shù)學(xué)-上第一章d13函數(shù)極限

第一章一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的極限三.

函數(shù)極限的性質(zhì)一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度

,要求確定直接觀測值精度

:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理3.(P38題8)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束A

為函數(shù)例6.

證明證:取因此注:就有故欲使即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性2.唯一性3.局部保號(hào)性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)(P37定理3)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論:(P37推論)分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理證例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.例7證二者不相等,內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則例3