高一數(shù)學必修第二冊 解答題專項訓練（解析版）

15/152020--2021學年度第二學期高一數(shù)學必修第二冊解答題專項訓練題組A1.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位）（1）復數(shù)是實數(shù)，求實數(shù)的值；（2）復數(shù)是虛數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）復數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）且；（3）或.【解析】（1）復數(shù)是實數(shù)，則，解得；（2）復數(shù)是虛數(shù)，則，解得且；（3）復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得或．2.設是兩個單位向量夾角為，若，（1）求；（2）求；（3）求與夾角；（4）求在的投影向量.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】由已知得，.（1）展開可得答案；（2）再展開可得答案；.（3）展開可得答案；（4）由（3）得，在的投影為可得答案.【解析】由已知得，.（1）.（2）.（3），由（1）（2）得，因為兩個向量的夾角的范圍在，所以與夾角為.（4）由（3）得，在的投影向量為3.在中，角所對的邊分別為.已知.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】（1）解：在中，由余弦定理及，有.又因為，所以.（2）解：在中，由正弦定理及，可得.（3）解：由及，可得，進而.所以，.4.為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了100戶居民去年一年的月均用電量，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50kW·h至350kW·h之間，進行適當分組后，畫出頻率分布直方圖如圖所示．（I）求a的值；（Ⅱ）求被調(diào)查用戶中，用電量大于250kW·h的戶數(shù)；（III）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯定價，希望使80%的居民繳費在第一檔（費用最低），請給出第一檔用電標準（單位：kW·h）的建議，并簡要說明理由．【答案】（I）；（Ⅱ）；（III）kW·h.【解析】（1）因為，所以；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知：“用電量大于250kW·h”的頻率為，所以用電量大于250kW·h的戶數(shù)為：，故用電量大于250kW·h有戶；（3）因為前三組的頻率和為：，前四組的頻率之和為，所以頻率為時對應的數(shù)據(jù)在第四組，所以第一檔用電標準為：kW·h.故第一檔用電標準為kW·h.5.某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，中位數(shù)設為；（3）.【解析】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設為，則，解得.（3）滿意度評分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為，記“滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，恰有1名女生”為事件，從5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以總基本事件個數(shù)為10個，包含的基本事件個數(shù)為3個，所以.6.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.【答案】（Ⅰ）見解析（2）見解析（3）存在，且為中點【解析】（Ⅰ）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.（Ⅲ）存在點為中點時，滿足平面；理由如下:分別取的中點，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.題組B1.已知復數(shù)(i為虛數(shù)單位).（1）求復數(shù)z的模；（2）求復數(shù)z的共軛復數(shù)；（3）若z是關于x的方程一個虛根，求實數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）直接根據(jù)模長的定義求解即可；（2）實部相等，虛部相反即可；（3）推導出，由此能求出實數(shù)m的值.【解析】（1）因為復數(shù)；故；（2）；（3）∵z是關于x的方程一個虛根，故；因為m為實數(shù)，所以.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)的模長、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)方程的根，考查了計算能力，屬于基礎題．2.已知是同一平面內(nèi)的三個向量,其中.

(1)若,且,求的坐標;

（2）若,且與垂直，求與的夾角.【答案】（1）或.

（2）.【解析】（1）設.

由和，可得，解得或,

故或.

（2）,

，即,

,整理得,

.

又.3.已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足,.

（1）求；

（2）若的周長為，求的面積.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）因為,

所以.

（2）因為，所以.

由余弦定理得，則.

因為的周長為，所以，解得

所以的面積為.4.某城市戶居民的月平均用水量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；并估計出月平均用水量的眾數(shù).（2）求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；（3）在月平均用水量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取22戶居民，則應在這一組的用戶中抽取多少戶？（4）在第（3）問抽取的樣本中，從這兩組中再隨機抽取2戶，深入調(diào)查，則所抽取的兩戶不是來自同一個組的概率是多少？【答案】(1)x=0.075，7；(2)6.4，5.36；(3)2；（4）.【解析】(1)根據(jù)頻率和為1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，解得x=0.075；由圖可知,最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6,8)，所以眾數(shù)為；(2)[2,6)內(nèi)的頻率之和為(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；設中位數(shù)為y，則0.45+(y?6)×0.125=0.5，解得y=6.4，∴中位數(shù)為6.4；平均數(shù)為(3)月平均用電量為的用戶在四組用戶中所占的比例為，∴月平均用電量在的用戶中應抽取11×=2(戶).（4）月平均用電量在的用戶中應抽取11×=1(戶)，月平均用電量在的用戶設為A、B,月平均用電量在的用戶設為C，從，這兩組中隨機抽取2戶共有，3種情況，其中，抽取的兩戶不是來自同一個組的有，2種情況，所以，抽取的兩戶不是來自同一個組的概率為.5.若5張獎券中有2張是中獎的，先由甲抽1張，然后由乙抽1張，求：(1)甲中獎的概率P(A)；(2)甲、乙都中獎的概率P(B)；(3)只有乙中獎的概率P(C)；(4)乙中獎的概率P(D).【答案】(1)P(A)＝eq\f(2,5).(2)P(B)＝eq\f(1,10).(3)P(C)＝eq\f(3,10).(4)P(D)＝eq\f(2,5).【解析】將5張獎券編號為1，2，3，4，5，其中4，5為中獎獎券，用(x，y)表示甲抽到號碼x，乙抽到號碼y，則可能的結果為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20種.(1)甲中獎包含8個樣本點，∴P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(2)甲、乙都中獎包含2個樣本點，∴P(B)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).(3)只有乙中獎包含6個樣本點，∴P(C)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(4)乙中獎包含8個樣本點，∴P(D)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).6.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面PCD,,，.

（1）設G,H分別為PB,AC的中點，求證：平面PAD；（2）求證：平面PCD；（3）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）（2）見解析（3）.【解析】（1）如圖，連接BD，易知，.

又，故.

又平面PAD,平面PAD，所以平面PAD.

（2）如圖，取棱PC的中點N，連接DN.

依題意，得.

又平面平面PCD，平面平面，

所以平面PAC.

又平面PAC，故.

又，，所以平面PCD.（3）如圖，連接AN.

由（2）中平面PAC，可知為直線AD與平面PAC所成的角.

因為為等邊三角形，且N為PC的中點，

所以.

又，在中，，

所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為.

題組C1.實數(shù)m分別取什么數(shù)值時？復數(shù)(1)與復數(shù)相等；(2)與復數(shù)互為共軛；(3)對應的點在x軸上方【答案】(1).(2).(3)或.【解析】(1)根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得.解之，得.(2)根據(jù)共軛復數(shù)的定義得.解之，得.(3)根據(jù)復數(shù)z對應的點在x軸上方可得，解之，得或.2.已知是同一平面的三個向量，其中．（1）若，且，求的坐標；（2）若與的夾角的余弦值為，且，求．【答案】（1）或；（2）3.中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求角的值；（2）若，，求．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由正弦定理得：（2）得又由得，即即．4.為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班名學生某周末的學習時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（1）求該班學生周末的學習時間不少于小時的人數(shù)；（2）估計這名同學周末學習時間的分位數(shù)；（3）如果用該班學生周末的學習時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學生周末的學習時間，這樣推斷是否合理？說明理由．【答案】（1）9；（2）8.75；（3）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.【分析】（1）首先求學習時間不少于20小時的頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計算結果；（2）首先估算學習時間在分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計算結果；（3）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.【解析】（1）由圖可知，該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率為則名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數(shù)為．（2）學習時間在小時以下的頻率為，學習時間在小時以下的頻率為，所以分位數(shù)在，，則這名同學周末學習時間的分位數(shù)為．（3）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．5.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：“星隊”至少猜對3個成語的概率．【答案】．【解析】記事件A，“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“