1.5.1 全稱量詞與存在量詞教案- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.5.1全稱量詞與存在量詞教案一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容全稱量詞的概念，全稱量詞命題及其形式，存在量詞的概念，存在量詞命題及其形式。2.內(nèi)容解析在數(shù)學(xué)中，一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么數(shù)，無法判斷其真假，因此就不是命題。但是，如果在原語句的基礎(chǔ)上，用一個短語對變量的取值范圍進(jìn)行限定，就可以使它們成為命題。我們把這樣的短語稱為量詞，此時含有量詞的陳述句就成為可以研究真假性的命題了，這是在數(shù)學(xué)中非常常用的一類命題，也就是本節(jié)要研究和學(xué)習(xí)的全稱量詞命題和存在量詞命題。短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號表示。含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題。全稱量詞命題“對M任意一個x，p(x)成立”，成立”可用符號簡記為“”。這樣就得到了全稱量詞命題形式。短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯上通常叫做存在量詞，用符號表示。含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題。存在量詞命題“存在M任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為“

”。這樣就得到了存在量詞命題的形式。熟悉了全稱量詞命題和存在量詞命題的形式，并能夠判斷其真假，這樣就使命題形式更加豐富，能夠更精準(zhǔn)和更高效地表達(dá)數(shù)學(xué)問題和結(jié)論，使數(shù)學(xué)表達(dá)和交流更具嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是全稱量詞命題和存在量詞命題的理解。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）通過學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞的意義，掌握全稱量詞命題的形式，能判斷全稱量詞命題的真假；（2）通過學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，理解存在量詞的意義，掌握存在量詞命題的形式，能判斷存在量詞命題的真假。2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過對一些含有變量的陳述句的梳理，能夠認(rèn)識全稱量詞和全稱量詞命題，能夠掌握對全稱量詞命題的真假性的判斷方法，即判斷全稱量詞命題為真命題，需要對每一個變量，語句都成立；判斷為假命題，只需要找到一個使語句不成立的變量。（2）通過對一些含有變量的陳述句的梳理，能夠認(rèn)識存在量詞和存在量詞命題，能夠掌握對存在量詞命題的真假性判斷的方法，即判斷存在量詞命題為真命題，只需要找到一個或證明存在使語句成立的變量；判斷為假命題，需要證明對每一個變量，語句都不成立。三、教學(xué)問題診斷分析含有變量的陳述句是大量存在的，當(dāng)用量詞限定了變量的范圍后就形成了命題。對學(xué)生而言，初中學(xué)習(xí)過一些含有全稱量詞和存在量詞的命題，例如“平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行”，“

”等，這些并不陌生。通過本節(jié)課可以將其歸納并用確定的符號表示出來。學(xué)生的學(xué)習(xí)難點在于判斷一個命題是否為含有量詞的命題，所以在教學(xué)過程中需要注意幫助學(xué)生提煉語句中的量詞，并更多地把自然語句轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的全稱量詞命題和存在量詞命題形式量詞引導(dǎo)的邏輯語句。由于在之前的學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)定理、規(guī)律、公式基本上都是普適性的，對所有變量都成立的命題非常多，所以學(xué)生理解全稱量詞命題并不困難，判斷其真假性的方法也相對容易接受。但在教學(xué)過程中仍需要對全稱量詞命題由自然語句向標(biāo)準(zhǔn)的全稱量詞命題形式的轉(zhuǎn)化通過多舉例子的方式引導(dǎo)學(xué)生完成。相對而言，存在量詞命題是對部分變量甚至是唯一變量成立的，不常以結(jié)論形式出現(xiàn)，在學(xué)生之前的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)得相對較少，學(xué)生掌握起來稍有難度。學(xué)生對命題中不同的存在量詞的識別上以及對存在量詞命題敘述的真假性判斷中都有可能出現(xiàn)理解的障礙，所以在存在量詞命題的教學(xué)中可以更多的舉例分析，幫助學(xué)生找到量詞，并鍛煉學(xué)生將自然語言語句向邏輯語言語句轉(zhuǎn)化的能力。存在性問題是一類重要的數(shù)學(xué)問題，通過本節(jié)中對存在量詞命題的學(xué)習(xí)和研究，學(xué)生能夠更好的理解和掌握存在性問題的處理方法。本節(jié)課的教學(xué)難點是理解存在量詞命題的概念及判斷其真假性。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）概念的引入問題1：命題是可以判斷真假的陳述句，但是我們會碰到一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什么，所以無法判斷真假。你能想到這樣的例子嗎？同時也有一些例子中含有變量卻能夠判斷真假，你能想到類似的例子嗎？師生活動：教師和學(xué)生一起舉例子，通過分析這兩種例子進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)其中的區(qū)別和聯(lián)系。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)含有變量的陳述句能否成為命題的關(guān)鍵在于是否對變量的取值情況進(jìn)行了限定，從而引出量詞的概念。（二）概念的形成問題2：閱讀教科書第24頁“思考”，關(guān)于“思考”中的4個語句，它們都是命題嗎？為什么？師生活動：學(xué)生判斷（1）~（4）是否為命題，教師根據(jù)學(xué)生情況，可以選擇以下問題進(jìn)行追問。追問：（1）比較語句（1）和（3），它們之間有什么關(guān)系？又有什么區(qū)別？（2）比較語句（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？又有什么區(qū)別？師生活動：學(xué)生回答問題，進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)。教師總結(jié)，提煉出短語“所有的”“任意一個”等并給出全稱量詞的概念。設(shè)計意圖：讓學(xué)生有針對性地進(jìn)行對比，從而發(fā)現(xiàn)其中的短語的特點和所起到的作用。（三）概念的理解問題3：你能再舉幾個含有全稱量詞的命題的例子嗎？師生活動：學(xué)生舉例子，教師展示學(xué)生所舉的例子，給出全稱量詞命題的概念，并根據(jù)學(xué)生情況提出以下問題進(jìn)行追問。追問：（1）通過所舉例子，你能表示出全稱量詞命題的一般形式嗎？師生活動：教師通過所舉例子，引導(dǎo)學(xué)生表示出全稱量詞命題的一般形式。追問：（2）你能判斷出剛才所舉例子的真假性嗎？師生活動：學(xué)生回答問題，教師總結(jié)方法。設(shè)計意圖：通過大量實例強化學(xué)生對量詞的認(rèn)識，包括其他常見全稱量詞短語的使用舉例，同時鍛煉學(xué)生使用符號語言的能力。（四）概念的鞏固應(yīng)用例1判斷下列全稱量詞命題的真假。（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2）

；（3）對任意一個無理數(shù)x，也是無理數(shù)。師生活動：學(xué)生回答問題，教師給出解答示范。設(shè)計意圖：強化學(xué)生對全稱量詞命題真假性的判斷方法：真命題需證明，假命題“舉反例”。（五）概念的形成問題4：閱讀教科書第25頁“思考”，關(guān)于思考中的4個語句，它們都是命題嗎？為什么？師生活動：學(xué)生判斷（1）~（4）是否為命題，教師根據(jù)學(xué)生情況可以選擇以下問題進(jìn)行追問。追問：（1）比較語句（1）和（3），它們之間有什么關(guān)系？又有什么區(qū)別？（2）比較語句（2）和（4），它們之間有什么關(guān)系？又有什么區(qū)別？師生活動：學(xué)生回答問題，互相討論，進(jìn)行對比思考。教師總結(jié)，提煉出短語“存在一個”“至少有一個”并給出存在量詞的概念。設(shè)計意圖：讓學(xué)生有針對性地進(jìn)行對比，從中體會短語“存在”的含義及作用。（六）概念的深化及應(yīng)用問題5：你能再舉幾個含有存在量詞的命題的例子嗎？師生活動：學(xué)生舉例子，教師展示學(xué)生所舉的例子，給出存在量詞命題的概念，并根據(jù)學(xué)生情況提出以下問題進(jìn)行追問。追問：（1）通過所舉例子，你能表示出存在量詞命題的一般形式嗎？師生活動：學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的活動經(jīng)驗，獨立給出存在量詞命題的符號化表示。追問：（2）你能判斷出剛才所舉例子的真假性嗎？師生活動：學(xué)生回答問題，教師總結(jié)方法。追問：（3）存在量詞短語“有些”“有一個”“有的”等等，他們所蘊含的意義相同嗎？師生活動：學(xué)生思考，討論交流，教師總結(jié)方法。設(shè)計意圖：前兩個問題完全對比全稱量詞命題的處理方法，學(xué)生經(jīng)過了全稱量詞的學(xué)習(xí)能夠做好對比研究，但相對而言，存在量詞短語形式較多更不易理解，故增加追問（3）讓學(xué)生辨析更清晰。例2判斷下列存在量詞命題的真假。（1）（2）平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；（3）有些平行四邊形是菱形。師生活動：學(xué)生回答問題并闡述方法。教師作總結(jié)并作解答示范。設(shè)計意圖：通過真假性判斷使學(xué)生更進(jìn)一步理解存在量詞的含義，并能作出準(zhǔn)確的真假性判斷。（六）歸納小結(jié)、布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識，并回答以下問題。（1）什么是全稱量詞和全稱量詞命題？如何判斷全稱量詞命題的真假？（2）什么是存在量詞和存在量詞命題？如何判斷存在量詞命題的真假？設(shè)計意圖：從知識內(nèi)容和研究方法兩方面回顧和總結(jié)本節(jié)內(nèi)容。布置作業(yè)：教科書第26頁練習(xí)1，2，習(xí)題1.51，2.五、目標(biāo)檢測設(shè)計1.判斷下列語句是否是命題，如果是，判斷是全稱量詞命題還是存在量詞命題。（1）是無理數(shù)