函數(shù)在某一個點處連續(xù)的定義

函數(shù)在某一個點處連續(xù)的定義1第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

若f(x),g(x)都在點x0處連續(xù)，則根據(jù)極限的四則運算法則有即連續(xù)函數(shù)的和差仍然是連續(xù)函數(shù)

即連續(xù)函數(shù)的乘積仍然是連續(xù)函數(shù)若g(x0)≠0則即在分母不為零的情況下，連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù)由前面我們知道y=cy=x都是連續(xù)函數(shù)，所以它們的乘積，和差都連續(xù)函數(shù)，所以反復的和差乘積得到在定義域內(nèi)的每一點都連續(xù)2第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日

函數(shù)（P,Q是多項式）在其定義域內(nèi)每一點都連續(xù)Sinxcosx也是R上的連續(xù)函數(shù)所以得到tanxcotx在其定義域內(nèi)連續(xù)定理4.5對于復合函數(shù)y=g(f(x))，若函數(shù)f在點x0連續(xù)，g在點u0=f(x0)連續(xù)，則復合函數(shù)g.f在點x0連續(xù)。證明要證明復合函數(shù)gf在點x0連續(xù)，按定義，只要證明

要證明這個極限等于它，按定義任給找當時

因為g在u0處連續(xù)所以存在，當時，有

3第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

又因為f在x0處連續(xù)，所以對上面的存在當時有即從而有：當時有

從而

由這個定理得到

即4第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例如求解：這個函數(shù)可以看做是由函數(shù)sinuu=1-x2復合而得到的。由于函數(shù)sinu1-x2等都是連續(xù)函數(shù)所以

其實對于公式并非一定要求里面的函數(shù)一定要是連續(xù)函數(shù)，其實只要里面的函數(shù)在x0處有極限a，至于函數(shù)在該點處的函數(shù)值是否等于這個a，以及在該點處是否有定義我們都不用管，而外面的函數(shù)在a處又連續(xù)5第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

即若則和剛才證明定理的一樣：任給找當時因為g在a處連續(xù)所以存在，當時，有又因為所以對上述的存在當時有

從而6第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日

即當時，有所以

例求極限（1）（2）解：這個函數(shù)是由這兩個函數(shù)復合得到

7第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

函數(shù)在某一點處連續(xù)的一些性質(zhì):局部有界性、局部保號性、復合的連續(xù)性

函數(shù)在一個閉區(qū)間上的連續(xù)的性質(zhì)：

定義1設f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在x0∈D，使得對一切x∈D,都有

則稱f在D上有最大（最?。┲担⒎Qf(x0)為f在D上的最大（最?。┲?。例如函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間上最大值是1，最小值是0是不是任何一個函數(shù)在其定義域上都有最大值、最小值呢？8第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例如函數(shù)y=x(0,1)則它既沒有最大值也沒有最小值函數(shù)閉區(qū)間[0,1]上也既沒最大值也沒有最小值定理4.6（最大、最小值定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f在[a,b]上有最大最小值推論（有界性定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f在[a,b]上有界9第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

定理4.7（介值定理）設函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且,

若u為介于f(a)與f(b)之間的任何實數(shù)（f(a)<u<f(b)或f(a)>u>f(b)）,則至少存在一點,使得

從而同時當異號，則必有一個正、一個負，因此0必在這個值域區(qū)間中，從而必至少有一個自變量，使得推論（根的存在定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一個點x0∈[a,b],使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個根。10第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日

f(a)與f(b)異號至少一個點的函數(shù)值為0一般地，，I是一個區(qū)間，但未必是一個閉區(qū)間，函數(shù)y=f(x)在I上連續(xù)，任意取，因為函數(shù)在I上連續(xù)，從而在閉區(qū)域[c,d]上連續(xù)，因此，由閉區(qū)間上的介值定理有，這說明任意的兩個不同的函數(shù)值所組成這個區(qū)間都包含在這個函數(shù)的值域中，所以值域是一個區(qū)間，即I是區(qū)間，且f在I上連續(xù)，則函數(shù)的值域也是一個區(qū)間。11第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有最大值M,最小值m,從而區(qū)間為[m,M]必包含在f(I)中，又函數(shù)值最大就是M，最小是m，所以值域最大也就能為[m,M],因此f(I)=[m,M]

若函數(shù)在這個區(qū)間是增函數(shù)，則最大值為f(b),最小值為f(a),因此值域為[f(a),f(b)]，若是減函數(shù)，則值域為[f(b),f(a)]

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾點性質(zhì)，最大最小值定理，有界性定理，根的存在定理12第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3證明：若r>0,n為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù)x0，使得（稱為r的n次正根(即算術根)，記作）證明：存在性:要證明存在一個數(shù)x0，使得，利用介值定理來證明，首先就必須構造一個閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，根據(jù)所要證明的式子，我們構造函數(shù)

由于0n=0,所以存在正數(shù)a，使得考慮函數(shù)則這個函數(shù)在這個閉區(qū)間上連續(xù)且f(0)<r<f(a)由介值定理，存在，使得再證唯一性設還有另一個整數(shù)x1，使得xn1=r，則有

從而x0=x113第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例4設f在[a,b]上連續(xù)，滿足

證明：存在，使得分析，要找一個使得，即考慮用根的存在定理，作函數(shù)F(x)=f(x)-x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，并且由所以F(a)=f(a)-a≥0F(b)=f(b)-b≤0上面的兩個不等式，若其中至少有一個成立，則命題成立。若兩個不等式的等號都不成立，則這時兩端的函數(shù)值異號，由根的存在定理得到，存在，使得

14第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

連續(xù)函數(shù)的復合是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)若存在反函數(shù)時，反函數(shù)是否連續(xù)？？定理4.8若函數(shù)f在[a,b]上嚴格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)f-1在其定義域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]

上連續(xù)證明：不妨設f在[a,b]上嚴格增，由于f是單調(diào)函數(shù)，所以f有反函數(shù)f-1，并且由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)得到，f的值域為[f(a),f(b)]，從而f-1的定義域為[f(a),f(b)]

任取對端點一樣證明往下證明在該點處連續(xù)，即：即任給的找當時有15第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

設即在x0的左右兩側(cè)分別取x1,x2,且使得設根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞增，所以取則當時，有所以所以反函數(shù)f-1

連續(xù)16第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例5由于y=sinx在區(qū)間上嚴格單調(diào)且連續(xù)，故其反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)同樣y=arccosx在[-1,1]上連續(xù)y=arctanx在上連續(xù)例6y=xn(n為整數(shù))在[0,+∞)上嚴格單調(diào)且連續(xù)，故其反函數(shù)在[0,+∞)連續(xù)，而可以看做的復合，而這兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以這個函數(shù)也連續(xù)

所以得到（q為非零整數(shù)）是其定義域區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)17第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

例證明：有理冪函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)證明：是有理數(shù)，所以可以表示為，這里p,q都是整數(shù)，所以可以看做由與，而這兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。18第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習6-10

作業(yè)919第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9720第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9721第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9722第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9723第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9724第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9725第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9726第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)P9727第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日

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作業(yè)P9728第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日

練習P91-8

作業(yè)