北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊講義-等腰三角形中四種常用作輔助線的方法

專訓(xùn)4等腰三角形中四種常用作輔助線的方法名師點(diǎn)睛】幾何圖形中添加輔助線,往往能把分散的條件集中,使隱蔽的條件顯露,將復(fù)雜的問題簡單化,例如：“作三線”中的“一線”,作平行線構(gòu)造等腰（邊）三角形,利用截長補(bǔ)短法證線段和、差關(guān)系或求角的度數(shù),利用加倍折半法證線段的倍分關(guān)系。EAF8［方法1］作“三線”中的“一線1?如圖EAF8［方法1］作“三線”中的“一線1?如圖,^ABC中,AB二AC,D是BC的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線EFiiBC,且AE=AF，求證:DE=DF.解答：證明：如圖，連接AD.???△ABC中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，???AD丄BC,?EFiiBC,?AD丄EF,又AE=AF,.?.AD垂直平分EF,???DE二DF.［方法2］作平行線法2?如圖，在MBC中，AB二AC,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點(diǎn)P，Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時，求證：PD=QD；如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P,Q在移動的過程中，線段BE,DE,CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.解答：(1)HP點(diǎn)作PFIIAC交BC于F.???點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，且速度相同，?BP=CQ.?.?PFllAQ,?zPFB=zACB,zDPF=zDQC.???AB二AC,azB=zACB,azB=zPFB,???BP二PF,???PF二CQ.vzPDF=zQDC,PF=CQ,zDPF=zDQC,.?.△PFD聖aQCD,?PD=QD.（2）ED的長度保持不變理由如下：由（1）知PB=PF.?PE丄BF,?BE=EF.由（1）知△PFD^^QCD,?FD=DC,?ED=EF+FD=BE+DC=1BC,2?ED為定值.［方法3］截長補(bǔ)短法3?已知：如圖，在aABC中,AB二AC,D是SBC外一點(diǎn)，且zABD=60°,zACD=60°求證：BD+DC=AB.

???△ABF為等邊三角形，aAF=AB=AC=BF,zAFB=60°,?zACF=zAFC,又?.nACD=60。,?zAFB=zACD=60°?zDFC=zDCF,?dc=df.?bd+dc=bd+df=bf=ab,?。0乙二：）砒'。0乙二X:剖搦°0^I=x+xv-°08Idr°0^I=DV37+3V97v7°0^I=DV97--'xt-°08I=x^-x^-°08I=3V97，x^=g7/'x^=37+3V37=g3V7/'W^5D3Vv^93V7'-'x=D7=3V37W6二找t6二時6+虻二8里'QJ=3Q+2V-'G日二Mapw+日皿9找7二尹???73V=9V-''（svs）aavv^]9vv--Vg二日g73av7=aav7'av=av06=3av7=9av7/D9TQV--'土場mm7av'as=jawtjg丑jgasK［方法4］加倍折半法5?如圖，CE、CB分別是△ABC與aADC的中線，且zACB=zABC.求證：CD=2CE.???CE是中線，BFiiAC,???AE二BE,zA=zABF,zACE=zF,在^ACE和aBFE中，zA=zABF,zACE=zF,AE=BE,?△ACE生BFE(AAS),?CE=EF,AC=BF,?CF=2CE,又vzACB=zABC,CB是aADC的中線，?ac=ab=bd=bf,vzDBC=zA+zACB=zABF+zABC,