2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

第16頁〔共16頁〕2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一、選擇題1．〔5分〕集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，那么A∩B=〔〕A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}2．〔5分〕設(shè)變量x，y滿足約束條件，那么目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為〔〕A．﹣4B．6C．10D．173．〔5分〕在△ABC中，假設(shè)AB=，BC=3，∠C=120°，那么AC=〔〕A．1B．2C．3D．44．〔5分〕閱讀如圖的程序圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，那么輸出S的值為〔〕A．2B．4C．6D．85．〔5分〕設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，那么“q＜0〞是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0〞的〔〕A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件6．〔5分〕雙曲線﹣=1〔b＞0〕，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，那么雙曲線的方程為〔〕A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．〔5分〕△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE=2EF，那么?的值為〔〕A．﹣B．C．D．8．〔5分〕函數(shù)f〔x〕=〔a＞0，且a≠1〕在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f〔x〕|=2﹣x恰好有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，那么a的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，〕∪{}二、填空題9．〔5分〕a，b∈R，i是虛數(shù)單位，假設(shè)〔1+i〕〔1﹣bi〕=a，那么的值為．10．〔5分〕〔x2﹣〕8的展開式中x7的系數(shù)為〔用數(shù)字作答〕11．〔5分〕一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如下列圖〔單位：m〕，那么該四棱錐的體積為m312．〔5分〕如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，那么線段CE的長為．13．〔5分〕f〔x〕是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間〔﹣∞，0〕上單調(diào)遞增，假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足f〔2|a﹣1|〕＞f〔﹣〕，那么a的取值范圍是．14．〔5分〕設(shè)拋物線〔t為參數(shù)，p＞0〕的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C〔p，0〕，AF與BC相交于點(diǎn)E．假設(shè)|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為3，那么p的值為．三、計算題15．〔13分〕函數(shù)f〔x〕=4tanxsin〔﹣x〕cos〔x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的定義域與最小正周期；〔2〕討論f〔x〕在區(qū)間[﹣，]上的單調(diào)性．16．〔13分〕某小組共10人，利用假期參加義工活動，參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．〔1〕設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4〞，求事件A發(fā)生的概率；〔2〕設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．〔13分〕如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2．〔1〕求證：EG∥平面ADF；〔2〕求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；〔3〕設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．18．〔13分〕{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．〔1〕設(shè)cn=b﹣b，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；〔2〕設(shè)a1=d，Tn=〔﹣1〕kbk2，n∈N*，求證：．19．〔14分〕設(shè)橢圓+=1〔a＞〕的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B〔B不在x軸上〕，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸于點(diǎn)H，假設(shè)BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．20．〔14分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=〔x﹣1〕3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．〔1〕求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)f〔x〕存在極值點(diǎn)x0，且f〔x1〕=f〔x0〕，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；〔3〕設(shè)a＞0，函數(shù)g〔x〕=|f〔x〕|，求證：g〔x〕在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題1．〔5分〕〔2023?天津〕集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，那么A∩B=〔〕A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中計算求出y的值，確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分別代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解此題的關(guān)鍵．2．〔5分〕〔2023?天津〕設(shè)變量x，y滿足約束條件，那么目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為〔〕A．﹣4B．6C．10D．17【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，平移直線l0，可得經(jīng)過點(diǎn)〔3，0〕時，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，圖中的虛線，平移直線l0，可得經(jīng)過點(diǎn)〔3，0〕時，z=2x+5y取得最小值6．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出不等式組表示的平面區(qū)域．3．〔5分〕〔2023?天津〕在△ABC中，假設(shè)AB=，BC=3，∠C=120°，那么AC=〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，假設(shè)AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4〔舍去〕．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評】此題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．4．〔5分〕〔2023?天津〕閱讀如圖的程序圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，那么輸出S的值為〔〕A．2B．4C．6D．8【分析】根據(jù)程序進(jìn)行順次模擬計算即可．【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判斷不滿足條件n＞3：第三次判斷滿足條件：S＞6，此時計算S=8﹣6=2，n=3，第四次判斷n＞3不滿足條件，第五次判斷S＞6不滿足條件，S=4．n=4，第六次判斷滿足條件n＞3，故輸出S=4，應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查程序框圖的識別和運(yùn)行，根據(jù)條件進(jìn)行模擬計算是解決此題的關(guān)鍵．5．〔5分〕〔2023?天津〕設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，那么“q＜0〞是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0〞的〔〕A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可．【解答】解：{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，假設(shè)“q＜0〞是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0〞不一定成立，例如：當(dāng)首項為2，q=﹣時，各項為2，﹣1，，﹣，…，此時2+〔﹣1〕=1＞0，+〔﹣〕=＞0；而“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0〞，前提是“q＜0〞，那么“q＜0〞是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0〞的必要而不充分條件，應(yīng)選：C．【點(diǎn)評】此題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，熟練掌握各自的定義是解此題的關(guān)鍵．6．〔5分〕〔2023?天津〕雙曲線﹣=1〔b＞0〕，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，那么雙曲線的方程為〔〕A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，利用四邊形ABCD的面積為2b，求出A的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，設(shè)A〔x，x〕，那么∵四邊形ABCD的面積為2b，∴2x?bx=2b，∴x=±1將A〔1，〕代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴雙曲線的方程為﹣=1，應(yīng)選：D．【點(diǎn)評】此題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．7．〔5分〕〔2023?天津〕△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE=2EF，那么?的值為〔〕A．﹣B．C．D．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，∴?========．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法的三角形法那么，是中檔題．8．〔5分〕〔2023?天津〕函數(shù)f〔x〕=〔a＞0，且a≠1〕在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f〔x〕|=2﹣x恰好有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，那么a的取值范圍是〔〕A．〔0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，〕∪{}【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f〔x〕為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍．【解答】解：y=loga〔x+1〕+1在[0，+∞〕遞減，那么0＜a＜1，函數(shù)f〔x〕在R上單調(diào)遞減，那么：；解得，；由圖象可知，在[0，+∞〕上，|f〔x〕|=2﹣x有且僅有一個解，故在〔﹣∞，0〕上，|f〔x〕|=2﹣x同樣有且僅有一個解，當(dāng)3a＞2即a＞時，聯(lián)立|x2+〔4a﹣3〕x+3a|=2﹣x，那么△=〔4a﹣2〕2﹣4〔3a﹣2〕=0，解得a=或1〔舍去〕，當(dāng)1≤3a≤2時，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為[，]∪{}，應(yīng)選：C．【點(diǎn)評】此題考查了方程的解個數(shù)問題，以及參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．二、填空題9．〔5分〕〔2023?天津〕a，b∈R，i是虛數(shù)單位，假設(shè)〔1+i〕〔1﹣bi〕=a，那么的值為2．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解得a，b的值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵〔1+i〕〔1﹣bi〕=1+b+〔1﹣b〕i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案為：2【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，難度不大，屬于根底題．10．〔5分〕〔2023?天津〕〔x2﹣〕8的展開式中x7的系數(shù)為﹣56〔用數(shù)字作答〕【分析】利用通項公式即可得出．【解答】解：Tr+1==x16﹣3r，令16﹣3r=7，解得r=3．∴〔x2﹣〕8的展開式中x7的系數(shù)為=﹣56．故答案為：﹣56．【點(diǎn)評】此題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于根底題．11．〔5分〕〔2023?天津〕一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如下列圖〔單位：m〕，那么該四棱錐的體積為2m3【分析】由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積S=2×1=2m2，棱錐的高h(yuǎn)=3m，故體積V==2m3，故答案為：2【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和外表積，根據(jù)的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．12．〔5分〕〔2023?天津〕如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，那么線段CE的長為．【分析】由BD=ED，可得△BDE為等腰三角形，過D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如圖，過D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，那么AH=2，BH=1，∴DH2=AH?BH=2，那么DH=，在Rt△DHE中，那么，由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查相交弦定理的應(yīng)用，是中檔題．13．〔5分〕〔2023?天津〕f〔x〕是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間〔﹣∞，0〕上單調(diào)遞增，假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足f〔2|a﹣1|〕＞f〔﹣〕，那么a的取值范圍是〔，〕．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f〔x〕是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間〔﹣∞，0〕上單調(diào)遞增，∴f〔x〕在區(qū)間〔0，+∞〕上單調(diào)遞減，那么f〔2|a﹣1|〕＞f〔﹣〕，等價為f〔2|a﹣1|〕＞f〔〕，即﹣＜2|a﹣1|＜，那么|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案為：〔，〕【點(diǎn)評】此題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．14．〔5分〕〔2023?天津〕設(shè)拋物線〔t為參數(shù)，p＞0〕的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C〔p，0〕，AF與BC相交于點(diǎn)E．假設(shè)|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為3，那么p的值為．【分析】化簡參數(shù)方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標(biāo)，利用三角形的面積列出方程，求解即可．【解答】解：拋物線〔t為參數(shù)，p＞0〕的普通方程為：y2=2px焦點(diǎn)為F〔，0〕，如圖：過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C〔p，0〕，AF與BC相交于點(diǎn)E．|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A〔p，〕，△ACE的面積為3，，可得=S△ACE．即：=3，解得p=．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．三、計算題15．〔13分〕〔2023?天津〕函數(shù)f〔x〕=4tanxsin〔﹣x〕cos〔x﹣〕﹣．〔1〕求f〔x〕的定義域與最小正周期；〔2〕討論f〔x〕在區(qū)間[﹣，]上的單調(diào)性．【分析】〔1〕利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡求解即可．〔2〕利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=4tanxsin〔﹣x〕cos〔x﹣〕﹣．∴x≠kπ+，即函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+，k∈Z}，那么f〔x〕=4tanxcosx?〔cosx+sinx〕﹣=4sinx〔cosx+sinx〕﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+〔1﹣cos2x〕﹣=sin2x﹣cos2x=2sin〔2x﹣〕，那么函數(shù)的周期T=；〔2〕由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，當(dāng)k=0時，增區(qū)間為[﹣，]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此時x∈[﹣，]，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，當(dāng)k=﹣1時，減區(qū)間為[﹣，﹣]，k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此時x∈[﹣，﹣]，即在區(qū)間[﹣，]上，函數(shù)的減區(qū)間為∈[﹣，﹣]，增區(qū)間為[﹣，]．【點(diǎn)評】此題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決此題的關(guān)鍵．16．〔13分〕〔2023?天津〕某小組共10人，利用假期參加義工活動，參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．〔1〕設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4〞，求事件A發(fā)生的概率；〔2〕設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】〔1〕選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4為事件A，求出選出的2人參加義工活動次數(shù)之和的所有結(jié)果，即可求解概率．那么P〔A〕．〔2〕隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3分別求出P〔X=0〕，P〔X=1〕，P〔X=2〕，P〔X=3〕的值，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：〔1〕從10人中選出2人的選法共有=45種，事件A：參加次數(shù)的和為4，情況有：①1人參加1次，另1人參加3次，②2人都參加2次；共有+=15種，∴事件A發(fā)生概率：P==．〔Ⅱ〕X的可能取值為0，1，2．P〔X=0〕==P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，∴X的分布列為：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．【點(diǎn)評】此題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意古典概型的靈活運(yùn)用．17．〔13分〕〔2023?天津〕如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2．〔1〕求證：EG∥平面ADF；〔2〕求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；〔3〕設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】〔1〕取AD的中點(diǎn)I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；〔2〕建立如下列圖的坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；〔3〕求出=〔﹣，，〕，利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】〔1〕證明：取AD的中點(diǎn)I，連接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中點(diǎn)，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四邊形EFIG是平行四邊形，∴EG∥FI，∵EG?平面ADF，F(xiàn)I?平面ADF，∴EG∥平面ADF；〔2〕解：建立如下列圖的坐標(biāo)系O﹣xyz，那么B〔0，﹣，0〕，C〔，0，0〕，E〔0，﹣，2〕，F(xiàn)〔0，0，2〕，設(shè)平面CEF的法向量為=〔x，y，z〕，那么，取=〔，0，1〕∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量為=〔1，0，0〕，∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值為=；〔3〕解：AH=HF，∴==〔，0，〕．設(shè)H〔a，b，c〕，那么=〔a+，b，c〕=〔，0，〕．∴a=﹣，b=0，c=，∴=〔﹣，，〕，∴直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【點(diǎn)評】此題考查證明線面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直線BH和平面CEF所成角的正弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18．〔13分〕〔2023?天津〕{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．〔1〕設(shè)cn=b﹣b，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；〔2〕設(shè)a1=d，Tn=〔﹣1〕kbk2，n∈N*，求證：．【分析】〔1〕根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．〔2〕求出Tn=〔﹣1〕kbk2的表達(dá)式，利用裂項法進(jìn)行求解，結(jié)合放縮法進(jìn)行不等式的證明即可．【解答】證明：〔1〕∵{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，∴cn+1﹣cn=2d〔an+2﹣an+1〕=2d2為定值；∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；〔2〕Tn=〔﹣1〕kbk2=〔﹣b12+b22〕+〔﹣b32+b42〕+…+〔﹣b2n﹣12+b2n2〕=2d〔a2+a4+…+a2n〕=2d=2d2n〔n+1〕，∴==〔1﹣…+﹣〕=〔1﹣〕．即不等式成立．【點(diǎn)評】此題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與不等式的綜合，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)分別求出對應(yīng)的通項公式以及利用裂項法進(jìn)行求解是解決此題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．19．〔14分〕〔2023?天津〕設(shè)橢圓+=1〔a＞〕的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．+=，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B〔B不在x軸上〕，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸于點(diǎn)H，假設(shè)BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．【分析】〔1〕由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，解方程求得a值，那么橢圓方程可求；〔2〕由設(shè)直線l的方程為y=k〔x﹣2〕，〔k≠0〕，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐標(biāo)與k的關(guān)系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式求得k的范圍．【解答】解：〔1〕由+=，得，即，∴a[a2﹣〔a2﹣3〕]=3a〔a2﹣3〕，解得a=2．∴橢圓方程為；〔2〕由設(shè)直線l的方程為y=k〔x﹣2〕，〔k≠0〕，設(shè)B〔x1，y1〕，M〔x0，k〔x0﹣2〕〕，∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再設(shè)H〔0，yH〕，聯(lián)立，得〔3+4k2〕x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=〔﹣16k2〕2﹣4〔3+4k2〕〔16k2﹣12〕=144＞0．由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，，MH所在直線方程為，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【點(diǎn)評】此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，表達(dá)了“整體運(yùn)算〞思想方法和“設(shè)而不求〞的解題思想方法，考查運(yùn)算能力，是難題．20．〔14分〕〔2023?天津〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=〔x﹣1〕3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．〔1〕求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)f〔x〕存在極值點(diǎn)x0，且f〔x1〕=f〔x0〕，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；〔3〕設(shè)a＞0，函數(shù)g〔x〕=|f〔x〕|，求證：g〔x〕在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．【分析】〔1〕求出f〔x〕的導(dǎo)數(shù)，討論a