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文檔簡(jiǎn)介
ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、NBC、AD的中點(diǎn)。求:AM與CN所成的角的余弦值;解析:(1)DM,NNE∥AMDMEAM與CN1∵N為AD的中點(diǎn),NE∥AM 2313
AM且EMD33133 則 在Rt△MEC中
4
CN2NE2CE2CN
(32 2又∵∠CNE 22AMCN3算、、EN△CEN.如圖所示,在空間四ABCDE、FBC、AD的點(diǎn)
AFBE
1ABCD3
1EG、CB3CB在ΔBCDBEBGEG//CDEG
1 所以,EG=5;FG//ABFGDF3
EG2GF2EF2EG
325223
112E O FG//AB1ACAC∩BD=0FOF2
1所以∠FOB即為AC1DB所成的角。在△FOB2
a2b22
1a21a2b2c2
b214
D1 C1
(a2b2)
1(a2b2c2)(b2
1c2
G1a2b2a2b1a2b2a2b2c2 4
aa2(a2b2)(a2b2c解二AC1中點(diǎn)O1,B1BG.在△C1O1GC1O1GAC1DBa2b2a2b24a2a2a2
(a2b2)(a2b2c2)(4a2c222a2b2 a2b2c(a2b2)(a2b2c
b2a(a2b2(a2b2)(a2b2c2
a2b2AO是平面的斜線,A是斜足,OB垂直,BAB是斜線在平面AC是ACBACB解析:AOAB所成角為1,ABAC所成角為2AC所成角為,則有coscos1cos2S—ABC∠ACB=90,AC2,BC1,2問
3,SB
由SA⊥平面ABC知,AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影 SCAB所成角為BA則coscosSCAcosBACC2AC2BC2
3,SB
AB
17,SA
3,SC∴cosSCA2
,cosBAC ∴cos
,SCAB
arccos17ABCDA1B1C1D1ABCD
CCBCCDBCD60,證
BAD(略去了該題的2,3問 D解析:設(shè)C1在平面ABCD影為H,則CH為C1C在平面ABCD內(nèi)的射影∴cosC1CDcosC1CHcosDCH∴cosC1CBcosC1CHcosBCH
DCHBCH[0DCHBCH,從而CH為DCB的平分線,又四邊形ABCD是菱形,CHBDCCBD所成角為90,即C .ABCD中,E,F(xiàn)BC,AD的中點(diǎn),AE與CF所成角的大小。BF、EFADEFAEBFC設(shè)AE與CF所成角為 ∴coscosAEFcosCFE 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,則AECFBF 3a 顯然
EF 2a2∴
6,3
6 ∴cos2,AECF3
arccos2333OOB60AOB90,且OB
2,OA
ABAO 1問
OCBOCB解析:BOBCOOCAC 由平面BOOB平面AOB,AOB90知 1 ∴AOBC又AOOO1O,∴BC⊥平面AOO1A1∴7A1BAO1所成角為A1CAO1所成角為2,則coscosBA1Ccos2,7
BC
3,A1C2,A1B 271∴cosBACA1C 271在矩形AOOA中易求得AC與AO所成角的余弦值:cos 71
∴coscosBA1Ccos
17ABAO所成角為arccos1 已知異面直線a與b所成的角為50,PP且與ab所成的角均是30的直線有且只有()A、1 B、2 C、3 D、4P作aa,bb,則由異面直線所成角的定義知:a與b50P與ab成等角的直線與ab亦成等角,設(shè)ab確定平面ab'交角的平分線為l,則過l且與垂直的平面(設(shè)為)內(nèi)的任一直線l與ab成等角(從略l與a,b所成角大于或等于la,b所成角25,這樣在內(nèi)l的兩側(cè)與ab'成30角的直線各有一條,共兩條。在a'b'相交的另一個(gè)角130內(nèi),同樣可以作過130角平分線且與垂直的平面內(nèi)任一直線與ab成角大于或等于65,所以P與ab成30的直線有且只有2條,故選(B) 平 C.異 異面或平 C.異 A.48 B.24C.12 D.6DCABDCAB都重復(fù)計(jì)算一次,24對(duì).正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)是 A解析 a、b,a⊥b,ca30cb 3 6 ,
, b解 直線c在位置c2時(shí),它與b成角的最大值為90°,直線c在b位置時(shí),它與b.ABCD1MAB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q上運(yùn)動(dòng),則P、Q的最短距離為 23 23 M,NABCD為異面直線,所以MNAB,CDBN,ANCD⊥BN,CD⊥ANAN=BN,NM⊥ABCM,MD可得MN⊥CDMNAB,CD
所以在RT△BMNBN2-BM2BN2-BM234-22 12+12-12+12- AEMBFDCAaOCbB直線a是平面α的斜線,b在平α內(nèi),已知a與b成60°的角,且b與a在平α內(nèi)的射影成AaOCbB AAa,A在內(nèi)的射影是C,則AC⊥于C,ABb于B,則OB⊥平面ABC∵cosAOC=cosAOB=cos60=cosBOC=cos45=OC∴cosAOC==cosBOC=cos45=2∴ 2mnα、β,αβl,mnmn無,且推理過程可逆,就肯定這個(gè)假設(shè);若有,就否定這個(gè)假設(shè)。m//n,mβnβ而αm與β∴m//l,這與已知∴m又由于n和a共面且相交(若a//n則n⊥l,與已知∴m⊥l與已知∴mn不能垂直如圖,ABCD-A1B1C1D1是正方體,E、FAD、DD1的中點(diǎn),則面EFC1BBCC1所解析:EEH⊥BCH.HHG⊥BC1G.∵面ABCD⊥面BCC1,而∵EH∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。在Rt△BCC1中:sin∠C1BC==Rt△BHGRt△EHG故二面角E-BC1-C等于 將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,沿對(duì)角線AC折起,使 .則三棱錐D-ABC的體積解析:AC、BDODO⊥AC,在折起后,這個(gè)垂直關(guān)系不變,因此∠BODB-AC-D的平面角.由于△DOB中三邊長(zhǎng)已知,所以可求出∠BOD:這是問題的一方面,另一方面為了求體積,應(yīng)求出高,這個(gè)高實(shí)際上是△DOB中,OB邊DE,理由是:由 ,知∴球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C.A和B,A和C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的.B和C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的.如果球的半徑是R,那么球心到截面ABC的距離等于C的小圓的直徑,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離,OE是球的半徑,因此,欲求OD,需先求出截面圓ABC的半徑. 在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B間球面距離是大圓周長(zhǎng)的,所∴|AB|=R,|AC|=R, 在△ABC∴∠BAC=90°,BCABC的直徑A.4 B.5對(duì)C.6 D.7答案 解析:90°CMABN,DNNABPAABCD所在平面,M、NAB、PC的中點(diǎn)若∠PDA=45MNPCD.(12分)取PD中點(diǎn)E又N為PC中點(diǎn)連NE則NECDNE12又AMCDAM1CD,AM//NE,四邊形AMNE MN//PA平面ABCDCDPACD平面ADPCDAE.(注或直接用三垂線定理CD面ABCD CD AE平面當(dāng)PDA45時(shí)RtPAD為等腰直角三角形則AEPD又MN//AE,MNPDPDCDDMN平面P、QAC1AA1D1DA1B1C1D1(1)(2)求線段PQ(12分MP//AD,MP1AD,NQ//AD,NQ1A 1MPND且MPPQ//
21PQ//AB, PQ2AM2AAM2AN11
22方法二:PQ1AB 2 EAEBlEAl平面 l又aEA,a又aa平面a//SB、SC、SDE、K、H,求證:E、HASBSD(12分SA平面ABCDSABC平面ABCD又ABBCSAABA,BC平面BCSC平面SC又BCSCAE平面AESB,即E為A在SB上的射影ABCD—A1B1C1D1,GCC1的中點(diǎn),OABCD的中心。求證:A1OGBD(14分)A1ABDBD平面A1ADBDAAC AO面AAO 又AO2AA2AO2a2(2a)23a OG2OC2CG2
2a)2a 3()()
a 9
A1C1C1G(
) AO2OG2AG A1O 又BDOG
A1O平面a、bABm,定長(zhǎng)n(n>m)PQa、b上移動(dòng),M、NAB、PQ的中點(diǎn)。求證:MN的長(zhǎng)是定值取PB中點(diǎn)H,連結(jié)HN,則HN又ABAB同理ABAB平面AB平面ABbABb平面PABbba在RtPBQ中BQ2PQ2PB2n2PB2(1)在RtPBA中PA2PB2AB2PB2m2(2)(12)兩式相加PA2BQ2n2m2(PA)2(BQ22(PA)2(BQ22MH2NHMH2NH
1n2m2定值)已知:平面ab與都平行,求證:b∥a.a(chǎn)P,bP確定平面設(shè)與交于a交于a∵b∥b∴bab∴a與a重合,而a,a,實(shí)際上是a、a、a∴有三個(gè)幾何事實(shí)(a,b表示直線,表示平面)a∥ba∥b∥a,b在面解析:Ⅰ: b∥b在外 a∥a在外a與交于∵∵a∥∴bab在a在∴b∥.γlAδEBFγlAδEBF1l作平面l作平面,l⊥l⊥ AC∥BDl、AC、BD2:根據(jù)面面平行的定義,用反證法.證法2:設(shè)、有公lP確定平面l⊥l⊥APl⊥l⊥BPl、AP、BPAP、BPl垂直,這是不可能的.故、不能有公共點(diǎn),∴∥.bb1aP,P∈b.bP確定平面.且與P∴ba∵b∥∴∴這樣ab′都平行于∴2ABa、b的公垂線段,ABb作平面,∩ABa作平面a∥a∥a′b∥∴AB⊥aAB⊥a′,AB⊥bAB⊥b′AB⊥AB⊥,∴∥.②a∥r,b∥r③α∥c,β∥c④α∥r,β∥r其中正確題 ((A) (B)(C) (D)A.P上,則NP與平面AMC1的位置關(guān)系 PP解析:B1M∥ANB1M=AN,ANB1M是平行四邊形,C1M∥CN,得CN∥平面AMC1,則B1NC∥AMC1,NP平面NPAMC1.B.求證:平面A1BD∥平面A1BDB1D1C的距離.證明:(1)ABCD-A1B1C1D1BB1BB1D1D∴∴BDB1D1C.A1BB1D1C,A1B∩BD=B,A1BD解:(2)AC1A1BDMB1D1CACAC1AC∴AC1A1BDMNA1BD,MNB1D1C.MNA1BDB1D1CAC、BDEA1BDA1CMA1BD,M∈AC1M∈A1E.MN1AC ∴MN
3a3求證AB1∥平面AB1C1BD的距離.證明:(1)B1C∩BC1=O.DOOB1C在△ACB1中,DAC中點(diǎn),OB1C∴DOC1BD,AB1AB1解:(2)ABC-A1B1C1是正三棱柱,DACBD⊥ACBDC1BDAC1,C1D是交線.AC1AH⊥C1DH,AHAB1C1BDAHAB1C1BD的距離.BC=8,B1C=10CC1=6,Rt△C1DC4236sin4236Rt△DAH∴AHADsinCDC1213 12即AB1到平面C1BD的距離12A到平面的距離.a(chǎn)∥平面a和平面a作平面與交于a,在內(nèi)作直線b與aa上任取一點(diǎn)P,在bP確Pbb.b在b在內(nèi),∴a,ba且平行于a,ba平行于平面已知平面、、、.其中∩=l,=aa,aa,∩=b,b∥保證有.lbalbaab是相交直線,那么.a(chǎn)∥aa∥b∥bb∥a,b是∴∥求證:a、b、c相交于同一點(diǎn),或∴a、b∴a、ba、b相交時(shí),不妨設(shè)a∩b=P,即a、bβ,a∴P∈β,P∈α,故P為α和β的公共點(diǎn)2∴a、b、c都經(jīng)過點(diǎn)P,即a、b、c三線共點(diǎn)a∥b∵α∩γ=caα,a∴a∥ca、b、c兩兩平行由此可知a、b、c相交于一點(diǎn)或兩兩平行如圖,正ABCD—A1B1C1D1中,EAB1上,F(xiàn)BD上,且求證:EF∥平面證法一:連AFBCM,連結(jié)∴AF ∴AF
∴EF∥B1M
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