聯(lián)賽-高中數(shù)學(xué)講義立體幾何

ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、NBC、AD的中點(diǎn)。求：AM與CN所成的角的余弦值；解析：(1)DM,NNE∥AMDMEAM與CN1∵N為AD的中點(diǎn),NE∥AM 2313

AM且EMD33133 則 在Rt△MEC中

4

CN2NE2CE2CN

(32 2又∵∠CNE 22AMCN3算、、EN△CEN.如圖所示，在空間四ABCDE、FBC、AD的點(diǎn)

AFBE

1ABCD3

1EG、CB3CB在ΔBCDBEBGEG//CDEG

1 所以，EG=5；FG//ABFGDF3

EG2GF2EF2EG

325223

112E O FG//AB1ACAC∩BD=0FOF2

1所以∠FOB即為AC1DB所成的角。在△FOB2

a2b22

1a21a2b2c2

b214

D1 C1

(a2b2)

1(a2b2c2)(b2

1c2

G1a2b2a2b1a2b2a2b2c2 4

aa2(a2b2)(a2b2c解二AC1中點(diǎn)O1，B1BG．在△C1O1GC1O1GAC1DBa2b2a2b24a2a2a2

(a2b2)(a2b2c2)(4a2c222a2b2 a2b2c(a2b2)(a2b2c

b2a(a2b2(a2b2)(a2b2c2

a2b2AO是平面的斜線，A是斜足，OB垂直，BAB是斜線在平面AC是ACBACB解析：AOAB所成角為1，ABAC所成角為2AC所成角為，則有coscos1cos2S—ABC∠ACB=90，AC2,BC1,2問

3,SB

由SA⊥平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影 SCAB所成角為BA則coscosSCAcosBACC2AC2BC2

3,SB

AB

17,SA

3,SC∴cosSCA2

，cosBAC ∴cos

，SCAB

arccos17ABCDA1B1C1D1ABCD

CCBCCDBCD60，證

BAD（略去了該題的2，3問 D解析：設(shè)C1在平面ABCD影為H，則CH為C1C在平面ABCD內(nèi)的射影∴cosC1CDcosC1CHcosDCH∴cosC1CBcosC1CHcosBCH

DCHBCH[0DCHBCH，從而CH為DCB的平分線，又四邊形ABCD是菱形，CHBDCCBD所成角為90，即C .ABCD中，E，F(xiàn)BC，AD的中點(diǎn)，AE與CF所成角的大小。BF、EFADEFAEBFC設(shè)AE與CF所成角為 ∴coscosAEFcosCFE 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則AECFBF 3a 顯然

EF 2a2∴

6，3

6 ∴cos2，AECF3

arccos2333OOB60AOB90，且OB

2,OA

ABAO 1問

OCBOCB解析：BOBCOOCAC 由平面BOOB平面AOB，AOB90知 1 ∴AOBC又AOOO1O，∴BC⊥平面AOO1A1∴7A1BAO1所成角為A1CAO1所成角為2，則coscosBA1Ccos2，7

BC

3,A1C2,A1B 271∴cosBACA1C 271在矩形AOOA中易求得AC與AO所成角的余弦值：cos 71

∴coscosBA1Ccos

17ABAO所成角為arccos1 已知異面直線a與b所成的角為50，PP且與ab所成的角均是30的直線有且只有（）A、1 B、2 C、3 D、4P作aa，bb，則由異面直線所成角的定義知：a與b50P與ab成等角的直線與ab亦成等角，設(shè)ab確定平面ab'交角的平分線為l，則過l且與垂直的平面（設(shè)為）內(nèi)的任一直線l與ab成等角（從略l與a，b所成角大于或等于la，b所成角25，這樣在內(nèi)l的兩側(cè)與ab'成30角的直線各有一條，共兩條。在a'b'相交的另一個(gè)角130內(nèi)，同樣可以作過130角平分線且與垂直的平面內(nèi)任一直線與ab成角大于或等于65，所以P與ab成30的直線有且只有2條，故選（B） 平 C.異 異面或平 C.異 A.48 B.24C.12 D.6DCABDCAB都重復(fù)計(jì)算一次,24對(duì).正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)是 A解析 a、b，a⊥b，ca30cb 3 6 ,

, b解 直線c在位置c2時(shí),它與b成角的最大值為90°,直線c在b位置時(shí),它與b.ABCD1MAB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q上運(yùn)動(dòng)，則P、Q的最短距離為 23 23 M,NABCD為異面直線，所以MNAB,CDBN,ANCD⊥BN,CD⊥ANAN=BN,NM⊥ABCM,MD可得MN⊥CDMNAB,CD

所以在RT△BMNBN2-BM2BN2-BM234-22 12+12-12+12- AEMBFDCAaOCbB直線a是平面α的斜線，b在平α內(nèi)，已知a與b成60°的角，且b與a在平α內(nèi)的射影成AaOCbB AAa，A在內(nèi)的射影是C，則AC⊥于C，ABb于B，則OB⊥平面ABC∵cosAOC=cosAOB=cos60=cosBOC=cos45=OC∴cosAOC==cosBOC=cos45=2∴ 2mnα、β，αβl，mnmn無，且推理過程可逆，就肯定這個(gè)假設(shè)；若有，就否定這個(gè)假設(shè)。m//n,mβnβ而αm與β∴m//l，這與已知∴m又由于n和a共面且相交（若a//n則n⊥l，與已知∴m⊥l與已知∴mn不能垂直如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E、FAD、DD1的中點(diǎn)，則面EFC1BBCC1所解析：EEH⊥BCH.HHG⊥BC1G.∵面ABCD⊥面BCC1，而∵EH∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。在Rt△BCC1中：sin∠C1BC==Rt△BHGRt△EHG故二面角E-BC1-C等于 將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，沿對(duì)角線AC折起，使 .則三棱錐D-ABC的體積解析：AC、BDODO⊥AC，在折起后，這個(gè)垂直關(guān)系不變，因此∠BODB-AC-D的平面角.由于△DOB中三邊長(zhǎng)已知，所以可求出∠BOD：這是問題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個(gè)高實(shí)際上是△DOB中，OB邊DE，理由是：由 ，知∴球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C.A和B，A和C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的.B和C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的.如果球的半徑是R，那么球心到截面ABC的距離等于C的小圓的直徑，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離，OE是球的半徑，因此，欲求OD，需先求出截面圓ABC的半徑. 在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B間球面距離是大圓周長(zhǎng)的，所∴|AB|=R，|AC|=R， 在△ABC∴∠BAC=90°,BCABC的直徑A.4 B.5對(duì)C.6 D.7答案 解析：90°CMABN，DNNABPAABCD所在平面，M、NAB、PC的中點(diǎn)若∠PDA=45MNPCD.(12分)取PD中點(diǎn)E又N為PC中點(diǎn)連NE則NECDNE12又AMCDAM1CD,AM//NE,四邊形AMNE MN//PA平面ABCDCDPACD平面ADPCDAE.(注或直接用三垂線定理CD面ABCD CD AE平面當(dāng)PDA45時(shí)RtPAD為等腰直角三角形則AEPD又MN//AE,MNPDPDCDDMN平面P、QAC1AA1D1DA1B1C1D1（1）（2）求線段PQ（12分MP//AD,MP1AD,NQ//AD,NQ1A 1MPND且MPPQ//

21PQ//AB, PQ2AM2AAM2AN11

22方法二:PQ1AB 2 EAEBlEAl平面 l又aEA,a又aa平面a//SB、SC、SDE、K、H，求證：E、HASBSD（12分SA平面ABCDSABC平面ABCD又ABBCSAABA,BC平面BCSC平面SC又BCSCAE平面AESB,即E為A在SB上的射影ABCD—A1B1C1D1，GCC1的中點(diǎn)，OABCD的中心。求證：A1OGBD（14分）A1ABDBD平面A1ADBDAAC AO面AAO 又AO2AA2AO2a2(2a)23a OG2OC2CG2

2a)2a 3()()

a 9

A1C1C1G(

) AO2OG2AG A1O 又BDOG

A1O平面a、bABm，定長(zhǎng)n（n>m）PQa、b上移動(dòng)，M、NAB、PQ的中點(diǎn)。求證：MN的長(zhǎng)是定值取PB中點(diǎn)H,連結(jié)HN,則HN又ABAB同理ABAB平面AB平面ABbABb平面PABbba在RtPBQ中BQ2PQ2PB2n2PB2(1)在RtPBA中PA2PB2AB2PB2m2(2)(12)兩式相加PA2BQ2n2m2(PA)2(BQ22(PA)2(BQ22MH2NHMH2NH

1n2m2定值)已知：平面ab與都平行，求證：b∥a．a(chǎn)P，bP確定平面設(shè)與交于a交于a∵b∥b∴bab∴a與a重合，而a，a，實(shí)際上是a、a、a∴有三個(gè)幾何事實(shí)(a，b表示直線，表示平面)a∥ba∥b∥a，b在面解析：Ⅰ： b∥b在外 a∥a在外a與交于∵∵a∥∴bab在a在∴b∥．γlAδEBFγlAδEBF1l作平面l作平面，l⊥l⊥ AC∥BDl、AC、BD2：根據(jù)面面平行的定義，用反證法．證法2：設(shè)、有公lP確定平面l⊥l⊥APl⊥l⊥BPl、AP、BPAP、BPl垂直，這是不可能的．故、不能有公共點(diǎn)，∴∥．bb1aP，P∈b．bP確定平面．且與P∴ba∵b∥∴∴這樣ab′都平行于∴2ABa、b的公垂線段，ABb作平面，∩ABa作平面a∥a∥a′b∥∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′AB⊥AB⊥，∴∥．②a∥r，b∥r③α∥c，β∥c④α∥r，β∥r其中正確題 ((A) (B)(C) (D)A．P上，則NP與平面AMC1的位置關(guān)系 PP解析：B1M∥ANB1M=AN，ANB1M是平行四邊形，C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則B1NC∥AMC1，NP平面NPAMC1．B．求證：平面A1BD∥平面A1BDB1D1C的距離．證明：(1)ABCD－A1B1C1D1BB1BB1D1D∴∴BDB1D1C．A1BB1D1C，A1B∩BD=B，A1BD解：(2)AC1A1BDMB1D1CACAC1AC∴AC1A1BDMNA1BD，MNB1D1C．MNA1BDB1D1CAC、BDEA1BDA1CMA1BD，M∈AC1M∈A1E．MN1AC ∴MN

3a3求證AB1∥平面AB1C1BD的距離．證明：(1)B1C∩BC1=O．DOOB1C在△ACB1中，DAC中點(diǎn)，OB1C∴DOC1BD，AB1AB1解：(2)ABC－A1B1C1是正三棱柱，DACBD⊥ACBDC1BDAC1，C1D是交線．AC1AH⊥C1DH，AHAB1C1BDAHAB1C1BD的距離．BC=8，B1C=10CC1=6，Rt△C1DC4236sin4236Rt△DAH∴AHADsinCDC1213 12即AB1到平面C1BD的距離12A到平面的距離．a(chǎn)∥平面a和平面a作平面與交于a，在內(nèi)作直線b與aa上任取一點(diǎn)P，在bP確Pbb．b在b在內(nèi)，∴a，ba且平行于a，ba平行于平面已知平面、、、．其中∩=l，=aa，aa，∩=b，b∥保證有．lbalbaab是相交直線，那么．a(chǎn)∥aa∥b∥bb∥a，b是∴∥求證：a、b、c相交于同一點(diǎn)，或∴a、b∴a、ba、b相交時(shí)，不妨設(shè)a∩b＝P，即a、bβ，a∴P∈β，P∈α，故P為α和β的公共點(diǎn)2∴a、b、c都經(jīng)過點(diǎn)P，即a、b、c三線共點(diǎn)a∥b∵α∩γ＝caα，a∴a∥ca、b、c兩兩平行由此可知a、b、c相交于一點(diǎn)或兩兩平行如圖，正ABCD—A1B1C1D1中，EAB1上，F(xiàn)BD上，且求證：EF∥平面證法一：連AFBCM，連結(jié)∴AF ∴AF

∴EF∥B1M