大物-第5章機(jī)械波完全版

1第5章(Mechanicalwave)

(6)2波動—振動狀態(tài)的傳播過程。

機(jī)械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播過程稱為機(jī)械波,如聲波、水波、地震波等。變化的電磁場在空間的傳播稱為電磁波,如無線電波、光波、X射線等。本章主要討論機(jī)械波。重點(diǎn)：行波方程。

行波振動狀態(tài)沿一定方向傳播的波。核心：位相。3

在彈性媒質(zhì)中，各質(zhì)點(diǎn)之間是以彈性力相互聯(lián)系著的。機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播

產(chǎn)生機(jī)械波的條件：

波源—產(chǎn)生機(jī)械振動；

彈性媒質(zhì)—傳播振動狀態(tài)。

當(dāng)媒質(zhì)中的一個質(zhì)點(diǎn)開始振動后,在彈性力的作用下,就會帶動鄰近質(zhì)點(diǎn)振動,鄰近質(zhì)點(diǎn)又帶動更遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)振動。這樣依次帶動,就把振動由近及遠(yuǎn)地傳播出去,形成了波動。u§5.1波動的基本概念5.1.14圖17-15

應(yīng)當(dāng)注意，在波的傳播過程中，媒質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)并不“隨波逐流”,它們在各自的平衡位置附近振動.顯然,沿著波的傳播方向,振動是依次落后的。P點(diǎn)比o點(diǎn)時間落后：P點(diǎn)比o點(diǎn)位相落后：(這里：u是波速)傳播的是波源的振動狀態(tài)。

62.波面和波線波線(波射線)—波的傳播方向。

波面(波陣面)—波動過程中，振動位相相同的點(diǎn)連成的面。最前面的那個波面稱為波前。

平面波—波面為平面的波動。本章只討論這種波。

球面波—波面為球面的波動。

橫波—質(zhì)點(diǎn)的振動方向與波的傳播方向相互垂直。

縱波—質(zhì)點(diǎn)的振動方向和波的傳播方向相互平行。波面在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。7

1.波速u—振動狀態(tài)(位相)的傳播速度，又稱相速。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性)來確定。如液體、氣體中的縱波，波速：容變彈性模量質(zhì)量密度(慣性)固體中的橫波，波速：切變彈性模量縱波，波速：楊氏彈性模量柔繩中的橫波，波速：繩中的張力質(zhì)量線密度5.1.2描述波動的物理量8

2.波的周期T—媒質(zhì)質(zhì)元完成一次全振動的時間。波的周期完全由波源(周期)確定。頻率=1/T。

3.波長—一個周期內(nèi)波動傳播的距離。

周期T反映波的時間周期性，而波長反映的是波的空間周期性。顯然，周期T也就是波傳播一個波長距離所需的時間。

4.平面簡諧波—波面為平面，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作同頻率的簡諧振動形成的波動。本章主要討論這種波。9

媒質(zhì)中波動傳播到的各點(diǎn),都可以看作是發(fā)射子波的波源,其后任一時刻,這些子波的包跡就是新的波陣面。這就是惠更斯原理。5.1.3惠更斯原理uΔt波傳播方向t+Δt時刻波面平面波t時刻波面知道某一時刻的波陣面,用幾何作圖的方法就能確定下一時刻的波陣面,從而確定波的傳播方向。球面波············

··tt+Dt10惠更斯原理的不足：不能求出波的強(qiáng)度分布。

用惠更斯原理可以解釋波的衍射現(xiàn)象。所謂波的衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時,其傳播方向發(fā)生改變,能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)且強(qiáng)度重新分布的現(xiàn)象。

我們用惠更斯原理畫出了新的波陣面及波的傳播方向。很明顯,波已繞過障礙物的邊緣而傳播了,即發(fā)生了衍射現(xiàn)象。若縫的寬度比波長小得多時,衍射現(xiàn)象將更加顯著。在圖中,11

一平面余弦行波在均勻無耗媒質(zhì)中沿x軸正方向傳播,波速u，坐標(biāo)原點(diǎn)的振動方程為

y=Acos(t+o)

求：波動方程(即坐標(biāo)為x的P點(diǎn)的振動方程)。

注意這里：

x表示各質(zhì)點(diǎn)的平衡位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；

y表示各質(zhì)點(diǎn)對平衡位置的位移。yxouxP如圖所示，一、平面簡諧波波動式§5.2平面簡諧行波的波動方程!12

因為我們研究的是均勻無耗媒質(zhì)中的平面波，所以P點(diǎn)的振幅與原點(diǎn)的振幅相同，故仍是A。原點(diǎn)o的振動方程為y=Acos(t+o)

要找出P點(diǎn)的振動方程，只要找出P點(diǎn)的振幅和位相就行了。如前所述,P點(diǎn)的位相比o點(diǎn)落后x/u,寫為等式有

P點(diǎn)的位相-o點(diǎn)位相=-x/u即：P點(diǎn)的位相-(t+o)=-x/uyxouxP13

P點(diǎn)的位相=[(t-x/u)+o]

則P點(diǎn)的位相比o點(diǎn)超前x/u，于是：P點(diǎn)的位相-(t+o)=+x/u,這時波動方程應(yīng)為于是P點(diǎn)的振動方程(即波動方程)為yxouxP圖17-6u若波沿x軸負(fù)方向傳播，14總結(jié)起來，波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式應(yīng)為式中：“”號表示波沿x軸正方向傳播；“”號表示波沿x軸負(fù)方向傳播。o是坐標(biāo)原點(diǎn)的初相。

考慮到，=2/T，=uT,波動方程還可寫為15

1.當(dāng)x=xo(確定值)時，位移y只是時間t的余弦函數(shù):這是xo處質(zhì)點(diǎn)的振動方程。

2.當(dāng)t=to(確定值)時，位移y只是時間x的余弦函數(shù):

此式表示給定時刻to各振動質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況,相應(yīng)的y-x的曲線就叫做波形曲線，如圖所示。討論：16x+utu)+o]

上式表明，t時刻x點(diǎn)的振動狀態(tài)，經(jīng)時間t后傳播到了x+ut處。即經(jīng)時間t波沿x軸正方向傳播了距離ut,如圖所示。3.當(dāng)x,t都變化時，代表一列沿x軸正方向傳播的波。yxou17t時刻yxouutt+t時刻18二、平面簡諧波問題舉例第一類：

已知波線上一點(diǎn)的振動方程和傳播速度u，寫波動方程udMxPOxy已知：M點(diǎn)的振動方程可以看出：P點(diǎn)較M點(diǎn)在時間落后P點(diǎn)較M點(diǎn)在位相上落后P點(diǎn)的振動（即波動方程）：求波動方程19uxPOxy已知：M點(diǎn)的振動方程可以看出：P點(diǎn)較M點(diǎn)在時間超前P點(diǎn)較M點(diǎn)在位相上超前P點(diǎn)的振動（即波動方程）：dM20uOxPxy已知：M點(diǎn)的振動方程可以看出：P點(diǎn)較M點(diǎn)在時間超前P點(diǎn)較M點(diǎn)在位相上超前P點(diǎn)的振動（即波動方程）：dM21

例題一波動以u=20cm/s沿x軸負(fù)方向傳播，A點(diǎn)的振動方程為yA=0.4cos4t(cm),求波動方程：

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)；

(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)。x5cmABuyoPxu=20cm/s

解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知A點(diǎn)的振動方程為

yA=0.4cos4t(cm)P(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)A時間超前：波動方程：y=0.4cos4(t)cmP(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)A位相超前：22(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)。x5cmABuyopxu=20cm/s已知A點(diǎn)的振動方程為

yA=0.4cos4t(cm)P(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)A時間超前：波動方程：y=0.4cos4(t即波動方程為

y=0.4cos[4(t)+]cmP(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)A位相超前：23

例題一波動以速度u沿x軸正方向傳播，p點(diǎn)的振動方程為yp=Acos(t+),求:(1)坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動方程；(2)波動方程。xypluo解(1)原點(diǎn)o比p點(diǎn)超前l(fā)/u,即

o點(diǎn)位相-(t+)=l/u

o點(diǎn)位相=t++l/u坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動方程為:y=Acos(t++l/u)x(2)x點(diǎn)與p點(diǎn)相距,p點(diǎn)先振動，x點(diǎn)后振動,x點(diǎn)落后時間為x點(diǎn)落后p點(diǎn)位相為24圖17-10axypluoxMM(x)點(diǎn)比已知點(diǎn)p時間落后：已知p點(diǎn)的振動方程為

yp=Acos(t+)波動方程:令x=0得坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動方程為:另解：25

例題一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，振幅A=10cm,角頻率=7rad/s,當(dāng)t=1s時，x=10cm處的a點(diǎn)的振動狀態(tài)為ya=0,a<0，而x=20cm處的b點(diǎn)的振動狀態(tài)為yb=5cm,b>0。設(shè)波長>10cm,求該波的波動方程。解把已知條件寫入波動方程：

當(dāng)t=1時,對a點(diǎn)有：對b點(diǎn)有：解得：u=84cm/s,

o=-17/3=/3波動方程為oxt=1a點(diǎn)26

例題已知波動方程：

求：(1)此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、波長和波速，以及坐標(biāo)原點(diǎn)的振動初相；

(2)x=2m處質(zhì)點(diǎn)的振動方程，及t=1s時該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。(3)x1=1m和x2=2m兩點(diǎn)的相差。

解(1)比較法。

波沿x軸正方向傳播；A=0.5m,T=2s,=1/2Hz,=4m,u=/T=2m/s,原點(diǎn)的振動初相o=/2。第二類：給出平面簡諧波的波動式，求各特征量27

(2)將x=2m代入波動方程就得該處質(zhì)點(diǎn)的振動方程：t=1s時該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為t=1-0.5(m/s)t=10(3)x1=1m和x2=2m兩點(diǎn)的相差：28

例題波速為u=0.08m/s的一平面簡諧波在t=0時的波形如圖所示，圖中p點(diǎn)此時正向y軸正方向運(yùn)動，求該波的波動方程。

解由p點(diǎn)此時正向y軸正方向運(yùn)動，可判定此波沿x軸正方向傳播。

波動方程為

=2=0.4。

由圖可知,=0.4,又已知u=0.08，所以頻率=u/=0.2,第三類：給出某時刻的波形曲線和波速u，寫波動式x(m)op0.20.12ut=029

例題17-6

沿x軸負(fù)方向傳播的一平面簡諧波在t=2s時的波形如圖所示，