人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十六章二次根式教學(xué)課件

第十六章二次根式16.1二根次式第1課時二次根式的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二次根式的概念.（重點）2.掌握二次根式有意義的條件.（重點）3.會利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題.（難點）

電視塔越高，從塔頂發(fā)射的電磁波傳得越遠(yuǎn)，從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域越廣，電視塔高h(yuǎn)（單位：km）與電視節(jié)目信號的傳播半徑r（單位：km）之間存在近似關(guān)系，其中地球半徑R≈6400km．如果兩個電視塔的高分別是h1km、h2km，那么它們的傳播半徑之比是.你能化簡這個式子嗎？式子表示公式中中的表示什么意義？

什么？創(chuàng)設(shè)情境提出問題

（1）中式子你是怎么得到？得到的兩個式子有什么不同？問題：（1）面積為3的正方形的邊長為_______，面積為S的正方形的邊長為_______．創(chuàng)設(shè)情境提出問題

（2）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為______m．（2）中得到的式子有什么意義？

創(chuàng)設(shè)情境提出問題

（3）中當(dāng)h的值分別為0，10，15，20，25時，得到的結(jié)果分別是什么？表示的數(shù)怎樣變化？

t

=

問題：（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，則_____．（1）這些式子分別表示什么意義？（2）這些式子有什么共同特征？這些式子的共同特征是：都表示一個非負(fù)數(shù)（包括字母或式子表示的非負(fù)數(shù)）的算術(shù)平方根．

分別表示3，S，65，的算術(shù)平方根．

合作探究形成知識

上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

合作探究形成知識

把形如，，，

用來表示一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子，叫做二次根式．（3）根據(jù)你的理解，請寫出二次根式的定義．被開方數(shù)a≥0；根指數(shù)為2．二次根式二次根式：

一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．合作探究形成知識

√√√初步應(yīng)用鞏固知識練習(xí)1

指出下列哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．≥

＜二次根式都是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；帶有根號的算術(shù)平方根是二次根式．練習(xí)2二次根式和算術(shù)平方根有什么關(guān)系？初步應(yīng)用鞏固知識例1當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？初步應(yīng)用鞏固知識2-x∴當(dāng)x≥2時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．解：要使在實數(shù)范圍有意義，必須

x-2≥0，

∴

x≥2．2-x2-x例2當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？初步應(yīng)用鞏固知識（1）；（2）；（3）．解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；（2）由1-2a＞0，得a

<

；（3）由≥0，得a為任何實數(shù)．初步應(yīng)用鞏固知識例3

a取何值時，下列根式有意義？（1）；（2）．答案：（1）a為任何實數(shù)；

（2）a=1．變式a取何值時，下列根式有意義？總結(jié)：被開方數(shù)不小于零．初步應(yīng)用鞏固知識當(dāng)a＞0時，表示a的算術(shù)平方根，因此＞0；這就是說，（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．當(dāng)a=0時，表示0

的算術(shù)平方根，因此=0；問題請比較和0的大?。容^辨別探索性質(zhì)

分類討論思想雙重非負(fù)性練習(xí)1

判斷下列各式哪些是二次根式：

（1）；（2）；（3）；（4）．＞≤×√√√綜合應(yīng)用深化提高

練習(xí)2

當(dāng)x是什么實數(shù)時，下列各式有意義．（1）；（2）；（3）；（4）．綜合應(yīng)用深化提高

練習(xí)3

若是整數(shù)，則自然數(shù)n的值為___________.0，3，4（1）本節(jié)課你學(xué)到了哪一類新的式子？（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？（3）二次根式與算術(shù)平方根有什么關(guān)系？課堂小結(jié)

一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．雙重非負(fù)性≥．中的a≥0；

二次根式都是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，帶有根號的算術(shù)平方根是二次根式．我們以前學(xué)習(xí)過的整式、分式都能像數(shù)一樣進(jìn)行運算，你認(rèn)為對于二次根式應(yīng)該進(jìn)一步研究哪些問題？回顧總結(jié)反思提升

第十六章二次根式16.1二根次式第2課時二次根式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解二次根式的性質(zhì)；

2、會利用性質(zhì)化簡和計算。2023/1/241.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（）.A.a>0B.a≥0C.a<0D.a=02.下列各式中，是二次根式的有____________________.

144-220m+3ab2+a21521b-、、、、、.C15b2+a2、220m+、3.a取什么實數(shù)時，下列各式有意義？;2)1(+a;)2(2a.1)3(aa≥－2a為任意實數(shù)a＞0知識回顧420

是2的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個平方等于2的非負(fù)數(shù).因此.同理，分別是0,4，的算術(shù)平方根，即得上面的等式.探究歸納總結(jié)

的性質(zhì)：一般地，＝a(a

≥0).即一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.例1

計算：解：(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？積的乘方：（ab）2=a2b2把得到的結(jié)論推廣到一般，并用含字母的二次根式表示：（a≥0）．探究2

填空，你能說說這樣做的依據(jù)嗎？_____；_____；_____；_____．020.1即任意一個非負(fù)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身....平方運算算術(shù)平方根-2-0.1

...2

...觀察兩者有什么關(guān)系？

a(a＜0)思考：當(dāng)a＜0時，=？-a歸納總結(jié)a(a≥0)-a(a＜0)即任意一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.

的性質(zhì)：例3化簡：解：，而3.14＜π，要注意a的正負(fù)性.注意（7）；（8）．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；練習(xí)化簡：歸納概念（1）含有表示數(shù)的字母；（2）用基本運算符號連接數(shù)或表示數(shù)的字母．用基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來得到的式子叫代數(shù)式．（a≥0）

，問題3回顧我們學(xué)過的式子，如這些式子有哪些共同特征？議一議：如何區(qū)別與？從運算順序看從取值范圍看從運算結(jié)果看先開方,后平方先平方，后開方a≥0a取任何實數(shù)a|a|意義表示一個非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根1.在下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A.7B.3＞2C.D．B練一練2.如圖是一圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為__________.

方法總結(jié)：單個的數(shù)字或字母也是代數(shù)式，代數(shù)式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.3.化簡：（1）＝

;（2）＝

;

（3）

;（4）

.37481-1012a4.實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是

.15、

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

解：

本題逆用了在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式時，原來在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的方法和公式仍然適用.6、

已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三邊關(guān)系三邊長均為正數(shù)，a+b＞c兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0課堂小結(jié)（1）你知道了二次根式的哪些性質(zhì)？（2）運用二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡需要注意什么？（3）請談?wù)劙l(fā)現(xiàn)二次根式性質(zhì)的思考過程？（4）想一想，到現(xiàn)在為止，你學(xué)習(xí)了哪幾類字母表示數(shù)得到的式子？說說你對代數(shù)式的認(rèn)識．16.2二次根式的乘除

（第1課時）復(fù)習(xí)1.什么叫二次根式？式子叫做二次根式.

2.二次根式的基本性質(zhì):二次根式的雙重非負(fù)性：由算術(shù)平方根的意義可知，，，…都是實數(shù).當(dāng)取某個非負(fù)數(shù)值時，就是這個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，也是一個實數(shù).既然是實數(shù)，就應(yīng)該可進(jìn)行四則運算，那么其運算滿足怎樣的運算法則？如何進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除運算？就是我們要討論的問題.探究計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）=

，=

；（2）=

，=

；（3）=

，=

.6620203030二次根式的乘法法則是即：兩個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的積等于這兩個數(shù)積的算術(shù)平方根.求證：證明：根據(jù)積的乘方法則，有∴就是ab算術(shù)平方根.又∵表示ab算術(shù)平方根，∴

.證一證一般地，對于二次根式的乘法是語言表述：算術(shù)平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術(shù)平方根.二次根式的乘法法則:二次根式相乘，________不變，________相乘.根指數(shù)被開方數(shù)歸納總結(jié)注意：a,b都必須是非負(fù)數(shù).應(yīng)用（1）例1計算：（1）；（2）.解：（1）=；（2）===3.思考二次根式的乘法法則反過來，就得到例2化簡：.（2）.（1）；解：（1）；（2）.這樣運算的作用：化簡二次根式可以看作公式

在時的特殊情形

應(yīng)用（2）例3計算：（1）；（2）；（3）.；解：（1）二次根式相乘，被開方數(shù)的積中有開得盡方的要移出根號外.應(yīng)用（2）（3）.本章中二次根式相乘時，如沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù).（2）；含系數(shù)的二次根式相乘，將系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，被開方數(shù)相乘作為積的被開方數(shù).1.化簡：2.化簡:（1）（2）（3）（4）3.已知一個矩形的長和寬分別是，求這個矩形的面積。練習(xí)（1）；（2）．4.

化簡：解：（1）（2）

當(dāng)二次根式內(nèi)的因數(shù)或因式可以化成含平方差或完全平方的積的形式，此時運用乘法公式可以簡化運算.5.計算：解：

易錯提醒：中，a,b必須是非負(fù)數(shù).例3比較大小(一題多解):解：(1)方法一：∵，，又∵20＜27，∴，即.方法二：∵，

，又∵20＜27，∴，即.解：(2)∵，，又∵52＜54，∴，∴,即

比較兩個二次根式大小的方法：可轉(zhuǎn)化為比較兩個被開方數(shù)的大小，即將根號外的正數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)后，再比較被開方數(shù)的大小被開方數(shù)大的，其算術(shù)平方根也大.也可以采用平方法.歸納兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小課堂小結(jié)一、本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？（一）二次根式的乘法法則：.（二）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.（三）化簡二次根式的步驟：

1.將被開方數(shù)盡可能分解成完全平方數(shù).移出根號外.2.平方項用公式.3.應(yīng)用公式課堂小結(jié)二、運用二次根式的乘法法則的關(guān)鍵問題是什么？三、本節(jié)課涉及的思想方法有哪些？16.2二次根式的乘除

（第2課時）復(fù)習(xí)提問1.二次根式的乘法法則：即：兩個非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的積等于這兩個數(shù)積的算術(shù)平方根.乘法法則是如何得出的？除法有沒有類似的法則？2.乘法公式的逆用：有何作用？即：積的算術(shù)平方根等于各因式的算術(shù)平方根的積.探究（1）計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）=

，=

；（2）=

；=

，=

，（3）=

.探究（1）二次根式的除法法則是：.即：商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商.二次根式的除法法則是類比乘法法則，采用由特殊到一般的方法歸納得出的.應(yīng)用（1）例1計算：（1）；.（2）；解：（1）.（2）運算結(jié)果中應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.探究（2）把二次根式的除法法則反過來，就得到：，利用它可以進(jìn)行二次根式的化簡.例2化簡：（1）；（2）.（1）；解：.（2）應(yīng)用（2）例3計算：（1）；；（2）.（3）

.解：（1）解法1：.解法2：先用除法法則運算，再用性質(zhì)去掉分母中的根號利用分式的基本性質(zhì)和公式去掉分母中的根號應(yīng)用（2）（2）..（3）利用第（1）題中解法2的方法去掉分母中的根號.二次根式的運算中，最后結(jié)果分母一般不含二次根式.最簡二次根式上述幾個例題中運算的最后結(jié)果，都有如下兩個特點：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.說明：二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.應(yīng)用例5設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b.已知S=，b=，求a.解：因為S=ab，所以.注意本題中去掉分母中的根號的方法，是否還有其他方法呢？應(yīng)用

那么它們例6如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，的傳播半徑之比是.那么它們例6如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，的傳播半徑之比是.試化簡該式.利用除法法則，分式的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)對代數(shù)式進(jìn)行化簡，從結(jié)果來看，這個比與地球半徑無關(guān)，簡化了解決問題的步驟.練習(xí)1.化簡的結(jié)果是（）A．9B．3C．D．B2.下列根式中，最簡二次根式是（）A.B.C.D.C3.若使等式成立，則實數(shù)k取值范圍是（）BA.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤2

4.下列各式的計算中，結(jié)果為的是（）A.B.C.D.C應(yīng)用（2）5、計算：（1）；（2）.被開方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)的先化為假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行運算解：（1）.應(yīng)用（2）（2）.如果根號前有系數(shù)，就把系數(shù)相除，作為商的系數(shù).6、7、課堂小結(jié)一、本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？二、運用二次根式的除法法則的關(guān)鍵問題是什么？四、本節(jié)課涉及的思想方法有哪些？三、學(xué)習(xí)最簡二次根式有何意義？第十六章二次根式16.3二根次式的加減第1課時二次根式的加減

二次根式計算、化簡的結(jié)果符合什么要求？（1）被開方數(shù)不含分母；

分母不含根號；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.最簡二次根式復(fù)習(xí)回顧下列根式中，哪些是最簡二次根式？復(fù)習(xí)回顧√×××××√√√思考現(xiàn)有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm問題1

怎樣列式求兩個正方形邊長的和?S=8dm2S=18dm2問題2

所列算式能直接進(jìn)行加減運算嗎?如果不能,把式中各個二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運算的依據(jù)）.（化成最簡二次根式）（逆用分配律）∴在這塊木板上可以截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.歸納總結(jié)二次根式的加減法法則:一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.(1)化——將非最簡二次根式的二次根式化簡；加減法的運算步驟：(2)找——找出被開方數(shù)相同的二次根式；(3)并——把被開方數(shù)相同的二次根式合并.

“一化簡二判斷三合并”化為最簡二次根式用分配律合并整式加減二次根式性質(zhì)分配律整式加減法則依據(jù)：二次根式的性質(zhì)、分配律和整式加減法則.

基本思想：把二次根式加減問題轉(zhuǎn)化為整式加減問題．典例精析例2計算:解：例3計算:解：有括號，先去括號練習(xí)1.二次根式：中，與能進(jìn)行合并的是（）A.B

.C

.D

.2.下列運算中錯誤的是（）A.B.C.D.AC3.計算（1）（2）（3）（4）（5）（6）1.填空（1）

.

（2）

.

（3）

.

（4）

.測試2.下列二次根式能與合并的是（）①②③④A.①與②B.②與③

C.③與④D.①與④3.計算（1）

（2）

（3）

（4）思考1.二次根式加減運算的一般步驟與依據(jù)是什么？2．在二次根式加減運算中，有哪些地方易錯？課堂小結(jié)二次根式加減法則注意運算順序運算原理一般地，二次根式的加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.運算律仍然適用與實數(shù)的運算順序一樣第十六章二次根式16.3二根次式的加減第2課時二次根式的加減問題1

單項式與多項式、多項式與多項式的乘法法則法則分別是什么?問題2多項式與單項式的除法法則是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb復(fù)習(xí)引入(ma+mb+mc)÷m=a+b+c分配律

單×多

轉(zhuǎn)化

前面兩個問題的思路是：思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每個同學(xué)任選一組)，然后對比歸納，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

單×單

二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現(xiàn)在：運算律、運算順序、乘法法則仍然適用.例1計算：

解：

二次根式的混合運算，先要弄清運算種類，再確定運算順序：先乘除，再加減，有括號的要算括號內(nèi)的，最后按照二次根式的相應(yīng)的運算法則進(jìn)行.歸納解：此處類比“多項式×多項式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.例2計算：

解：

解：

進(jìn)行二次根式的混合運算時，一般先將二次根式轉(zhuǎn)化為最簡二次根式，再根據(jù)題目的特點確定合適的運算方法，同時要靈活運用乘法公式，因式分解等來簡化運算.歸納

計算：練一練先用乘法交換律，再用乘法公式化簡.

例3

已知試求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x+y)2把代入上式得原式=

例4

計算:解:

分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，構(gòu)成平方差公式，可以使分母不含根號.歸納整式的運算法則和乘法公式中的字母意義非常廣泛，可以是單項式、多項式，也可以代表二次根式，所以整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算.

填空（1）=

.

（2）=

；

=

；

（3）=

.

（4）=

.（5）=

.測試：閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行類似于二次根式的運算時，通常有如下兩種方法將其進(jìn)一步化簡：方法一：方法二：能力提升：(1)請用兩種不同的方法化簡：(2)化簡：解：(1)課堂小結(jié)二次根式混合運算乘法公式化簡求值分母有理化化簡已知條件和所求代數(shù)式

(a+b)(a