2019重點高中數(shù)學選修習題課時作業(yè)第3章空間向量與立體幾何32(一)

§3.2立體幾何中的向量方法(一)——空間向量與平行關(guān)系課時目標1.理解直線的方向向量與平面的法向量，并能運用它們證明平行問題.2.能用向量語言表述線線，線面，面面的平行關(guān)系．1．直線的方向向量________或______的向量，一條直線的方向直線的方向向量是指和這條直線向量有________個．2．平面的法向量直線l⊥α，取直線l的a，則向量a叫做平面α的__________．3．空間中平行關(guān)系的向量表示(1)線線平行a＝(a1，b1，c1，＝2，b2，c2，且222設(shè)直線l，m的方向向量分別為)b(a)abc≠0，則l∥m??__________?________________________.(2)線面平行設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?________?__________?________________________.(3)面面平行設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?__________?__________?________________________.一、選擇題1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則以下向量能作為平面α的一個法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)3．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為( )A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)4．從點A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點的坐標為( )A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)5.1在正方體ABCD—A111D1中，棱長為a，M、N分別為A1、AC的中點，BCB則MN與平面BB1C1C的地點關(guān)系是()A．訂交B．平行C．垂直D．不可以確立6．已知線段AB的兩端點的坐標為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則與線段AB平行的坐標平面是( )A．xOyB．xOzC．yOzD．xOy或yOz二、填空題7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標為________________________．18．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為1，2，2，且l∥α，則m＝________.9.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥面DCC1D1；④A1M∥面D1PQB1.以上結(jié)論中正確的選項是________．(填寫正確的序號)三、解答題10．已知平面α經(jīng)過三點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，試求平面α的一個法向量．11.以以下圖，在空間圖形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD.2【能力提高】12．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C∥平面ODC1.13.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上能否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．平行關(guān)系的常用證法（1）證明線線平行只要要證明表示兩條直線的向量滿足實數(shù)倍數(shù)關(guān)系，如證→→明AB∥CD只要證AB＝λCD.證明線面平行可轉(zhuǎn)變成證直線的方向向量和平面的法向量垂直，而后說明直線在平面外．證面面平行可轉(zhuǎn)變證兩面的法向量平行．(2)證明線面平行問題或面面平行問題時也可利用立體幾何中的定理轉(zhuǎn)變成線線平行問題，再利用向量進行證明．§3.2立體幾何中的向量方法(一)——空間向量與平行關(guān)系知識梳理1．平行重合無數(shù)2．方向向量法向量abc13．(1)a∥ba＝λb11(a2b2c2≠0)a2＝b2＝c2(2)a⊥ua·u＝012＋b12＋c12＝0aabc(3)u∥vu＝kva1b1c1(a2b2c2≠0)a2＝b2＝c2作業(yè)設(shè)計31．D[只若是與向量n共線且非零的向量都可以作為平面α的法向量．應(yīng)選D.]→→的方向向量，．＝(2,4,6)，而與AB共線的非零向量都可以作為直線l2A[∵AB應(yīng)選A.]a·n＝0，3．C[明顯a與b不平行，設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)，則b·n＝0，2x＋3y＋z＝0，∴5x＋6y＋4z＝0.令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]→4．B[設(shè)B(x，y，z)，AB＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．]→→．B[可以建立空間直角坐標系，經(jīng)過平面的法向量和MN的關(guān)系判斷．]5AB6．C→＝(0,5，－3)，AB與平面yOz平行．][AB7.3，3，3或－3，－3，－33333338．－8分析∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直．∴(2，m,1)·，1，2＝2＋1＋＝，∴＝－122m20m8.9．①③④→→→→→→分析∵A1M＝AM－AA1＝DP－DD1＝D1P，A1M∥D1P.D1P?面D1PQB1，∴A1M∥面D1PQB1.又D1P?面DCC1D1，∴A1M∥面DCC1D1.B1Q為平面DCC1D1的斜線，∴B1Q與1P不平行，∴1與1不平行．DAMBQ10．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，→，－，－→∴AB＝(14)，AC＝，－，－，2(243)設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)．→→依題意，應(yīng)有AB＝，·AC＝0.n·0nx－2y－4z＝0x＝2y即2x－4y－3z＝0，解得.z＝0令y＝1，則x＝2.∴平面α的一個法向量為n＝(2,1,0)．11．證明建立以以下圖的空間直角坐標系Cxyz.方法一∵∠PBC＝30°，PC＝2，4BC＝23，PB＝4.于是D(1,0,0)，C(0,0,0)，A(4,23，0)，P(0,0,2)．PB＝4PM，∴PM＝1，3M0，2，2.→33→→→→→CM，，，DPDA，23，0)．設(shè)CMDPDA022中x，y∈R.3則0，2，2＝x(－1,0,2)＋y(3,23，0)．x＋3y＝033123y＝2∴，解得x＝4，y＝4.32x＝23→1→→→→CM＝4DP＋4DA，∴CM，DP，DA共面．CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.→33→→，2方法二由方法一可得CM＝0，2，DP＝(－1,0,2)，DA＝(3,23，0)．設(shè)平面PAD的法向量為n＝(x，y，z)，x＋2z＝0則有，即.3x＋23y＝013令x＝1，解得z＝2，y＝－2.1故n＝1，－2，2.→3331又∵CM0，2，2·1，－＝0.2，2→n，又平面∴CM⊥CM?PAD.n∴CM∥平面PAD.．證明方法一→→，121C＝A1D，B1?A1∵BDB1C∥A1D，又A1D?平面ODC1，B1C∥平面ODC1.→→→方法二∵B1C＝B1C1＋B1B→→→→→→＝B1O＋OC1＋D1O＋OD＝OC1＋OD.5→→→∴B1C，OC1，OD共面．又B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.方法三建系如圖，設(shè)正方體的棱長為1，則可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，11O2，2，1，C1(0,1,1)，→B1C＝(－1,0，－1)，→11OD＝－2，－2，－1，→11OC1＝－2，2，0.設(shè)平面ODC1的法向量為n＝(x0，y0，z0)，則11－2x0－2y0－z0＝0，①得11－2x0＋2y0＝0，②令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．→又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，→∴B1C⊥n，且B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.13．解方法一當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.→→1→→1→→＋DP∵BF＝BC＋CP＝AD＋22(CD)→1→→3→→AD＋2(AD－AC)＋2(AE－AD)3→1→2AE－2AC.→→→∴BF、AE、AC共面．又BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC.方法二6如圖，以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系．由題意，知相關(guān)各點的坐標分別為A(0,0,0)，B3，－1，，C31，2a2a02a，2a，01D(0，a,0)，P(0,0，a)，E0，3a，3a.→21→＝31因此AE＝0，3a，3a2a，2a，0，，AC→→31AP＝(0,0，a)，PC＝2a，2a，－a，→31BP＝－2a，2a，a.設(shè)點F是棱PC上的點，→→3