四隨機(jī)過程的功率譜密度

四隨機(jī)過程的功率譜密度2023/1/251第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日引言在許多領(lǐng)域的理論與實(shí)際應(yīng)用中，廣泛應(yīng)用到傅立葉變換這一工具。一方面由于確定性信號(hào)的頻譜、線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等具有鮮明的物理意義。另一方面，在時(shí)域上計(jì)算確定性信號(hào)通過線性系統(tǒng)必須采用大量的卷積運(yùn)算，轉(zhuǎn)換到頻域上分析時(shí)，可以變換成簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而使運(yùn)算量大為減少，因而傅立葉變換是確定性信號(hào)分析的重要工具。在隨機(jī)信號(hào)分析領(lǐng)域能否應(yīng)用傅立葉變換，隨機(jī)信號(hào)是否存在某種譜特征？回答是可以，不過在隨機(jī)信號(hào)情況下，必須進(jìn)行某種處理以后，才能應(yīng)用傅立葉分析這一工具。因?yàn)橐话汶S機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)不滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積條件，即第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日通常用信號(hào)在其定義域內(nèi)的總量來(lái)表示信號(hào)的大小，稱為信號(hào)的規(guī)范量。 一階規(guī)范量，若模可積，即滿足 則一階規(guī)范量定義為 否則定義為6.1確定信號(hào)的大小、能量和功率確定信號(hào)的大小、能量和功率第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二階規(guī)范量，若?？煞e定義為

否則定義為第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日向量范數(shù)定義1.第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日顯然第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)信號(hào)s(t)為非周期實(shí)函數(shù)，且滿足：

1)，即s(t)絕對(duì)可積；

2)s(t)在內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)。那么，s(t)的傅立葉變換存在，為又稱為頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。信號(hào)s(t)可以用頻譜表示為確定信號(hào)的頻譜和能量譜第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)s(t)的總能量為根據(jù)帕塞瓦爾定理：對(duì)能量有限信號(hào)，時(shí)域內(nèi)信號(hào)的能量等于頻域內(nèi)信號(hào)的能量。即其中稱為s(t)的能量譜密度（能譜密度）。有限能量信號(hào)：是能量譜密度存在的條件第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日樣本函數(shù)x(t)不滿足絕對(duì)可積的條件，但功率是有限的因此，可以研究隨機(jī)過程的功率譜。樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)隨機(jī)信號(hào)的功率第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日截取函數(shù)的傅立葉變換截取函數(shù)應(yīng)滿足帕塞瓦定理兩邊同除以2T可得第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日取集合平均可得隨機(jī)過程的平均功率功率譜密度第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)結(jié)論1、隨機(jī)過程的平均功率可以通過對(duì)過程的均方值求時(shí)間平均得到。若隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)2、若隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日1、功率譜密度為非負(fù)的，即2、功率譜密度是ω的實(shí)函數(shù)。3、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是ω的偶函數(shù)，即功率譜密度的性質(zhì)第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日截取函數(shù)為t的實(shí)函數(shù)，根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)于是4、功率譜密度可積，即第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日功率譜密度的表達(dá)式為 其中功率譜密度可表示為功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由得第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程則維納－辛欽定理第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

雙邊帶功率譜密度：功率譜密度分布在整個(gè)頻率軸上，稱為雙邊帶功率譜密度。

單邊帶功率譜密度：功率譜密度只定義在零和正的頻率軸上，成為單邊帶功率譜密度。 單邊帶功率譜密度與雙邊帶功率譜密度之間的關(guān)系為：

在以后，如不加說(shuō)明，都指雙邊帶功率譜密度。第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的對(duì)應(yīng)關(guān)系：第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例已知零均值平穩(wěn)過程X(t)的第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日互譜密度

定義兩個(gè)截取函數(shù)為二者滿足絕對(duì)可積的條件，則聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互譜密度第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

定義兩隨機(jī)過程的互功率為應(yīng)用帕塞瓦定理第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日下面求平均功率，得平均功率

互功率譜密度定義為第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日1、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有

互譜密度與互相關(guān)函數(shù)第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1：性質(zhì)2：互譜密度的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。

互功率譜密度性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)3：若X(t),Y(t)互相正交，互譜密度為零

性質(zhì)4：若X(t),Y(t)是互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過程，且數(shù)學(xué)期望不為零，則有性質(zhì)5：互功率譜密度性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日周期圖法本質(zhì)是從各態(tài)歷經(jīng)過程功率譜定義得到的估計(jì)量，對(duì)于長(zhǎng)度為N的隨機(jī)序列X(n)

式中是X(n)的N點(diǎn)DFT。

6.6功率譜估值功率譜估值第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日Blackman-Tukey

本質(zhì)是基于維納－辛欽定理對(duì)于有限數(shù)據(jù)，譜密度估值為功率譜估值第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日算法改進(jìn)無(wú)論周期圖法還是BT法，均為漸進(jìn)無(wú)偏，但不是一致估計(jì)量即真實(shí)譜越大的地方，也就是通常我們感興趣的地方，譜估計(jì)量方差越大，越不可靠。改進(jìn)算法有平均法、平滑法等功率譜估值第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日類似相關(guān)函數(shù)，在時(shí)域的高階統(tǒng)計(jì)量稱為高階累量(Cumultants)，類似于功率譜密度，在頻域高階統(tǒng)計(jì)量稱為高階譜(Polyspectra)。對(duì)于零均值實(shí)隨機(jī)變量X1X2X3X4，其對(duì)應(yīng)的二階、三階和四階累量為若均值不為零，則用替換。高階統(tǒng)計(jì)量與高階譜第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日目前高階統(tǒng)計(jì)量用得最多的是三、四階累量。三階累積量在概率密度函數(shù)對(duì)稱的情況下為零。 由于高斯變量有以下重要公式：可知高斯過程的四階累量為零，它提供了研究隨機(jī)過程與高斯過程差異的一個(gè)度量。第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日高斯過程定義：如果對(duì)于任意時(shí)刻，隨機(jī)過程的任意n維隨機(jī)變量服從高斯分布，則X(t)就是高斯過程。高斯過程的n維概率密度函數(shù)為：式中m,x為n維向量

C為協(xié)方差矩陣

6.7高斯過程與白噪聲高斯過程與白噪聲第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日廣義平穩(wěn)正態(tài)過程定義：若正態(tài)隨機(jī)過程X(t)的均值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)只取決于時(shí)間間隔，則稱此正態(tài)過程為廣義平穩(wěn)正態(tài)過程。

第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1：寬平穩(wěn)高斯過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。性質(zhì)2：若平穩(wěn)高斯過程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻是不相關(guān)的，那么也一定是互相獨(dú)立的

性質(zhì)3：平穩(wěn)高斯過程與確定時(shí)間信號(hào)之和仍是高斯過程。

高斯過程性質(zhì)第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4：若正態(tài)隨機(jī)過程在T上是均方可積的，則也是正態(tài)過程。性質(zhì)5：若正態(tài)隨機(jī)過程在T上是均方可微的，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過程。高斯過程性質(zhì)第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日（1）從噪聲與電子系統(tǒng)的關(guān)系來(lái)看：內(nèi)部噪聲：系統(tǒng)本身的元器件及電路產(chǎn)生的。外部噪聲：包括電子系統(tǒng)之外的所有噪聲。（2）根據(jù)噪聲的分布：高斯噪聲：具有高斯分布的噪聲。均勻噪聲：具有均勻分布的噪聲。（3）從功率譜的角度來(lái)看：白噪聲：如果一個(gè)隨機(jī)過程的功率譜為常數(shù)，無(wú)論是什么分布，都稱它為白噪聲。色噪聲：功率譜中各種頻率分量的大小不同。噪聲的分類

噪聲的分類第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上為非零常數(shù)，即

的平穩(wěn)過程N(yùn)(t)，稱為白噪聲過程，簡(jiǎn)稱為白噪聲。理想白噪聲

白噪聲過程第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：白噪聲的相關(guān)系數(shù)

若平穩(wěn)過程N(yùn)(t)在有限頻帶上的功率譜密度為常數(shù)，在頻帶之外為零，則稱N(t)為理想帶限白噪聲。理想白噪聲

帶限白噪聲第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日若白噪聲的功率譜在內(nèi)不為零，而在其外為零，且分布均勻，其表達(dá)式為稱這類白噪聲為低通白噪聲。自相關(guān)函數(shù)為

低通白噪聲第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日如果N(t)