《微積分（第二版）》課件第二節(jié)換元積分法

一、第一換元積分法二、第二換元積分法第二節(jié)換元積分法第二節(jié)換元積分法一、第一換元積分法引例

分析由于被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的特征，不妨設(shè)則于是積分為

驗(yàn)證因?yàn)?所以上述積分正確.即一般而言，對(duì)于不定積分有定理證由復(fù)合函數(shù)微分法則所以定理結(jié)論也可以寫成此式稱為第一換元積分公式.第一換元法應(yīng)用的基本過(guò)程還原④積分③換元②湊微分①湊微分換元成新變量求原函數(shù)還原成原變量

解決問(wèn)題的特征：湊微分法主要解決復(fù)合函數(shù)與中間變量導(dǎo)函數(shù)乘積的積分.

在湊微分—換元—積分—還原的解題過(guò)程中,關(guān)鍵是湊微分,它是換元的前提.只有在被積函數(shù)的被積表達(dá)式中湊出,這樣才能通過(guò)換元

,以u(píng)為積分變量作積分,即所求積分化為從這個(gè)意義上講，第一換元積分法也稱為“湊微分”法.例求積分解因?yàn)闇愇⒎謸Q元求積分還原例求積分解因?yàn)?/p>

對(duì)于湊微分法較熟悉后，可略去中間的換元步驟直接湊微分，將看作一個(gè)變量，然后求出積分.即例求積分解

例

求積分解

例求積分解

用湊微分法求積分時(shí)，必須要熟悉一些常見(jiàn)的湊微分公式，下面列出一些常見(jiàn)的湊微分形式.練習(xí)：求積分積分表達(dá)式湊微分形式例求積分解練習(xí)：求積分例求積分；解下面再推出一些常用的積分公式

公式想到公式例求積分解想到公式

公式例求積分解例求積分；類似地，有解例求積分解類似地，有補(bǔ)充積分公式

用湊微分法計(jì)算積分時(shí)，由于選擇不同的湊微分形成，所以求出的不定積分在形式上也可能不盡相同，但是它們之間至多只相差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，屬于同一個(gè)原函數(shù)族.例求積分解

下面給出不同的求解方法例求積分解例求解下面介紹一些三角函數(shù)的積分例求積分解

例求積分解二、第二換元積分法

分析由于被積函數(shù)為無(wú)理函數(shù),不便于求積分,因此應(yīng)消去根式,也即使被開(kāi)方式為平方式.引例求不定積分

考慮到三角函數(shù)中的平方公式,也即或又不妨作變換則被開(kāi)方式可以化為平方式,進(jìn)而消去根式.(1)作變換令則且(2)求積分求積分步驟：因?yàn)?3)還原變量驗(yàn)證

定理設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)其反函數(shù)為且,若是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),則這就說(shuō)明了是的f(x)原函數(shù).證由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)求導(dǎo)公式,有第二換元法應(yīng)用的基本過(guò)程積分換元①換元成新變量求原函數(shù)

還原成原變量

解決問(wèn)題的特征：第二換元積分法主要解決被積函數(shù)為等無(wú)理函數(shù)的積分問(wèn)題.②還原③解(1)

令即