2011年湖北省高考數(shù)學(xué)理科試卷

2011年湖北省高考數(shù)學(xué)理科試卷試卷類型：A2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類解析）本試題卷共4頁，三大題21小題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上.并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，用2B鉛筆將答題卡上試卷類型B后的方框涂黑。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。咎在試題卷、草稿紙上無效。3填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水箍字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷、草稿紙上無效。4考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題.每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的.

20111.i為虛數(shù)單位，則旨A.i B.i C.iD.i【答案】A解析：因?yàn)?1i1i21i22011i,所以H解析：因?yàn)?1i1i21i22011i,所以H22011 44502i i故選A.2.已知uyylog2x,x1)PyLx2則CuPXA.2,B.1。，一2C.0,D.,0【答案】A解析：由已知D.,0【答案】A解析：由已知UQ.P0,15所以CuP3.已知函數(shù)fx V3sinxcosx)xR)若fx范圍為g，，故選A.1,則x的取值xk—xk,kZ3C.xkxk—xk,kZ3C.xk-xk-,kZ6 6【答案】Bx2k—x2k,kZ

3D.x2k-x2k—,kZ6 6解析：由條件J35nxe0sxi得sinx-1,則6 2X的個(gè)數(shù)記為n,n2,所以選C.X的個(gè)數(shù)記為n,n2,所以選C.5.已知隨機(jī)變量則P0 2服從正態(tài)分布N2,2）且P40.82k-x-2k 5r）解得2kax2k）kZ）所以選6 6 6 3B.4.將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22pxp0上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形的個(gè)數(shù)記為n,則A.n0B.n1C.n2D.n3【答案】C解析：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，頂點(diǎn)一定關(guān)于X軸對(duì)稱，且過焦點(diǎn)傾斜角分別為300和150。，這時(shí)過與拋物線最多只有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所以正三0.4C.0.3D.0.4C.0.3D.0.2【答案】C解析： y：如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)示意里”在久孜關(guān)于直線X2對(duì)稱，所以P20.5,于：“一

則P00.80.50.3所以選C.6.i已知定義在6.i已知定義在R上的奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gX滿足x_xcfxgxaa2a0,且a1）若g2a）貝I]f2A.2A.2B." C." D.4 4【答案】B解析：由條件f2g2a2a22)f2f2g2a2a22）由此解得g22）f2a2a25所以a2,f22222b所以選B.7.如圖，用K、Ai、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng),7.K正常工作且A、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.已知K、A、A2正常工作的評(píng)建|A歸g 0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概盤_ UAA.0.960B.A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】B選選B.8.已知向量解析：Ai、A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1P^P及1 10.8 10.8 10.040.94,系統(tǒng)正常工作概率為PK1PA；PA2 0.90.960.864,所以等式|xyA.【答案】2,2的取值范圍為B.2,3C.3,2D.3,3解析：因?yàn)閯tz2x3y）aXb52xz3yx,y滿足不等式iil2z 0》、則點(diǎn)x,y的可行域如圖所示,y|1D(-1C(0B(1xz2xz2x3y經(jīng)過點(diǎn)等式|xyA.【答案】2,2的取值范圍為B.2,3C.3,2D.3,3解析：因?yàn)閯tz2x3y）aXb52xz3yx,y滿足不等式iil2z 0》、則點(diǎn)x,y的可行域如圖所示,y|1D(-1C(0B(1xz2xz2x3y經(jīng)過點(diǎn)3y經(jīng)過點(diǎn)A0,1C0,1時(shí),z2x3y取得最大值3I時(shí)）z2x3y取得最小值-3所以選D.9.若實(shí)數(shù)a,b滿足a,bVa2b2ab)a0,b0那么，且ab0,則稱a與b互補(bǔ)，記a,bA必要而不充分條件C.充要條件要的條件【答案】C解析：若實(shí)數(shù)a,b滿足a一個(gè)為0,不妨設(shè)b。,D.0,b則。是2與b互補(bǔ)B.充分而不必要條件既不充分也不必0）且ab0）則a與b至少有

a,b va2aaa0?反之）a,bVa2b2ab0‘ 4a""b2ab0兩邊平方得a2b2a2b22abab0,則a與b互補(bǔ))故選C.10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象成為衰變，假設(shè)在放射性同位素鈉137的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)t30系：MtM02咒其中M0為t0時(shí)鎖137的含量，已知t30（太貝克/年）時(shí)，鎖137的含量的變化率是101n2（太貝克/年）???則M60A.5則M60A.5太貝克克D.【答案】150DB.751n2太貝克太貝克C.1501n2—1n230M/30—1n23030230 101n2M/30—1n23030230 101n2解得M600〉所以Mt6002t30那么M60 600601230 600—4150（太貝克））所以選D.1、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上，一題兩空的題，其答案按先后次序填寫.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分18為 -【答案】17【解析】18為 -【答案】17【解析】（結(jié)果用數(shù)值表示）:項(xiàng)式展開式的通1項(xiàng)公式為11.在x去展開式中含x15的項(xiàng)的系數(shù)3.x2r15r2,含x152r15r2,含x15的丁 7 18 r1 c「 18 r2r1 人Tr1 C18x—尸 C18x - ,口183.x 3 ,2項(xiàng)的系數(shù)為C281 17,故填17.312.在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質(zhì)期（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表飲料的概率為（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】患解析：從這30瓶飲料中任取2瓶，設(shè)至少取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料為事件A,從這30瓶飲料中任取2瓶，沒有取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料為事件B,則A與B是對(duì)立事件，因?yàn)?5PB寫絲3所以pa1pb1S且所以填更.C20 1529, 1529 145） /14512.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根12.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)升.【答案】6766解析：設(shè)該數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為a1 a2a3 a4a7 a8a9 43,升.【答案】6766解析：設(shè)該數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為a1 a2a3 a4a7 a8a9 43,即4ai6d33ai21d4a17d,解得7d—66d,依題意43則a5ai4dai7d3d3案66,所以應(yīng)該填14.如圖，直角坐標(biāo)系xoy所在的平面為67.66,直角坐標(biāo)系x/Oy/?（其中y/軸與y軸重合）所在的平面共xOx/ 450（I）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P/2/,2則點(diǎn)P/在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為0\（n）已知平面內(nèi)的曲線C/的方程是x,收22y，220,則曲線C/在平面內(nèi)的射影C的方程是【答案】2.2,x12y21解析：（I）設(shè)點(diǎn)P,在平面內(nèi)的射影P任則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和P/所以

連結(jié)y2,過點(diǎn)P/作2線2縱坐標(biāo)相同工&P/HOy）垂足為HPH,則P/HP45。,P橫坐標(biāo)Xx,y)xPHP/Hcos450x/cos45°272—2)的容積為所以點(diǎn)P/在平面內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為2,2；(n)由(I)得xx/cos450x/Y)y/y,所以；""2 yy代入曲線c/的方程xi2y2i,所以x/2222y/220）得22x72xi2y2i,所以射影C射影C的方程填x12y2115.給n個(gè)則上而下相連的正方形著黑色或白色 .當(dāng)4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示:共有種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰著色方由此推斷，當(dāng)n6時(shí)，黑色正方形互不相鄰著色方案由此推斷，當(dāng)n6時(shí)，黑色正方形互不相鄰著色方案??案共有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】21,43解析：設(shè)n個(gè)正方形時(shí)黑色正方形互不相鄰的著色方????案數(shù)為an,由圖可知，al2）a2 3〉a3 523aia2）a4 835a2a3,由此推斷a5a3a45613,a6a4a581321,故黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種；由于給6個(gè)正方????形著黑色或白色，每一個(gè)小正方形有2種方法，所以一共有2222222664種方法，由于黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種，所以至少有兩個(gè)黑色????正方形相鄰著色方案共有642143種著色方案，故分??別填21,43.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分10分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知a1,1b2cosC一） 4.(I)求(I)求(n)求ABC的周長(zhǎng);

cosAC的值.本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力解析:(I)2 2 2 _ . 1 .解析:(I)cab2abcosC144 44ABC的周長(zhǎng)為abc1225.(n)cosC-4(n)cosC-4.?sinC.1cos2C ..1158--cosA.1sin2A.1J5158--cosA.1sin2A.1J52 78 8??cosACcosAcosCsinAsinCZ」坐小U84 8 4 16.17.（本小題滿分12分),15??sinAasinC 4??sinAc 2JAC,故A為銳角,提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位:千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù).橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).（I）當(dāng)（I）當(dāng)0x200時(shí)）求函數(shù)vx的表達(dá)式;（n）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時(shí)）本題主要考查函數(shù)、最值礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.解析：（I）由題意：當(dāng)0x20時(shí)）vx60；當(dāng)20x200時(shí),設(shè)Vxaxb）顯然xaxb在20,200是減函數(shù)）由已知得200abb60，解得-32003故函數(shù)vx的表達(dá)式為60,-200x,30x20,20x200.（n）依題意并由（I）可得0x20時(shí)）fx為增函數(shù)，故當(dāng)60x,-x200320時(shí),x,2020,x200.其最大值為22x100003 〉60201200；當(dāng)20x200時(shí)）1 1x200x200x3 3 2當(dāng)且僅當(dāng)x200所以）當(dāng)x100X）時(shí),即x100時(shí)）等號(hào)成立.fx在區(qū)間20,200上取得最大值喈03綜上）當(dāng)x100時(shí)fX在區(qū)間0,200上取得最大值1000033333)即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3333輛/小時(shí).18.（本小題滿分12分）BC如圖）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4）E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CCi上,(I)當(dāng)CF1時(shí))求證(I)當(dāng)CF1時(shí))求證EFAiC;（n）設(shè)二面角CAFE的大小為）tan、B吩最小值.本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系前二面確等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力用運(yùn)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力用運(yùn)算求解能力.解析:IS.本小n主要考■空間■0與平面的位■關(guān)系和二面角等婆氈知識(shí)?同酎壽餐空間始年髭力.指理論證能力和運(yùn)埠求解修力.（滿分12分）解法h過￡作砌工/。于N,逐站中.（I）切圍1,連結(jié)N尸.4CP由直快柱的性質(zhì)如，底而0C，費(fèi)面4C?乂底面/Kfl儡面4c?/C,且￡Nu底面所以mJ?創(chuàng)面遇右，w尸為44在便面4c內(nèi)的射影，在RlACWE中.CJV=CEco?60nl.,黑NFBAC"又4G，4c.WlNFJl/C.由三瓶線定理加爐，4c.（11>如圖3連結(jié)/F.過N作NMLAF于M.逢靖從相由CI）知￡￥，儡由4C,根據(jù)三景核定理煙4r.所以上￡MV是一面ZfiC-”-￡的平面仙,叩NEMV?圾?Z￡4C-a.WJ0<tfS45\敗挈（理工類）肉S參考答窠第2頁（共6頁）在RtACNE中.NE?￡C，dn&r,Ji,在RiW中.MN=/N?$ina=3dna,.X,0"<a545. 0<sina￡f.MN3sina 2故當(dāng):sina=—.卻當(dāng)a=4S時(shí).tan。故當(dāng):sina3i9="kJ5u半.itMf與c.jt合.解法力(I)建立如國(guó)3所示的空間JI的坐標(biāo)系，則的已如可得A(0.0M3(2^2.0).C(0.4M^(0,0.4),f(J5.X0),F(0,4,l).于蹌04-(0.-4.4).^?(-JS.i.i).則可喬??<4)(』11/>?0-4+4?0.故EC4c.(II)設(shè)CF?Jl,C0<AS4).平面W的一個(gè)法向■力則由(I)桃川他45AE=(JI,3.0).AF=AE=(JI,3.0).AF=(0.4,4)?于她由e1X￡,中工行可利又由直三粳柱的性質(zhì)可取例前XC.的一個(gè)法向■為病?0.0.0h_于是由日為銳陽可得850■扁由?虛q.于”卷詈Hl'l.6“'+16[i_lT所以由八不-=卜于?由0v久《4?叫葉圖詡”居邛，故當(dāng)a=4,尊點(diǎn)斤。點(diǎn)G重合時(shí)，3n。雙尚最小他半.數(shù)學(xué)（理」淡）試基參考答案第3頁（共6頁）.(本小題滿分13分)1).已知數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為Sn,且酒足：a1a(a0),an1rSn1).(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)若存在kN,使得Ski,Sk,Sk2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的m且m2,am-am,am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論L九本小?主要考查等差必科.等比如列49第礎(chǔ)抑識(shí),同時(shí)辱充報(bào)理論證能力*獻(xiàn)顯得琳與一般的思那f清公口背;-I：由已知出1?，必?可羯%j!“*西式精城到寓%L*i?4叢?1?$)*%?一陽/jT”反蟲衛(wèi)％?皿0E,所即當(dāng),工口時(shí)，般列為『口.(>??，??0”當(dāng)r?0?r?-l晡,由已知。/Q,所以《黃。yN"于是由％；?0十1應(yīng)?1T可博必口”1伽靖NX，%.%?皿.口*r—成等比數(shù)列d二當(dāng)J1ZM時(shí).與=?，<4廣”.修上.依列也J的通填公武我、=]： .”::，(尸41)ar.JriXtui而于任意的eeN?K?s2.?！觥?，心.T成弊及依列.證明如Fi當(dāng),，0時(shí),曲《】》知，/=Hn=L回jt?2.工時(shí)于衽意的中且m*2.oI.口%才成等差數(shù)刑】當(dāng)r=。，r*-|ifd丫品“=&+叼a+附心,541=以#為“*若存在上希甘?帙帶S*.?條.52成等升數(shù)列?胸曷.1千品.工■弱.二%+%*「/”=咯?即*=-%..*由I[1知?嗎. 于是對(duì)于任意B1內(nèi)?M?旦時(shí)22? --2a^r從而口..*■4,t，*?4,?%,即4,,?Q，〃1成等茶城列，號(hào)上,對(duì)于任意的etN\且e221j4，4H或等冷數(shù)列..(本小題滿分14分)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Ai(a,0),A2(a,0)(a0)連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上Ai、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.(I)求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值得關(guān)系；(H)當(dāng)m1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為Ci；對(duì)給定的m(1,0)U(0,),對(duì)應(yīng)的曲線為C2,設(shè)Fi、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在Ci上，是否存在點(diǎn)N,使得△FiNF2的面積S|m|a2。若存在，求tanFiNF2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。20.本小聶主要才查曲駿與方程.圓鋒曲段等，砒如織,同時(shí)考查推理運(yùn)苒的雄力，以及分類與整合和敷形結(jié)合的圖想(漕分14分)解?(1)設(shè)幼點(diǎn)為M,我坐標(biāo)為“,刃，當(dāng)X沸3時(shí)?由條件可用t1M上2=-^ J=1'?二用?—與x-ax+aM’-d即愜r2-7=tnd(x*to)?政學(xué)(理工類〉因1參考答案第4頁(共6頁)J 又4(f,0)、49.0)的坐標(biāo)滿足/wr'一"=而,故依愿意，曲線C的方直為肅-丁?房.當(dāng)mV-I時(shí).曲線C的方界為￡+4=1.C是熱點(diǎn)在丁軸上的標(biāo)1511:4F-ma當(dāng)m=T時(shí).曲段C的方程為丁?尸C是IB心在原點(diǎn)的Bh當(dāng)-1<E<0時(shí)，曲線C的方程為。-^?1.C是焦點(diǎn)在x軸上的桶叫當(dāng)內(nèi);>。時(shí)，曲縫C的方程為二-二二1,C星焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線.<r*ma(II)由(1)知?當(dāng)勵(lì)=-1時(shí).G的方程為必+/?。%當(dāng)所￡(-1,0川(。,+8)時(shí)，G的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為^(-aJTTw.0),—JI+m.0).對(duì)于給定的mw(-LQ)U(0.+8)?G上存在點(diǎn)“('斕仇-0)使得的充要條件是￡+>；=/叱。 ①!?2as ②由CS得。旬M伯由②用［為IIMJl+ffT當(dāng)。丁「I"W㈤”即4府＜。，0＜m//時(shí)?

7l+m 2 義存在點(diǎn)M使$=|何當(dāng)牛巴*人即7Km＜與反，或畫＞!!普過卜不存在清注條件的點(diǎn)M當(dāng)內(nèi)當(dāng)內(nèi)4,0>U?噌］時(shí)由“X■ +m一.一尸.).理弓6(tfjl+wr-4?一外)*可得詆而^=￡-U+mW1+F：?-ma\》【而仁與'j福卜5叫3她由,內(nèi)耳星,iate伊w―麗a工.可得耳尸］--1.5。從而S■gKtn0■"從而S■gKtn0■"可帶--ftwJfan曰=je|a'*即由"4-21.’2 刖琮上可得??附I■"有?