2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（陜西卷）3

2015年高考數(shù)學(xué)（理）試題（陜西卷）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．答案：A解析：，，所以，故選A．知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程、對(duì)數(shù)不等式、集合的并集運(yùn)算．2.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A．167B．137C．123D．93答案：B解析：該校女老師的人數(shù)是，故選B.知識(shí)點(diǎn)：扇形圖3.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）A．5B．6C．8D．10答案:C解析：由圖象知：，因?yàn)?，所以?+k＝2，解得：k=5，所以這段時(shí)間水深的最大值是，故選C．知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．4.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以，故選C．知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．答案：D解析：由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為1，母線長(zhǎng)為2，所以該幾何體的表面積是，故選D．知識(shí)點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．知識(shí)點(diǎn)：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件．7.對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．答案：B解析：因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確．故選B．知識(shí)點(diǎn)：1、向量的模；2、向量的數(shù)量積．8.根據(jù)右邊的圖，當(dāng)輸入x為2006時(shí)，輸出的（）A．28B．10C．4D．2答案：B解析：初始條件：x=2006；第1次運(yùn)行：x=2004；第2次運(yùn)行：x=2002；第3次運(yùn)行：x=2000；……；第1003次運(yùn)行：x=0；第1004次運(yùn)行：x=-2．不滿足條件，停止運(yùn)行，所以輸出的y=32+1=10，故選B．知識(shí)點(diǎn)：程序框圖．9.設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．答案：C解析：，，，函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以q>p=r，故選C.知識(shí)點(diǎn)：1、基本不等式；2、基本初等函數(shù)的單調(diào)性．10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為（）A．12萬(wàn)元B．16萬(wàn)元C．17萬(wàn)元D．18萬(wàn)元答案:D解析:設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤(rùn)z=3x+4y,由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當(dāng)直線3x+4y-z=0過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取得最大值，所以，故選D．知識(shí)點(diǎn)：線性規(guī)劃．11.設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（）A．B．C．D．答案:B解析:如圖可求得Ａ(1,1)，B(1,0)，陰影面積等于若，則的概率是，故選B．知識(shí)點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型．12.對(duì)二次函數(shù)（a為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．-1是的零點(diǎn)B．1是的極值點(diǎn)C．3是的極值D.點(diǎn)在曲線上答案：A解析：可采取排除法．

若A錯(cuò)，則B，C，D正確．即有f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2ax+b，即有f′(1)=0，即2a+b=0，①又f(1)=3，即a+b+c=3②，又f(2)=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a為非零整數(shù)．

若B錯(cuò)，則A，C，D正確，則有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；

若C錯(cuò)，則A，B，D正確，則有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不為非零整數(shù)，不成立；

若D錯(cuò)，則A，B，C正確，則有a-b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=-不為非零整數(shù)，不成立．故選：A．知識(shí)點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為．答案：5解析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則a1+2015=2×1010=2020，所以a1=5，故該數(shù)列的首項(xiàng)為5，所以答案應(yīng)填：5．知識(shí)點(diǎn)：等差中項(xiàng)．14.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=．答案:解析：雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為（-，0），故拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-，∴∴p=2，故答案為：2知識(shí)點(diǎn)：1、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．．15.設(shè)曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線與曲線上點(diǎn)p處的切線垂直，則p的坐標(biāo)為．答案：(1,1)解析：因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，設(shè)的坐標(biāo)為（），則，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)Ｐ處的切線的斜率，因?yàn)?，所以，即，解得，因?yàn)椋裕?，即Ｐ的坐?biāo)是(1,1)，所以答案應(yīng)填：(1,1)．考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、兩條直線的位置關(guān)系．16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為．答案：解析：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（p>0），因?yàn)樵搾佄锞€過(guò)點(diǎn)(5,2)，所以2p×2=52，解得，所以v，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：．知識(shí)點(diǎn)：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行．（I）求；（II）若，求的面積．答案:（I）；（II）解析：（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得又，從而，由?<A<，所以(II)解法一：由余弦定理，得而，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因?yàn)閏>0，所以c=3.故ABC的面積為.解法二：，由正弦定理，得，從而，又由，知，所以.故所以的面積為.知識(shí)點(diǎn)：1、平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，AD=2，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．答案:（I）證明見(jiàn)解析；（II）．解析：（I）在圖1中，因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，BAD=，所以BEAC即在圖2中，BEOA1，BEOC從而B(niǎo)E平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC.(II)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由（1）知，BEOA1，BEOC所以A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，所以A1OC=.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED所以得,，.設(shè)平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，平面A1BC與平面A1CD夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.知識(shí)點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.19．（本小題滿分12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開(kāi)車(chē)單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（分鐘）25303540頻數(shù)（次）20304010（I）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（II）劉教授駕車(chē)從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘的概率．答案：（I）分布列見(jiàn)解析，32；（II）．解析：（I）先算出T的頻率分布，進(jìn)而可得T的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)學(xué)期望ET；（II）先設(shè)事件A表示“劉教授從離開(kāi)老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”，再算出A的概率．試題解析：（I）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為T(mén)（分鐘）25303540頻率以頻率估計(jì)概率得T的分布列為T(mén)25303540P從而（分鐘）(II)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時(shí)間，T1,T2的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“劉教授共用時(shí)間不超過(guò)120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“劉教授在途中的時(shí)間不超過(guò)70分鐘”.解法一：解法二：故.知識(shí)點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；2、獨(dú)立事件的概率.20．（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．答案:（I）；（II）．解析：（I）過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點(diǎn)O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.(1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且.易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由=-4，得解得.從而.于是.由，得，解得=3.故橢圓E的方程為.解法二：由（I）知，橢圓E的方程為.(2)依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱(chēng)，且.設(shè)則，，兩式相減并結(jié)合=-4,=2得.易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率因此AB直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得b2=3.故橢圓E的方程為.知識(shí)點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.21．（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明．答案:（I）證明見(jiàn)解析；（II）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，證明見(jiàn)解析．解析：（I），則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；若,若，所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減。所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)解法二由題設(shè)，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí),所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，.又令，則所以當(dāng),,在上遞減；當(dāng),,在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對(duì)于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，，所以,令當(dāng)時(shí),,所以.當(dāng)時(shí),而，所以，.若，，，當(dāng)，，，從而在上遞減，在上遞增.所以，所以當(dāng)又，，故綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).知識(shí)點(diǎn)：1、零點(diǎn)定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.請(qǐng)?jiān)?2、23、24三題中任選一題作答，22．（本小題滿分10分）如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，，垂足為．（I）證明：；（II）若，，求的直徑．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）3.解析：（I）因?yàn)镈E為圓O的直徑，則BED+EDB=900，又BCDE，所以CBD+EDB=90°，從而CBD=BED.又AB切圓O于點(diǎn)B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.（II）由（I）知BD平分CBA，則,又，從而，所以，所以AD=3.由切割線定理得AB2=AB?AE，即=6，故DE=AE-AD=3，即圓O的直徑為3.知識(shí)點(diǎn)：1、直徑所對(duì)的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理.23．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．（I）寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程；（II）為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)．答案：（I）；（II）(3,0)．解析：（I）由,得