九年級(jí)同步第17講：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像

內(nèi)容分析知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)精講1/17內(nèi)容分析知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)精講1/17二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像二次函數(shù)y-ax2+bx+c的圖像的研究，需要利用配方法的方式對(duì)ax2+bx+c進(jìn)行變形，從而利用y=a（x+m?+k的圖像特征研究y-ax2+bx+c的圖像特征，繼而掌握a、b、c與二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)的聯(lián)系.]廣y-a[x+哂-+k的圖像ax2十Ax十c的圖像y=ax2+bx+c的圄像模塊一：二次函數(shù)y=a（x+m）2+k的圖像1、二次函數(shù)y=a（%+m?+k的圖像二次函數(shù)y=a（%+m?+k（其中a、m、k是常數(shù)，且aw0）的圖像即拋物線y=a（%+m?+k，可以通過(guò)將拋物線y=ax2進(jìn)行兩次平移得到.這兩次平移可以是：先向左（m〉0時(shí)）或向右（m<0時(shí)）平移|m|個(gè)單位，再向上（k>0時(shí)）或向下（k<0時(shí)）平移|k|個(gè)單位.利用圖形平移的性質(zhì)，可知:拋物線y=a（%+m>+k（其中a、m、k是常數(shù)，且aw0）的對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-m,0）且平行于y軸的直線，即直線x=-m；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-m,k）.拋物線的開(kāi)口方向由a所取值的符號(hào)決定，當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

例題解析例題解析【例1】說(shuō)出拋物線y=2(%+1?-3的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出它是由拋物線y二212通過(guò)怎樣的平移得到的.【難度】★【答案】【解析】【例2】在平面直角坐標(biāo)系中xOy中畫(huà)出二次函數(shù)y=2(%-1?-1的圖像.【難度】★【答案】【解析】【例3】一個(gè)運(yùn)動(dòng)員打高爾夫球，若球的飛行高度y(米)與水平距離x(米)之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-—(x-30)2+10，則高爾夫球在飛行過(guò)程中的最大高度為90( )A.10米 B.20米 C.30米 D.60米【難度】★【答案】【解析】【例4】與拋物線y=-4x2形狀相同，開(kāi)口方向也相同，頂點(diǎn)為(2,-3)的拋物線解析式為.【難度】★【答案】【解析】2/17江二

【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y=2X2不動(dòng)，而把％軸、y軸分別向上、向右平移2個(gè)單位，那么在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式是【答案】【解析】【例6】已知二次函數(shù)y=3(X-1)2+k的圖像上有AG,五,yj、B(2,y2)、C(5,y3)三個(gè)點(diǎn)，則y「y2、y3的大小關(guān)系為( )y「y「y2〉y3y2〉yi〉y3y3y3〉y「y2y3〉y2〉yi【難度】★★【難度】★★【答案】【解析】【例7】與拋物線y=3X2形狀相同，頂點(diǎn)為(3,-【例7】【難度】★★【難度】★★【答案】【解析】【例8】如圖，拋物線乂=-%2+2向右平移1個(gè)單位得到拋物線y2，回答下列問(wèn)題:(1)拋物線y【例8】(2)陰影部分的面積S=(3)若再將拋物線y2繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線y3,則拋物線y3的開(kāi)口方，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【難度】★★【答案】【解析】.

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【難度】★★【答案】【解析】.【例9】 已知二次函數(shù)y=a(%-1?-c的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+c的大致圖像可能是( )A.A.【難度】★★【答案】【解析】【例10】拋物線y=2(x-2?-6的頂點(diǎn)為C，已知y=-kx+3的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求這個(gè)一次函數(shù)圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.【難度】★★【答案】【解析】【例11］如圖，已知二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖像經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),且與歹軸相交于點(diǎn)C.(1)求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)尸的坐標(biāo);(2)求/CPB的正弦值.【難度】★★★【答案】【解析】4/17江二

【例12】有一個(gè)拋物線形的橋洞，橋洞離水面的最大高度BM為3米，跨度04為6米，以04所在直線為x軸，。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出。、4、M三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)一艘小船平放著一些長(zhǎng)3米，寬2米且厚度均勻的矩形木板，要使該小船能通過(guò)此橋洞，問(wèn)這些木板最高可堆放多少米(設(shè)船身底板與水面同一平面)？【難度】★★★【答案】【解析】【難度】★★★【答案】【解析】5/17模塊二：二次函數(shù)J=ax模塊二：二次函數(shù)J=ax2+bx+c的圖像知識(shí)精講1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像稱(chēng)為拋物線y=ax2+bx+c，這個(gè)函數(shù)的解析式就是這條拋物線的表達(dá)式.任意一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且aw0）都可以運(yùn)用配方法，把它的解析式化為y=a（x+m?+k的形式.對(duì)y對(duì)y=ax2+bx+c配方得:4ac-b2+ 4a由此可知：拋物線y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且aw0）的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-—,2a頂點(diǎn)坐標(biāo)是（——,4a0）.2a 4a當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸（即直線x=--）左側(cè)的部分是下降的，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的部分是上升的；2a當(dāng)a<0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，拋物線在對(duì)稱(chēng)軸（即直線x=--）左側(cè)的部分是上升的，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的部分是下降的.2a例題解析【例13】用配方法把下列函數(shù)解析式化為y=a（x+m?+k的形式.（1）y=x2+4x；【難度】★【答案】【解析】6/17江二【例14】通過(guò)配方，確定拋物線y=—2x2+4x+6的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再描點(diǎn)畫(huà)圖.【難度】★【答案】【解析】【例15］二次函數(shù)y=ox2+bx+c圖像上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足下表:/…—3—2—101…y…—3—2—3—6—11…則該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【難度】★【答案】【解析】【例16］二次函數(shù)y=2x2-5x+2的對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；二次函數(shù)y=2x-2+2x2的對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【難度】★【答案］［解析］［例17］y=（2x—1）（x+2）+1化成y="x+m）2+k的形式為（ ）A.y=2r3'225B.y=2r3)217x+—x————k4>16k4J8C.y=2r3)217D.y=2r3、217x+——x+—+一k4J8k4j8【難度］★★【答案］［解析］【例18】下列關(guān)于二次函數(shù)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A.拋物線y=-2%2+3x+1的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=|B.拋物線y二%2-2%-3，點(diǎn)A（3，0）不在它的圖像上C.二次函數(shù)y=（%+2）2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,-2）D.函數(shù)y=2%2+4%-3的圖像的最低點(diǎn)在（-1,-5）【難度】★★【答案】【解析】【例19】已知二次函數(shù)y=。%2+b%+c，若a<0,b<0,c>0，那么它的圖像大致是（ ）【答案】【解析】【例20］二次函數(shù)y=a%2+b%+c中，a>0,b<0,c=0，則其圖像的頂點(diǎn)在第象限.【難度】★★【答案】【解析】8/17【例21】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m豐0）的圖像可能是（ ）【難度】★★【答案】【解析】【例22］二次函數(shù)y=（m-1）xm2+1+4x-5m的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線（ ）A.x=1B.x=-1 C.x=2D.x=-2【難度】★★【答案】【解析】【例23］請(qǐng)選擇一組a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的圖像同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:當(dāng)x<2時(shí)，歹隨x的增大而增大;當(dāng)x〉2時(shí)，歹隨x的增大而減小.這樣的二次函數(shù)的解析式可以是.【難度］★★【答案］［解析］【例24］若拋物線y=-x2+mx-1的頂點(diǎn)在歹軸上，則m=【難度］★★【答案］［解析］【例25】將拋物線y=ax2+bx+c（aw0）向下平移3個(gè)單位，在向左平移4個(gè)單位得到拋物線y=-2x2-4x+5，則原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.【難度】★★【答案】【解析】【例26】對(duì)于二次函數(shù)y=-2x2+8x-8：（1）求出圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，這個(gè)函數(shù)有最大值還是最小值?這個(gè)值是多少？（2）求出此拋物線與小歹軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x去取何值值，歹隨著x的增大而減小.【難度】★★【答案】【解析】【例27】已知拋物線y=-x2+mx-n的對(duì)稱(chēng)軸為x=-3，且過(guò)點(diǎn)（0,4）,求m、n的值.【難度】★★【答案】【解析】【例28】已知一次函數(shù)y=-2x+c與二次函數(shù)y=ax2+bx-4的圖像都過(guò)點(diǎn)A（1,-1）,二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1,請(qǐng)求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式.【難度】★★【答案】【解析】【例29】將拋物線y二％2-4x+4沿歹軸向下平移后，所得拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B,頂點(diǎn)為C如果AABC是等腰直角三角形，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【難度】★★★【答案】【解析】【例30】已知拋物線y=x2+(b-1)x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，-2b).(1)求b+c的值；(2)若b=3,求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若b>3，過(guò)點(diǎn)P作直線PA1歹軸，交歹軸與點(diǎn)A,交拋物線于另一點(diǎn)B,且BP=2PA，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的解析式.【難度】★★★【答案】【解析】

隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 拋物線y=-3（%-2?+9的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（ ）A.開(kāi)口向下、對(duì)稱(chēng)軸為直線％=-2、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,9）B.開(kāi)口向下、對(duì)稱(chēng)軸為直線l=2、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,9）C.開(kāi)口向上、對(duì)稱(chēng)軸為直線％=-2、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-9）D.開(kāi)口向上、對(duì)稱(chēng)軸為直線l=2、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-9）【難度】★【答案】【解析】【習(xí)題2】 在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖像不可能由函數(shù)y=212+1的圖像通過(guò)平移變換得到的函數(shù)是（ ）B.y=2%2+3A.y=2（%B.y=2%2+3「J3平C.y=2%+—I 5J【難度】★【答案】【解析】【習(xí)題3】 在以下二次函數(shù)Gy=（%-2）2-3；Qy=（%+2?-3；Qy=2%2+8%+1；Qy=-%2+2%+1中，圖像以直線x=2為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）的是.【難度】★【答案】【解析】12/17

【習(xí)題4】 用配方法把下列函數(shù)解析式化為y=a（%+m）2+k的形式，并指出每個(gè)函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).y=2%2+4%+5； （2）y=1-3%-2%2.【難度】★★【答案】【解析】【習(xí)題5】 已知二次函數(shù)y=a%2+b%+c的圖像如下圖所示，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）Qabc>0; Qb=2a；短a+b+c<0; Qa—b+c>0?A.4個(gè) B.3個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)【難度】★★【答案】【解析】【習(xí)題6】 已知拋物線y=a%2+b%+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,0）,則a+b+c=.【難度】★★【答案】【解析】【習(xí)題7] 當(dāng)m=時(shí)，拋物線y=m%2+2（m+2）%+m+3的對(duì)稱(chēng)軸是歹軸.【難度】★★【答案】【解析】13/17

【習(xí)題8】 拋物線y=-3%2+bx+c是由拋物線y=-3x2-6x+1向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位得到的，則b=,c=.【難度】★★【答案】【解析】【習(xí)題9】 已知拋物線y=-x2+(m-1)x+m與歹軸交于點(diǎn)(0，3).(1)求出m的值并畫(huà)出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖像判斷當(dāng)x取什么值是，拋物線在x軸上方?【難度】★★★【答案】【解析】【習(xí)題10]如圖，拋物線y=a(x-1)2+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與歹軸交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CD//x軸交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)BD,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).(1)求該拋物線的解析式;(2)求梯形COBD的面積.【難度】★★★【答案】》八【解析】

》八想/課后作業(yè)【作業(yè)1】 拋物線y=2%2先沿l軸方向向左平移2個(gè)單位，再沿y軸方向向下平移3個(gè)單位，所得的拋物線的解析式是 .【難度】★【答案】【作業(yè)2】圖像的頂點(diǎn)為【作業(yè)2】圖像的頂點(diǎn)為（-2，-2）A.且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)是（y=，（%-2）2-2

2yy=2(%+2)2-2y=2(%-2)2-2【難度】★【答案】【解析】【作業(yè)3】 與拋物線y=-1%2+3%-5的形狀大小、開(kāi)口方向相同，只有位置不同的2拋物線是()a1 3 5B.y=—-%2-7%+8

2AB.y=—-%2-7%+8

24 2 2y=—%2+6%+102【難