有限群表示論的演變過程分析,數學史論文

有限群表示論的演變過程分析,數學史論文摘要：有限群表示論是有限群論中最為核心和本質的內容,也是研究有限群構造的最強有力的工具之一。文章探尋有限群表示論誕生的原因,深切進入分析其思想起源和創(chuàng)立經過,進而展現(xiàn)有限群表示論的歷史脈絡和思路歷程。同時,本文為代數學史的研究提供了一個新視角,通過有限群表示論的歷史進程來縱觀代數學的發(fā)展歷史。本文關鍵詞語：數學史;群表示論;特征標;群行列式;模表示;Abstract：Therepresentationtheoryoffinitegroupsisthecoreandessenceofthefinitegrouptheory.Itisalsooneofthemostpowerfultoolsforstudyingthestructureoffinitegroups.Thispaperexploresthereasonsbehindtheestablishmentoftherepresentationtheoryoffinitegroups,andoffersanin-depthanalysisoftheoriginandcreationofitsthoughtprocess.Italsoshowsthehistoricalcontextandtheprocessofthought.Atthesametime,thispaperprovidesanewperspectiveontheresearchofthehistoryofalgebra,thatis,wecanvaluethewholehistoryofalgebrabystudyingthehistoryoftherepresentationtheoryoffinitegroups.Keyword：Historyofmathematics;Grouprepresentationtheory;Groupcharacter;Groupdeterminant;Modularrepresentation;引言表示理論在數學中擁有極高的地位,正如數學家蓋爾范德(IzrailMoiseevichGelfand,1913-2018)所講,所有的數學都是某種表示理論。[1]20世紀數學的主流是構造數學,有限群表示論是有限群論的核心內容,也是研究有限群構造的基本工具,通過將有限群表示為線性空間上的線性變換來研究有限群的構造就是有限群表示論的主要目的。有限群表示論是在代數和數論的研究中產生的,后來發(fā)展成為數論、代數、幾何和分析中的重要工具。所以研究有限群表示論的前史及創(chuàng)立進程不僅能夠揭示有限群表示論的歷史脈絡,還能夠描繪19世紀及20世紀代數學的發(fā)展相貌,進而說明有限群表示論的思想方式方法在近代數學和其他學科中的重要影響。數學史的研究任務不僅僅是描繪數學事件的歷史場景,還要追尋其發(fā)展動因和思想源泉。國內對19世紀代數學歷史的研究文獻中極少牽涉群表示論的歷史,而國外的相關研究文獻也多集中在群表示論的創(chuàng)立經過,缺乏前史部分和創(chuàng)立動機的深究。[2,3,4,5]有鑒于此,本文在深切進入研讀原始文獻和研究文獻的基礎上,以思想史為基本宗旨,結合當時數學發(fā)展的特點,分析相關數學家的思想和方式方法,揭示他們之間的思想傳承關系,進而呈現(xiàn)出有限群表示論演變經過中的清楚明晰思想脈絡和重要歷史進程。一、有限群表示論的思想起源有限群表示論在19世紀末創(chuàng)立,其思想來源于代數和數論中的相關問題,它的產生主要遭到有限群構造理論,阿貝爾群特征標,以及與之相聯(lián)絡的群行列式分解等問題的激發(fā)。1.表示的思想來源19世紀代數學正經歷著由古典到近代的轉變,各種數學構造的出現(xiàn)與應用是這一時期代數學發(fā)展的主要特征。怎樣研究代數構造?一種方式方法是直接研究這個代數構造,以期去了解其內部構造和性質。另一種更有效的方式方法就是讓一個復雜的代數構造作用在另一個相對簡單的構造上,通過研究這個較為簡單的構造去理解這個代數構造本身的性質,這就是表示論的原始思想。([1],p.1)研究抽象群的構造,能夠建立群之間的同態(tài)映射,同態(tài)映射能夠保持群的構造,通過了解像的構造就有可能了解群的構造。群論是從伽羅瓦(E?varisteGalois,1811-1832)研究高次方程的根的置換開場的,在研究經過中他給出了同構這個重要概念,并以為同構是兩個群的元素之間的逐一對應關系。若爾當(CamilleJordan,1838-1922)在1870年發(fā)表的著作(置換和代數方程專論〕中提出了置換群之間的同態(tài)和同構的概念,除此之外,他還探尋求索用線性變換來表示置換,稱之為群的解析表示,這即是今天的線性表示。([5],pp.323-326)凱萊(ArthurCayley,1821-1895)在19世紀下半葉群論的發(fā)展中做出了很多重要奉獻,在推廣置換群的概念時,他開場考慮怎樣構造所有的n階群。他意識到這個問題可轉化為構造所有的n階置換群,對此他講道:盡管上述理論具有一般性,但是置換群是個特例。然而尋找所有n階群這個一般的問題等價于一個不太一般的問題:尋找所有的階數同樣為n的群,并且這些群由n個元素的置換構成。[6]這就是凱萊定理的內容,該定理表示清楚每一個有限抽象群能夠由一個置換群來表示。固然表示的思想已經在這些群構造的探尋求索中開場萌芽,但是還缺少一般的方式方法來闡述華而不實所隱含的理論。2.阿貝爾群特征標概念的提出19世紀的數論獲得了重大進展,研究手段得到創(chuàng)新,理論體系也愈加系統(tǒng)化。特征標起初只是數論中的一個概念,并且與這個數學分支的一些深入結果相聯(lián)絡,后來的發(fā)展中,這個概念能夠在有限抽象阿貝爾群中清楚地表示出。有限群表示論的重要創(chuàng)始人弗羅貝尼烏斯(FerdinandGeorgFrobenius,1849-1917)在提及群特征標概念時講道:高斯在(算術研究〕的230中提到二次型的特征標是指由一個型表示的數與能整除這個型的判別式的奇素數之間的關系,并且他用兩個記號來指明這個關系。狄利克雷利用勒讓德符號來替代這些記號,這些將會是交換群特征標的應用的最古老的例子。高斯的特征標只是在描繪敘述關系,而狄利克雷的特征標只是數,并在這里之下特征標能夠進行計算。[7]為了更好地理解阿貝爾群特征標概念的產生經過,我們對其進行進一步的闡述。特征標這個術語最早出如今(算術研究〕中,在書中高斯(JohannCarlFriedrichGauss,1777-1855)用算術的觀點來討論二元二次型,他主要研究的是二次型構成的等價類。由于同一等價類中的二次型表示一樣的整數,所以通過研究能夠發(fā)現(xiàn),高斯所以為的特征標實際上是等價類所具有的性質。利用勒讓德符號,狄利克雷(PeterGustavLejeuneDirichlet,1805-1859)將高斯的特征標進行了更簡潔地表示出,他以為特征標能夠看作是定義在型的等價類構成的群上的數值函數。狄利克雷的工作增加了特征標理論的計算實用性,同時也是特征標概念一般化的文章,建立了有限群特征標理論的基礎。文章(可交換矩陣〕是弗羅貝尼烏斯定義一般群特征標概念之前的基礎性工作。在文章(群的特征標〕中,他開場嘗試定義新的特征標,弗羅貝尼烏斯以為群的特征標能夠看作是這個群上的復值函數,并且在同一共軛類的元素上的函數值相等,([7],pp.14-15)換句話講就是這個群上的類函數。在定義這些特征標之后,弗羅貝尼烏斯給出了(不可約)特征標之間的文章有趣的地方在于弗羅貝尼烏斯提出直接從群論出發(fā)改善這個新的群特征標理論,而不再使用群行列式,由于直接從群的構造出發(fā)去考慮特征標能夠使戴德金特征標的一般化更為直接。正如他在給戴德金的回信中講道:我在考慮改善我到當前為止得到的所有結果,我做的文章(群行列式的素因子〕中,弗羅貝尼烏斯主要解決戴德金提出的群行列式的分解問題,他文章的開場部分便指明了群行列式的不同的不可約因子的個數等于群軛類的數目,不可約因子的次數等于它的冪次,并將后者稱為群行列式理論的基本定理。([7],p.39)弗羅貝尼烏斯的證明方式方法雖復雜難懂,但卻為其后面群表示論的工作奠定了基礎。2.有限群表示理論的建立弗羅貝尼烏斯意識到1896年的三篇文章創(chuàng)始了新的數學領域,而群行列式分解的結果則給他提供了強有力的工具。在1897-1907年間,弗羅貝尼烏斯發(fā)表了二十多篇論文,從各個方面拓展了群特征標理論和群表示論,并且將這些結果應用到有限群論上。在19世紀下半葉,弗羅貝尼烏斯在矩陣領域做出了重要奉獻,所以此時矩陣成為他的有力工具?？紤]借助詳細的矩陣來研究抽象的群,弗羅貝尼烏斯將這一想法付諸施行,在(論有限群線性變換〕中他引入了矩陣表示的概念,定義表示是從抽象群到可逆矩陣群的同態(tài)。除此之外,他還引進了完全可約表示和不可約表示的概念,利用不可約表示,弗羅貝尼烏斯定義特征標是不可約表示的跡函數,[11]其重大意義在于發(fā)展了特征標的計算性質。在相繼的文章(群與其子群特征標之間的關系〕和(群特征標的合成〕中,弗羅貝尼烏斯實現(xiàn)了特征標的基本計算和應用。正如他在文章開始講道:在我的工作(群的特征標〕中,我已經對有限群的特征標給出了一般的計算方式方法,并且通過一系列例子說明了它的實際應用。但是由于它對復雜的群的應用還是存在大量的困難,所以我通過線性代換去尋求群特征標和本原表示,并且我已經找到了兩個完全不同的方式方法,這在特殊情況下能夠實現(xiàn)這些目的且比一般方式方法更簡單。([7],p.104)這兩個計算方式方法具有重要的歷史意義,重要的文章,介紹了模表示,模特征標和p-塊理論等內容。([13],pp.235-243)在引入p-塊理論之后,塊的理論及其在有限群構造上的應用成為布饒爾的研究中心。布饒爾系統(tǒng)地研究了有限群的塊理論,在1944至1946年間得到了著名的布饒爾注記中,在注記中他講道:我們不能了解到群特征標的所有重要性質,十分地,我們對群特征標和抽象群性質之間的聯(lián)絡的進一步結果更感興趣,這方面的任何結果歸根到底還是與一般有限階群的構造有關。[14]布饒爾對模表示論這一工作的熱愛一直持續(xù)到他晚年,在發(fā)展模表示論的同時還尋求其在有限群構造理論上的應用。([13],p.270)除此之外,值得一提的是,諾特(AmalieEmmyNoether,1882-1935)也對有限群表示論做出了一些工作。諾特固然對有限群的構造理論奉獻不多,但是她建立了群表示論和結合代數之間的聯(lián)絡,這一工作奠定了結合代數及其表示理論的基礎,同時也將有限群表示論上升到一般數學理論的高度。([4],p.293)在這些追隨者們的工作之后,有限群表示論繼續(xù)向前發(fā)展,為當代數學的一些重要研究領域提供了新的思想和工具。四、結束語有限群表示論起源于19世紀對有限群構造的研究,群特征標這個核心概念產生于數論的工作中,戴德金對群行列式分解問題的研究激發(fā)弗羅貝尼烏斯創(chuàng)始群特征標理論和群表示論,伯恩塞得和舒爾的工作進一步完善了這一理論,布饒爾模表示論的建立使其成為較為完好的理論體系。至此,有限群表示論占據有限群論的核心地位,在研究有限群的構造中產生了宏大的威力,深入影響了20世紀數學的發(fā)展相貌。自有限群表示論創(chuàng)立以來,表示論作為研究代數的主要工具也隨著代數學的發(fā)展而不斷完善,隨之而產生的各種群表示、代數表示也建立起來,并且表示論也成為其他數學分支的有力工具。能夠講,20世紀代數學的發(fā)展是以表示論的發(fā)展為基本內容的,而代數學在其他數學領域中的很多應用也是以表示論為基本工具的。以下為參考文獻[1]馮克勤、章璞、李尚志.群與代數表示引論[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2003.[2]Conrad,K.TheOriginofrepresentationTheory[J].EnseignementMathematique,1998,44:361-392.[3]Charles,W.C.RepresentationTheoryofFiniteGroups:FromFrobeniustoBrauer[J].TheMathematicalIntelligencer,1992,14(4):48-57.[4]胡作玄、鄧明立.20世紀數學思想[M].濟南:山東教育出版社,1999.[5]莫里斯?克萊因.古今數學思想[M].鄧東皋、張恭慶等譯,上海:上?？茖W技術出版社,2020.[6]Wussing,H.TheGenesisoftheAbstractGroupConcept[M].Mineola,N.Y.:DoverPublications,2007,233.[7]Frobenius,F.G.GesammelteAbhandlungenIII[M].Berlin:Springer-Verlag,1968,1-2.[8]Hawkins,T.MathematicsofFrobeniusinContext[M].NewYork:Springer,2020,442-445.[9]馮克勤.代數數論簡史[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2021,31-32.[10]Dedekind,R.GesammelteMathematischeWerke[M].Brauns