復(fù)變函數(shù)積分定理的證明

復(fù)變函數(shù)積分定理的證明第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二節(jié)柯西積分定理1柯西積分定理2柯西積分定理的證明3不定積分4柯西積分定理的推廣第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日1柯西定理定理3.1設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，（1）設(shè)C是D內(nèi)任一條簡單閉曲線，那么其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。（2）

C是在D內(nèi)連接及z兩點的任一條簡單曲線，那么沿C從到z的積分值由及z所確定，而不依賴于曲線C，這時，積分記為.第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2幾個引理引理3.1設(shè)f(z)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)C是D內(nèi)的一個多角形的周界。那么在這里沿C的積分是按反時針方向取的。證明：先對C是三角形周界的情形進(jìn)行證明，然后證明一般情形。第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明（1）C為三角形的周界設(shè)下面證明M=0。等分給定的三角形的每一邊，兩兩連接這些分點，給定的三角形被分成四個全等的三角形，我們顯然有：第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明因此，沿周界的積分中，至少有一個的模不小于M/4。不妨假設(shè)這個周界為對于這個三角形周界為，我們也把它等分成四個全等的三角形，其中一個的周界滿足把這種作法一直進(jìn)行下去，我們得到具有周界：一個三角形序列，其中每一個包含后一個，而且有下面的不等式：第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明用U表示周界的長度，于是周界的長度是現(xiàn)在估計的模。由于三角形序列中每一個每一個包含它后面的全部三角形，而且因此由數(shù)學(xué)分析中的閉區(qū)域套定理，得存在著一點屬于序列中的所有三角形。第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明又因為f(z)在有導(dǎo)數(shù)，所以使得當(dāng)時于是當(dāng)時顯然，當(dāng)n充分大時，所確定的圓盤內(nèi)，因此當(dāng)時，上式成立。第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明且有，所以其次，由于，我們有于是當(dāng)n充分大時，第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明因此由于的任意性，我們得到M=0。即第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日引理的證明(2)C為一個多角形的周界P：如圖，用對角線把以P為周界的多角形分成若干個三角形，就可以把沿P的積分表示成沿這些三角形周界

的積分之和：因此每條對角線上積分彼此相互抵消，再利用第一步的證明，有第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日3柯西定理的證明：證明：先證明(1)成立。在C上任取一點，可以作出圓盤：因為圓盤是凸區(qū)域，由引理2.2，f(z)在內(nèi)有原函數(shù)。由于C是一個緊集，由數(shù)學(xué)分析中的有限覆蓋定理，存在有限個圓盤覆蓋了C；把這些圓盤按反時針方向依次排列為第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的證明：并且用表示f(z)在這些圓盤中的原函數(shù)。取其中是C上依序按反時針方向取的。由引理2.3，有第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的證明這里，用表示沿C從的弧上的積分，用表示從的線段上的積分。由引理2.3，有因為構(gòu)成中的一條閉合折線，所以由引理2.1，得第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理證明下面證明（2）成立。設(shè)是在D內(nèi)連接及z兩點的另一條簡單曲線。則是D內(nèi)的一條簡單閉曲線，由（1），有而所以定理的結(jié)論成立。

第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理3.1‘定理3.1’

設(shè)C是一條簡單閉曲線，函數(shù)f(z)在以C為邊界的有界閉區(qū)域D上解析，那么定理3.2設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，由定理3.1，得是在D內(nèi)確定的一個函數(shù)。取充分接近，把第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日定理3.2的證明：D中兩個積分看作沿兩條簡單曲線取的，而其中一條是另一條曲線與連接及z的線段的并集。于是有這里積分是沿及z的聯(lián)線取的，同樣可證，有第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1例1、設(shè)D是不含a的一個單連通區(qū)域，并且那么其中m是不等于1的整數(shù)。另外，還設(shè)D在復(fù)平面上沿從a出發(fā)的任何射線割開而得得區(qū)域內(nèi)，我們有其中對數(shù)應(yīng)理解為Ln(z-a)在D內(nèi)的一個解析分支在z及的值。第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的注解：注解1、我們可以用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分；注解2、區(qū)域的單連通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推廣到多連通區(qū)域：設(shè)有n+1條簡單閉曲線曲線中每一條都在其余曲線的外區(qū)域內(nèi)，而且所有這些曲線都在的內(nèi)區(qū)域，圍成一個有界多連通區(qū)域D，D及其邊界構(gòu)成一個閉區(qū)域。第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的注解：設(shè)f(z)在上解析，那么令C表示D的全部邊界，我們有其中積分是沿C按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。即沿按反時針方向，沿按順時針方向取積分；或者說當(dāng)點沿著C按所選定取積分的方向一同運動時，區(qū)域D總在它的左側(cè)。因此第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的注解：也有：第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的注解：注解4、上面規(guī)定區(qū)域D的方向稱為正向，以后，我們總是規(guī)定取正向，除非另有說明；注解5、多連通區(qū)域內(nèi)的不定積分與多值函數(shù)：設(shè)f(z)是多連通區(qū)域D的解析函數(shù)。在D內(nèi)作連接及z兩點的任一條簡單曲線。在某兩條這樣的曲線所包成的閉區(qū)域上，f(z)可能不解析，因此不能應(yīng)用柯西定理，所以f(z)沿這兩條曲線的積分可能不相等。假定這兩個積分不相等。那么函數(shù)：是多值的。第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日柯西定理的注解：可是z當(dāng)屬于包含在D內(nèi)的某一單連通區(qū)域D’時，取曲線如下：從沿一個固定的簡單曲線到D’內(nèi)一點，然后從沿在D’內(nèi)一條簡單曲線到z。沿這種曲線取積分所得的函數(shù)F(z)在D’內(nèi)解析。改變從的曲線，我們能夠得到不同的解析函數(shù)；它們是F(z)在D’內(nèi)的不同解析分支。第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日作連接的兩條簡單曲線，取定Argz在的值為。例2：例2、在圓環(huán)內(nèi)解析，在D內(nèi)取定兩點當(dāng)z沿從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到。于是當(dāng)z沿從連續(xù)變動到時，z的幅角從連續(xù)變動到。第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2現(xiàn)在求沿的積分。令，則從而第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2：同樣求得這樣，在含的一個單連通區(qū)域（在D內(nèi)）內(nèi)，相應(yīng)，多值函數(shù)有兩個不同的解析分支相應(yīng)于連接的其它曲線，還可得到F(z)在D內(nèi)的其它解析分支，F(xiàn)(z)就是對數(shù)函數(shù)。第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日4不定積分

設(shè)f(z)及F(z)是區(qū)域D內(nèi)確定的函數(shù)，F(xiàn)(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)，并且在D內(nèi)，有F’(z)=f(z)，那么函數(shù)F(z)稱為f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的一個不定積分或原函數(shù)；除去可能相差一個常數(shù)外，原函數(shù)是唯一確定的。即f(z)的任意兩個不定積分或原函數(shù)的差是一個常數(shù)。事實上，設(shè)F(z)及G(z)都是f(z)在區(qū)域是D內(nèi)的原函數(shù)，則有第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日不定積分

其中，我們已經(jīng)證明，在D內(nèi)，有，

因此凸區(qū)域：區(qū)域D是一個凸區(qū)域，如果連接D中任意兩點的線段也包含在D內(nèi)，即第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日4柯西積分定理的推廣定理3.5設(shè)f(z)是凸區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)有原函數(shù)。證明：取定，任取，由區(qū)域D的凸性，有連接及z的線段一定包含在D中。令記為。則F(z)是在D內(nèi)確定的一個函數(shù)。下面證明F是f在D內(nèi)的一個原函數(shù)。第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日取，連接及z的線段一定包含在D中。考慮頂點為的三角形，由引理2.1，得其中所以第三十頁，共三十二頁，2022年，8月28日由于f(z)在連續(xù)，，使得于是，從而有第三十一頁，共三十二頁，2022年，8月28