人教版數(shù)學(xué)九年級中考三輪沖刺：三角形壓軸

2021年人教版數(shù)學(xué)中考三輪沖刺：三角形壓軸1．【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．2．（1）如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三點(diǎn)在同一直線上，求證：∠BDC＝90°；（2）如圖2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，求證：∠ADB＝45°；（3）如圖3，等邊△ABC中，D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關(guān)系．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，E為腰AC上一動點(diǎn)，連接DE，以DE為斜邊向左上方作等腰直角△DEF，連接AF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD上時，求證：AF＝EF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD左側(cè)時，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，若AF＝，求線段CE的長．4．定義：如果一個直角三角形的兩條直角邊的比為2：1，那么這個三角形叫做“倍直角三角形”．（1）如圖1，下列三角形中是“倍直角三角形”的是；（2）已知“倍直角三角形”的一條直角邊的長度為2，則另一條直角邊的長度為；（3）如圖2，正方形網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)A、B、C、D，找出格點(diǎn)E，使△ABE、△CDE都是“倍直角三角形”，這樣的點(diǎn)E共有個；（4）如圖3，正方形網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)A、B，找出格點(diǎn)C，使△ABC是“倍直角三角形”，請畫出所有滿足條件的點(diǎn)C．5．如圖1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AB＝2AC，求AE的長；（2）如圖2，若∠B＝30°，求△CEF的面積；（3）如圖3，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，且AP＝BD，連接PF，求證：PF+AF＝BC6．如圖，△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)D⊥ED．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在線段AC上．請?zhí)骄砍鼍€段AE，AF，AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段AB的延長線上，點(diǎn)F在線段CA的延長線上．請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請?zhí)骄砍龃藭r線段AE，AF，AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．7．如圖1，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動的同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，是否存在這樣的v值，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．8．如圖所示，正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)E是邊BC上的一個動點(diǎn)且∠AEF＝90°，EF交DC于點(diǎn)G，交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接EM．（1）求證：∠BAE＝∠FEC；（2）若E為BC的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；（3）點(diǎn)E在何位置時線段DG最短，并求出此時DG的值．9．已知，在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B點(diǎn)作互相平行的直線AM、BN，過點(diǎn)C的直線分別交直線AM、BN于點(diǎn)D、E．（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，求證：AD+DC＝BE．10．（1）問題提出：如圖1，已知等邊△ABC的邊長為2，D為BC的中點(diǎn)，P是AD上一動點(diǎn)，則BP+AP的最小值為．（2）問題探究：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．（3）問題解決：如圖3，某地在脫貧攻堅(jiān)鄉(xiāng)村振興中因地制宜建造了3個特色農(nóng)產(chǎn)品種植基地A，B，C．現(xiàn)需根據(jù)產(chǎn)品中轉(zhuǎn)點(diǎn)P修建通往種植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便農(nóng)產(chǎn)品的儲藏運(yùn)輸，根據(jù)地質(zhì)設(shè)計(jì)，PB路段每米造價(jià)是PA的倍，PC路段每米造價(jià)是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3條道路費(fèi)用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．11．如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．（1）如圖1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求證：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的長．12．已知：線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB．（1）如圖1，求證：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如圖2，∠ADC和∠ABC的平分線DE和BE相交于點(diǎn)E，并且與AB、CD分別相交于點(diǎn)M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度數(shù)；（3）如圖3，∠ADC和∠ABC的三等分線DE和BE相交于點(diǎn)E，并且與AB、CD分別相交于點(diǎn)M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，試探究∠A、∠C、∠E三者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a）、B（﹣2，0）、C（b，0）且（a+b﹣7）2+＝0（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積S△ABC；（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，4）且S△ABP＝S△ABC時，求m的值．14．如圖，已知AB∥CD，∠1+3＝90°，BC、CF分別平分∠ABF和∠BFE，試說明AB∥EF的理由．解：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠2（）．∵∠1+∠3＝90°（已知），∴∠2+∠3＝90°（）．即∠BCF＝90°．∵＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴＝90°（等式性質(zhì)）．∵BC、CF分別平分∠ABF和∠BFE（已知），∴（）．∴∠ABF+∠BFE＝180°（）．∴AB∥FE（）．

參考答案1．（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，①正確，∠ADB＝∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF＝OC，連接CF，∴△OCF是等邊三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正確，連接AF，要使OC＝OE，則有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．2．（1）證明：如圖1，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如圖2，過A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如圖3，在形內(nèi)作∠DAE＝60°，AE交BD于E點(diǎn)，與（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．3．（1）證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠CAD＝45°，∵△EFD是等腰直角三角形，∴∠EFD＝∠AFE＝90°，∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF；（2）解：當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD左側(cè)時，（1）中結(jié)論AF＝EF仍然成立，理由如下：如圖2，取AC的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，∴∠GDC＝∠C＝45°，∴∠DGC＝90°，∴△DGC是等腰直角三角形，∵△DFE是等腰直角三角形，∴＝，∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，∴∠FDG＝∠EDC，∴△FDG∽△EDC，∴∠FGD＝∠ECD＝45°，∴∠FGA＝45°，在△FGA和△FGD中，，∴△FGA≌△FGD（SAS），∴AF＝DF，∵DF＝EF，∴AF＝EF；（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中點(diǎn)，∴AD＝7，取AC的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，設(shè)直線FG與AD相交于點(diǎn)P，由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，∴FG∥DC，∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，在Rt△APF中，AP＝，AF＝，∴PF＝＝＝，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD左側(cè)時，F(xiàn)G＝4，∵△FDG∽△EDC，∴＝，∴EC＝4；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AD的右側(cè)時，∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，同理得△FDG∽△EDC，∴＝，∴EC＝3．綜上，EC的長是4或3．4．解：（1）如圖1中，∵AB＝，BC＝，AC＝3，∴AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是倍直角三角形，∵DF＝2，DE＝4，EF＝2，∴DF2+DE2＝EF2，∴∠FDE＝90°，∵DE＝2DF，∴△DEF是倍直角三角形，∵∠GHI＝90°，GH＝5，HL＝3，∴GH≠2HI，∴△GHI不是倍直角三角形，故答案為：△DEF．（2）∵“倍直角三角形”的一條直角邊的長度為2，∴另一條直角邊的長度為1或4，故答案為：1或4．（3）如圖2中，滿足條件的點(diǎn)E共有4個，故答案為：4．（4）如圖3中，滿足條件的點(diǎn)C共有5個．5．（1）解：如圖1中，∵AB＝2AC，AC＝8，∴AB＝16，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝8，∵AE⊥BC，∴S△ABC＝?BC?AE＝?AC?AB，∴AE＝＝．（2）解：如圖2中，在CE上取一點(diǎn)T，使得FJ＝CJ，連接FJ．∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∵AE⊥BC，AC＝8，∴CE＝AC?cos60°＝4，∵∠DCA＝45°，∴∠FCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°，∵JF＝JC，∴∠JFC＝∠JCF＝15°，∴∠EJF＝∠JFC+∠JCF＝30°，設(shè)EF＝m，則FJ＝JC＝2m，EJ＝m，∴m+2m＝4，∴m＝4（2﹣），∴EF＝4（2﹣），∴S△ECF＝×4×4（2﹣）＝8（2﹣）．（3）證明：如圖3中，過A點(diǎn)作AM⊥CD于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，連接DN．∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴DN＝CN，∴∠NDM＝∠NCM，∵AE⊥BC，∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，∵∠AFM＝∠EFC，∴∠MAF＝∠ECF，∴∠MAF＝∠MDN，∵∠AMF＝∠AMN，∴△AMF≌△DMN（ASA），∴AF＝DN＝CN，∵∠BAC＝90°，AC＝AD，∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，∴∠NAP＝∠CDB＝135°，∵∠MAF＝∠MDN，∴∠PAF＝∠BDN，∵AP＝DB，∴△APF≌△DBN（SAS），∴PF＝BN，∵AF＝CN，∴PF+AF＝CN+BN，即PF+AF＝BC．6．解：（1）AE+AF＝AB，理由如下：連接AD，如圖1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC，∠DAF＝∠BAC＝45°，AD＝BC＝BD，∴∠B＝∠DAF，∠ADB＝90°，又∵FD⊥ED，∴∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AE+BE＝AB，∴AE+AF＝AB；（2）AB+AF＝AE，理由如下：連接AD，如圖2所示：同①得：∠BDE＝∠ADF，AD＝BD，∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠DBE＝∠DAF＝135°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB+BE＝AE，∴AB+AF＝AE．7．解：（1）BP＝2t，則PC＝10﹣2t；故答案為（10﹣2t）；（2）存在．分兩種情況討論：①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時，△ABP≌△PCQ．因?yàn)锳B＝6，所以PC＝6．所以BP＝10﹣6＝4，即2t＝4．解得t＝2．因?yàn)镃Q＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時，△ABP≌△QCP．因?yàn)镻B＝PC，所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．解得t＝2.5．因?yàn)镃Q＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．綜上所述，當(dāng)v＝2.4或2時，△ABP與△PQC全等．8．解：（1）∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，（2）證明：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，∵E為BC的中點(diǎn)，∴AM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCG＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，又∠AEB+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF，（3）設(shè)BE＝x，CE＝4﹣x，由（1）知，∠BAE＝∠GEC，∵∠B＝∠ECG＝90°，∴△ABE∽△GEC，∴，∴，∴GC＝，∴DG＝4﹣＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∴當(dāng)x＝2即E為BC中點(diǎn)時，線段DG最短，DG的最小值為3．9．證明：（1）如圖1，延長AC交BN于點(diǎn)F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）如圖2，在EB上截取EH＝EC，連CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等邊三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC與△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD．10．解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴PM＝PA，∴PB+PA＝PB+PM，∴當(dāng)B，P，M三點(diǎn)共線時，PB+PA的值最小，此時，BM⊥AC，∵AB＝2，∠BAC＝60°，∴BM＝＝，故答案為：；（2）如圖2，把△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BEF，連接PE，由旋轉(zhuǎn)得：PB＝BE，∠CBF＝∠PBE＝60°，∠BPC＝∠BEF＝120°，PC＝EF，∴△PBE是等邊三角形，∴∠BPE＝∠BEP＝60°，PB＝PE，∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝30°+60°＝90°，∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴∠APB+∠BPE＝∠BEF+∠BEP＝120°+60°＝180°，∴A，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共線，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，AC＝，∴BC＝BF＝2，AB＝AC＝，在Rt△ABF中，AF＝＝＝7，∴PA+PB+PC＝PA+PE+FE＝AF＝7；（3）如圖3，把△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°并擴(kuò)大2倍得到△BED，連接AD，取BE的中點(diǎn)F，連接PF，PE，由旋轉(zhuǎn)得：∠PBE＝∠CBD＝60°，BE＝2PB，DE＝2PC，BD＝2BC＝4000，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+60°＝90°，∵BF＝BP，∴△BPF是等邊三角形，∴BF＝EF＝PF，∴∠BPE＝90°，PE＝PB，∴PA+PB+2PC＝PA+PE+DE≥AD（當(dāng)點(diǎn)A，P，E，D共線時取等號），在Rt△ABD中，AD＝＝＝2000（米）；∴PA+PB+2PC的最小值是2000米．11．（1）①證明：如圖1，∵∠BAC＝∠DAM＝120°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAM，∵AB＝AC，AD＝AM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴BD＝CM；②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝30°，由①知：△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°，∴∠DCM＝60°，∵∠CMD＝90°，∴∠CDM＝30°，∴CM＝CD，∵BD＝CM，∴＝；（2）解：解法一：如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，過A作AF⊥BC于F，Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，∴EG＝CE＝，CG＝，∵AC＝AB＝2，∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴AF＝AC＝，∵∠DAE＝∠FAC＝60°，∴∠DAF＝∠EAG，∵∠AFD＝∠AGE＝90°，∴△ADF∽△AEG，∴，即＝，∴DF＝，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，∴，解得：EF＝2或﹣2（舍），∴DE＝DF+EF＝+2＝；解法二：如圖3，線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°到AM，連接CM，EM，過M作MQ⊥BC于Q，由（1）同理得△ABD≌△ACM，∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，∴∠MCQ＝60°，Rt△QMC中，CQ＝CM，設(shè)CQ＝x，則CM＝2x，QM＝x，∴EQ＝x﹣1，∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，∴∠DAE＝∠EAM，∵AD＝AM，AE＝AE，∴△ADE≌△AME（SAS），∴EM＝DE