工程測(cè)試與信號(hào)處理第二章信號(hào)基礎(chǔ)二

2-3信號(hào)的時(shí)域分析一、時(shí)域分解為了從時(shí)域了解信號(hào)的性質(zhì)，或便于分析處理，可從不同角度將信號(hào)分解為簡單的信號(hào)分量之和，一般有如下情況.信號(hào)直流分量+交流分量偶分量+奇分量實(shí)部分量+虛部分量脈沖分量正交分量1信號(hào)的平均功率=信號(hào)的直流功率+交流功率連續(xù)時(shí)間信號(hào)

1.直流分量與交流分量1/28/20232圖2-15信號(hào)分解為直、交流分量之和信號(hào)x(t)可分解為直流分量xD(t)與交流分量xn(t)，即

x(t)=xD(t)+xA(t).(2-26)3

2.偶分量與奇分量信號(hào)可分解為偶分量xe(t)與奇分量xo(t)之和，即

x(t)=xe(t)+xo(t).(2-27)偶分量對(duì)縱軸對(duì)稱，奇分量對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，如圖2-16所示.43.脈沖分量之和

信號(hào)x(t)可分解為許多脈沖分量之和，如矩形窄脈沖之和、階躍函數(shù)的疊加等.圖2-17表示為矩形脈沖之和.因?yàn)榫匦蚊}沖可表示為階躍信號(hào)之差，即

G(t)=u(t)-u(t-t0)，所以t1時(shí)刻的脈沖為

x(t1)=[u(t-t1)-u(t-t1-△t1)].從t1=0到tl=t，將許多矩形單元疊加，即得到x(t)之近似表達(dá)式:圖2-17信號(hào)分解為矩形窄脈沖之和5(2-28)當(dāng)矩形脈沖寬度無窮小時(shí)，即為脈沖分量之和.用卷積積分描述系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)x(t)的響應(yīng)，就是利用了脈沖分量疊加的概念.4.實(shí)部分量與虛部分量

瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)x*(t)可分解為實(shí)、虛兩部分之和，即

x*(t)=xR(t)十jxI(t).(2-29)一般實(shí)際物理信號(hào)多為實(shí)信號(hào)，但在信號(hào)分析理論中，常借助復(fù)信號(hào)來研究某些實(shí)信號(hào)的問題，它可以建立某些有益的概念或簡化運(yùn)算.6瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)可分解為實(shí)、虛部兩部分之和。極坐標(biāo)形式FS展開周期→非周期7例：實(shí)部分量與虛部分量在主軸回轉(zhuǎn)精度測(cè)試中，采用雙向法拾取基準(zhǔn)球心位置信號(hào)為x0(t)和y0(t)，它們一般是非周期函數(shù)。設(shè)x*(t)為球心回轉(zhuǎn)徑向誤差運(yùn)動(dòng)，則x(t)可表示為：設(shè)n=k,為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。因?yàn)門→時(shí)Δ→0，n=nΔ為連續(xù)量物理意義是基準(zhǔn)球心的回轉(zhuǎn)徑向誤差運(yùn)動(dòng)可以分解為無數(shù)個(gè)以不同的頻率、初相位和半徑作圓周運(yùn)動(dòng)的諧波分量8比較基準(zhǔn)球心的回轉(zhuǎn)徑向誤差運(yùn)動(dòng)的某次諧波可分解為兩個(gè)不同的作圓周運(yùn)動(dòng)的分量圖2-18周期徑向誤差運(yùn)動(dòng)的分解95.正交函數(shù)分量正交函數(shù)：

如果在區(qū)間(t1,t2)上,函數(shù)f1(t)和f2(t)互不含有對(duì)方的分量，則稱f1(t)與f2(t)在(t1,t2)上正交函數(shù)正交的充要條件是它們的內(nèi)積為0函數(shù)f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的內(nèi)積：如果一個(gè)函數(shù)可以用一組相互正交的函數(shù)的線性組合來表示，我們就稱某個(gè)正交函數(shù)與相應(yīng)的線性系數(shù)的乘積為該正交函數(shù)上的正交分量。10信號(hào)x(t)可以用正交函數(shù)集來表示，即各分量的正交條件為即在區(qū)間((tl,t2)內(nèi)分量乘積的積分為零;任一分量在區(qū)間((t1,t2)內(nèi)能量為有限值.各分量系數(shù)是在滿足最小均方差條件下由下式求得滿足正交條件的函數(shù)集有三角函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)、沃爾什(Walsh)函數(shù)等.(2-31)(2-30)11二.時(shí)時(shí)域統(tǒng)統(tǒng)計(jì)分分析1.均均值值均值E[x(t)]表示示集合合平均均值或或數(shù)學(xué)學(xué)期望望值。。均值：：反映映了信信號(hào)變變化的的中心心趨勢(shì)勢(shì)，也也稱之之為直直流分分量。。122.均均方方值信號(hào)的的均方方值E[x2(t)]，，表達(dá)達(dá)了信信號(hào)的的強(qiáng)度度；其其正平平方根根值，，又稱稱為有有效值值(RMS)，，也是是信號(hào)號(hào)平均均能量量的一一種表表達(dá)。。133.方方差差方差：：反映映了信信號(hào)繞繞均值值的波波動(dòng)程程度。。信號(hào)x(t)的的方差差定義義為：：大方差

小方差

144.概率密度函數(shù)

以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個(gè)幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。它反映了信號(hào)落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。15對(duì)于各各態(tài)歷歷經(jīng)過過程，，(2-34)式中，，P[x<x(t)≤x+△x]表示示瞬時(shí)時(shí)值落落在增增量△△x范圍內(nèi)內(nèi)可能能出現(xiàn)現(xiàn)的概概率;Tx=△△t1+△t2+...…表表示信信號(hào)瞬瞬時(shí)值值落在在((x,x+△x)區(qū)間間的時(shí)時(shí)間，，T表示分分析時(shí)時(shí)間(圖2-19).圖2-19概率率密度度函數(shù)數(shù)的計(jì)計(jì)算16上式表明，概率密度函數(shù)p(x)是信號(hào)x(t)的幅值落在指定區(qū)間△x內(nèi)的概率與△x的比值，隨△x所在位置不同而變化，是幅值x的函數(shù).概率密度函數(shù)p(x)與均值、均方值、方差之間的關(guān)系可用矩函數(shù)表示:即一階原原點(diǎn)矩矩二階原原點(diǎn)矩矩二階中中心矩矩可以看看出，，均值是信號(hào)號(hào)x(t)在所所有幅幅值x上的加加權(quán)線線性和和;均方值值是在所所有幅幅值x2上的加加權(quán)線線性和和;方差則是在在(x-μx)2上的加加權(quán)線線性和和.權(quán)權(quán)函數(shù)數(shù)就是是概率率密度度函數(shù)數(shù)p(x).175.概概率率分布布函數(shù)數(shù)概率分分布函函數(shù)是是信號(hào)號(hào)幅值值小于于或等等于某某值R的概概率，，其定定義為為：概率分分布函函數(shù)又又稱累累積概概率，，表示示了落落在某某一區(qū)區(qū)間的的概率率，亦亦可寫寫成:F(x)=P(-∞∞<x<X).典型型信信號(hào)號(hào)的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)與與概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)如如圖圖2-20所所示示.18概率率密密度度函函數(shù)數(shù)概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)196.聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)是是描描述述兩兩個(gè)個(gè)或或幾幾個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)信信號(hào)號(hào)的的不不同同數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的共共同同特特性性或或聯(lián)聯(lián)合合特特性性的的參參數(shù)數(shù)，，定定義義為為Txy/T表示示x(t)落在在(x+x)范范圍圍內(nèi)內(nèi)，，而而y(t)落落在在(y+y)范范圍圍內(nèi)內(nèi)的的概概率率，，Txy是x(t)和和y(t)同同時(shí)時(shí)分分別別落落在在(x+x)及及(y+y)區(qū)區(qū)域域中中的的總總時(shí)時(shí)間間，，即即Txy=t1+t2+……。反反映映了了兩兩相相關(guān)關(guān)隨隨機(jī)機(jī)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)發(fā)發(fā)生生某某一一事事件件的的概概率率。。(2-36)20如圖圖2-21所所示示.聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)反反映映了了兩兩個(gè)個(gè)相相關(guān)關(guān)隨隨機(jī)機(jī)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)發(fā)發(fā)生生某某一一事事件件的的概概率率.例例如如，，兩兩個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)產(chǎn)產(chǎn)生生的的隨隨機(jī)機(jī)振振動(dòng)動(dòng)是是相相關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)的的，，則則可可用用聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)來來預(yù)預(yù)計(jì)計(jì)兩兩個(gè)個(gè)相相鄰鄰彈彈性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)振振動(dòng)動(dòng)的的碰碰撞撞概概率率.圖2-21聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算21三、、直直方方圖圖分分析析以幅幅值值大大小小為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)，，以以每每個(gè)個(gè)幅幅值值間間隔隔內(nèi)內(nèi)出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻次次為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)分分析析的的一一種種方方法法。。直方圖概率密度函數(shù)歸一化22直方方圖圖(histogram)分分析析亦是是對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)域域波波形形進(jìn)進(jìn)行行統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)分分析析的的一一種種方方法法，，包包括括幅值值計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)分分析析與時(shí)間間計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)分分析析.幅值值計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)分分析析是以以幅幅值值大大小小為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)，，每每個(gè)個(gè)幅幅值值間間隔隔內(nèi)內(nèi)出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻次次為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)來來表表示示的的，，常常稱稱為為幅幅值值直直方方圖圖分分析析;如如圖圖2-22所所示示.時(shí)間間計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)分分析析是以以某某時(shí)時(shí)間間間間隔隔內(nèi)內(nèi)的的頻頻次次為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)，，時(shí)時(shí)間間為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的圖圖形形來來表表示示的的，，亦亦可可稱稱為為時(shí)時(shí)間間直直方方圖圖分分析析.(e)幅值直直方圖(a)穿級(jí)計(jì)計(jì)數(shù)(b)峰值計(jì)計(jì)數(shù)(c)跨均值值計(jì)數(shù)(d)變程計(jì)計(jì)數(shù)圖2-22幅幅值計(jì)數(shù)數(shù)分析幅值計(jì)數(shù)分析析是研究信號(hào)號(hào)歷程中某些些量值出現(xiàn)的的次數(shù)。23時(shí)間計(jì)數(shù)分析析是對(duì)信號(hào)落落入給定幅值值范圍內(nèi)的時(shí)時(shí)間進(jìn)行測(cè)量量，如圖2-23所示.圖2-23時(shí)時(shí)間計(jì)數(shù)分析析(a)時(shí)間間間隔測(cè)量;(b)維持時(shí)時(shí)間測(cè)量;(c)潛伏時(shí)時(shí)間測(cè)量;(d)時(shí)間直直方圖241.相關(guān)函數(shù)數(shù)的物理涵義義相關(guān)函數(shù)描述了兩個(gè)信信號(hào)之間的關(guān)關(guān)系或其相似似程度，也可可以描述同一一信號(hào)的現(xiàn)在在值與過去值值的關(guān)系，或或者根據(jù)過去去值、現(xiàn)在值值來估計(jì)未來來值.圖2-24表表示了x(t)與y(t)的三組波形形，其中(a)組，從直直觀上很難發(fā)發(fā)現(xiàn)x(t)與y(t)之間的相似似之處，但也也不能說它們們之間毫無關(guān)關(guān)系，如何定定量地衡量信信號(hào)之間的相相關(guān)(或相似似)程度呢?為了便于討論論，假定所研研究的兩個(gè)信信號(hào)x(t)和y(t)是實(shí)能量信信號(hào)，并且不不含直流分量量(即μx=0).運(yùn)用用最小二乘準(zhǔn)則則來研究兩者之之間的相似程程度是易于理理解的.兩個(gè)個(gè)信號(hào)的誤差差能量。ε2可用下式表示示:(2-37)式中，a是一一個(gè)參數(shù)，調(diào)調(diào)整它可以得得到最好的近近似.25圖2-24波波形的相關(guān)程程度分析(a)不相關(guān)關(guān)ρxy=0;(b)相關(guān)ρxy=1;(c)反相相關(guān)ρxy=-126通過引進(jìn)相關(guān)關(guān)系數(shù)ρxy，得到如下公公式：(2-41)進(jìn)一步分析式式(2-41)可知，對(duì)對(duì)于兩個(gè)能量量有限信號(hào)，，若它們的能能量是確定值值，則ρxy的大小由x(t)y(t)的積分所決決定.例如圖圖2-24(a)所所示的兩個(gè)波波形，如果彼彼此互相獨(dú)立立，互不相關(guān)關(guān)，則x(t)與y(t)乘積的積分分為零，即相相關(guān)系數(shù)ρxy=0，此時(shí)誤誤差能量ε2最大，這說明明y(t)與x(t)是線性無關(guān)關(guān)的.因此可以用兩兩個(gè)信號(hào)的乘乘積積分作為為其線性相關(guān)關(guān)性(或相似似性)的一種種量度.27實(shí)際情況下，，兩個(gè)信號(hào)之之間可能產(chǎn)生生時(shí)差:，這這時(shí)就需要研研究兩個(gè)信號(hào)號(hào)在時(shí)移中的的相關(guān)性.因因此把相關(guān)函函數(shù)定義為(2-43)(2-44)或顯然，相關(guān)函函數(shù)是兩信號(hào)號(hào)之間時(shí)差:的函數(shù).通通常將Rxy(τ)或Ryx(τ)稱為互相關(guān)關(guān)函數(shù)如果x(t)=y(t)，則Rxx(τ)(或Rx(τ))稱為自相相關(guān)函數(shù)，上上式變?yōu)?2-45)28根據(jù)定義，相相關(guān)函數(shù)有如如下性質(zhì):(1)自相關(guān)函數(shù)是是τ的偶函數(shù)，滿足下式:Rx()=Rx(-).(2-49)互相關(guān)函數(shù)不不是τ的偶函數(shù)，也也不是奇函數(shù)數(shù)，而滿足下式式:Rxy(-)=Ryx().(2-50)(2)當(dāng)=0時(shí)，自相相關(guān)函數(shù)具有有最大值，此時(shí)能量信信號(hào)(2-51)(3)周期信號(hào)的自自相關(guān)函數(shù)仍仍然是同頻率率的周期信號(hào)號(hào)，但不具有有原信號(hào)的相相位信息.例如，正弦弦信號(hào)x(t)=Xsin(ωt+φ)的自相關(guān)函數(shù)數(shù)為Rx(τ)=Xcos(ω)/229(4)兩周期信號(hào)的的互相關(guān)函數(shù)數(shù)仍然是同頻頻率的周期信信號(hào)，但保留留了原信號(hào)的的相位信息.例如，兩正正弦信號(hào)Xsin(ωt)與Ysin(ωt-φ)的互相關(guān)函數(shù)數(shù)Rxy()=XYcos(ωt-φ)/2.(5)兩個(gè)非同頻的的周期信號(hào)互互不相關(guān)，可根據(jù)正(余)弦函數(shù)數(shù)的正交特性性予以證明.由于相關(guān)函數(shù)數(shù)具有這些性性質(zhì)，因此它它在工程應(yīng)用用中具有重要要價(jià)值.例如如:利用性質(zhì)質(zhì)(3)，可可以對(duì)由輪廓廓儀測(cè)得的零零件表面粗糙糙度信號(hào)作自自相關(guān)分析，，根據(jù)其周期期性判別影響響表面粗糙度度的因素;利利用性質(zhì)(4)，可進(jìn)行行雷達(dá)測(cè)距及及機(jī)械系統(tǒng)的的振源分析等等;利用性質(zhì)質(zhì)(5)，可可進(jìn)行信號(hào)的的同頻檢測(cè)，，即在噪聲背背景下提取有有用信息.(6)隨機(jī)信號(hào)的自自相關(guān)函數(shù)將將隨的增大快速速衰減。只要信號(hào)中有有周期成分，，自相關(guān)函數(shù)數(shù)很大時(shí)都不衰衰減，帶有明明顯周期性；；信號(hào)中不包含含周期成分的的隨機(jī)信號(hào)，，當(dāng)稍大時(shí)，自相相關(guān)函數(shù)都趨趨于030正弦波直流指數(shù)白噪聲限帶白噪聲直流+白噪聲聲正弦+白噪噪聲2.典典型信信號(hào)的的自相相關(guān)函函數(shù)31相關(guān)分分析的的工程程應(yīng)用用案例：：機(jī)械加加工表表面粗粗糙度度自相相關(guān)分分析被測(cè)工工件相關(guān)分分析性質(zhì)3,性性質(zhì)4:提取取出回回轉(zhuǎn)誤誤差等等周期期性的的故障障源。。32案例：：自相相關(guān)測(cè)測(cè)轉(zhuǎn)速速理想信信號(hào)干擾信信號(hào)實(shí)測(cè)信信號(hào)自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)性質(zhì)3，性性質(zhì)4：提取取周期期性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速成成分。。33X1X2x1,x2處放放置傳傳感器器，漏漏損處處k視視為向向兩側(cè)側(cè)傳播播聲波波的聲聲源。。因兩兩傳感感器位位置離離漏損損處不不等，，其聲聲波傳傳到傳傳感器器就有有時(shí)差差，信信號(hào)x1,x2做做相關(guān)關(guān)分析析，找找出相相關(guān)值值最大大時(shí)的的τ，即可可確定定漏損損位置置。（在互互相