中考數(shù)學(xué)專題-銳角三角函數(shù)與圓的綜合

中考數(shù)學(xué)專題——銳角三角函數(shù)與圓的綜合一、綜合題1．如圖，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，∠EAC=∠CAB．（1）求證：直線AE是⊙O的切線，（2）若AB=8，sin∠E=，求⊙O的半徑．2．如圖，在⊙O中，AB為直徑，D、E為圓上兩點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，且∠E+∠C=90°．（1）求證：BC為⊙O的切線．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半徑．3．如圖，△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，⊙D經(jīng)過點(diǎn)B，與BC交于點(diǎn)E，與AB交與點(diǎn)F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半徑；（2）CE的長．4．如圖，AB⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．（1）求證：∠E=∠C；（2）若DF=12cm，cosE=，E是的中點(diǎn)，求DE的長．5．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ACB=2∠BAE．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinB=，BD=5，求BF的長．6．如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．且CE=CF．（1）求證：直線CA是⊙O的切線；（2）若BD=DC，求的值．7．如圖，P為⊙O外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的兩條割線，分別交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直徑，已知PA=OA=4，AC=CD．（1）求DC的長；（2）求cosB的值．8．如圖，由矩形ABCD的頂點(diǎn)D引一條直線分別交BC及AB的延長線于F，G，連接AF并延長交△BGF的外接圓于H，連接GH，BH．（1）求證：△DFA∽△HBG；（2）過A點(diǎn)引圓的切線AE，E為切點(diǎn)，AE=3，CF：FB=1：2，求AB的長；（3）在（2）的條件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．9．如圖，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，直線DF是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．10．如圖AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，BP與⊙O相交于點(diǎn)D，C為⊙O上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD，∠BCD=60°．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB=6，求PD的長度．11．如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F，交CB的延長線于點(diǎn)G，且∠ABG=2∠C．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半徑．12．如圖，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，直線DF是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．13．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，連接BE，弦BE與線段CD相交于點(diǎn)F．（1）求證：CF=BF；（2）若cos∠ABE=，在AB的延長線上取一點(diǎn)M，使BM=4，⊙O的半徑為6．求證：直線CM是⊙O的切線．14．如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F，交CB的延長線于點(diǎn)G，且∠ABG=2∠C．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半徑．15．如圖AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，BP與⊙O相交于點(diǎn)D，C為⊙O上的一點(diǎn)，分別連接CB、CD，∠BCD=60°．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）若AB=6，求PD的長度．16．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），延長BD至E．（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求證：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．18．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB=50°，∠APD=80°．（1）求∠ABD的大?。唬?）求弦BD的長．19．如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A；（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長.20．已知：如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，F(xiàn)是弧AC的中點(diǎn)，OF與AC相交于點(diǎn)E，AC=8cm，EF=2cm.（1）求AO的長；（2）求sinc的值.

答案解析部分1．【答案】（1）證明：連接OA，∵OE垂直于弦AB，∴∠OCA+∠CAD=90°，∵CO=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵∠EAC=∠CAB，∴∠EAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AE，即直線AE是⊙O的切線（2）解：作CF⊥AE于F，∵∠EAC=∠CAB，∴CF=CD，∵AB=8，∴AD=4，∵sin∠E=，∴=，=，∴AE=，DE=，∴CF=2，∴CD=2，設(shè)⊙O的半徑r，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5．∴⊙O的半徑為5．【解析】【分析】（1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，進(jìn)而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．（2）作CF⊥AE于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角函數(shù)求得AE=，DE=，進(jìn)一步求得CF=CD=2，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，解方程即可求得．2．【答案】（1）證明：∵∠A與∠E所對的弧是弧BD，

∴∠A=∠E，

又∵∠E+∠C=90°，

∴∠A+∠C=90°，

∴∠ABC=180°﹣90°=90°，

∵AB為直徑，

∴BC為⊙O的切線.（2）解：∵sinA=，BC=6，

∴=，

即=，

∴AC=10，

在Rt△ABC中，

∴AB===8，

又∵AB為直徑，

∴⊙O的半徑是×8=4.【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠A=∠E，同等量代換得∠A+∠C=90°，再由三角形內(nèi)角和得∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定即可得BC為⊙O的切線.

（2）由三角函數(shù)正弦定義得：sinA==，從而得AC=10，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB=8，從而得⊙O的半徑.3．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，∴⊙D的半徑為3（2）解：過圓心D作DH⊥BC，垂足為H，∴BH=EH，在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，∵BH=EH，∴BE=2BH=，∴CE=BC﹣BE=5﹣=．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得出CD和BD，從而得出⊙D的半徑；（2）過圓心D作DH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函數(shù)的定義得出BE，從而得出CE即可．4．【答案】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C（2）解：連接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=12，∵cosE=cosB=，∴AB=20，∵E是的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=10，∴AE=10，∵E是的中點(diǎn)，∴∠ADE=∠BDE=45°，∴DG=AG=ADsin45°=16×=8，EG==6，∴DE=DG+GE=14．【解析】【分析】（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）根據(jù)cosE=，得出AB的長，即可求出AE的長，解直角三角形即可得到結(jié)論．5．【答案】（1）證明：連接AD．∵E是弧BD的中點(diǎn)，∴=，∴∠BAD=2∠BAE．∵∠ACB=2∠BAE，∴∠ACB=∠BAD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°．∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°．∴AC是⊙O的切線（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．∵∠BAE=∠DAE，∠ADB=90°，∴GF=DF，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，sinB==，即=，解得，BF=3．【解析】【分析】（1）連接AD，根據(jù)題意證明∠BAC=90°，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GF=DF，根據(jù)正弦的定義計算即可．6．【答案】（1）證明：如圖，∵BC為直徑，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直線CA是⊙O的切線（2）解：由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【解析】【分析】本題是一道圓的綜合題，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑，這是解第一問的關(guān)鍵；第二問利用銳角三角函數(shù)可求的解.7．【答案】（1）解：連接OC、BC、AD，

∵AC=DC，∴∠CDA=∠CAD，又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，∴∠CBD=∠CBA，∴∠DBA=2∠CBA，又∵∠COA=2∠CBA，∴∠DBA=∠COA，∴OC∥BD，設(shè)CD=x，∴CP：CD=OP：OB，∴CP：x=8：4，∴CP=2x，∴CP?PD=AP?BP，∴2x?（2x+x）=4×（4+4+4），∴x=2，即CD=2；（2）解：∵OC∥BD，∴OC:BD=OP:PB，∴4：BD=（4+4）：4，∴BD=6，∴在Rt△ABD中，cosB===．【解析】【分析】（1）連接OC、BC、AD，根據(jù)等邊對等角得出∠CDA=∠CAD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，故∠CBD=∠CBA，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得出∠DBA=2∠CBA，故∠DBA=2∠CBA，根據(jù)同位角相等，二直線平行得出OC∥BD，設(shè)CD=x，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出CP：CD=OP：OB，根據(jù)比例式表示出CP的長，根據(jù)割線長定理得出CP?PD=AP?BP，根據(jù)等積式建立方程，求解得出x的值，從而得出答案；

（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出OC：BD=OP：PB，根據(jù)比例式建立方程，求解得出BD的值，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可得出答案。8．【答案】（1）證明：∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，

∴∠HBG=∠AFD．∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，∴△DFA∽△HBG．（2）解：∵CD∥AB，CD=AB，

∴，．即AG=3AB．∵AE為⊙O的切線，∴AE2=AB?AG．∴AB=3．（3）解：∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，

∴CF=2，BF=4．∵∠ABC=90°，∴AF=．∵AE2=AF?AH，∴AH=FH=AH﹣AF=．∴FH=AH﹣AF=．∵∠FBG=90°，F(xiàn)G=，∵FG為圓的直徑，∴HG=．∴tan∠HGF==．∵∠HBC=∠HGF∴tan∠HBC=【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠HBG=∠HFG，根據(jù)對頂角相等得出∠HFG=∠AFD，故∠HBG=∠AFD，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠BHG=∠BFG，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠CFD=∠ADG，又∠CFD=∠BFG，故∠BHG=∠ADG，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得出△DFA∽△HBG；

（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出,故=，進(jìn)而得出，即AG=3AB，根據(jù)切割線定理得出AE2=AB?AG．，從而得出方程，求解即可；

（3）首先根據(jù)AD=BC=6，CF：FB=1：2，算出CF,BF的長，根據(jù)勾股定理算出AF的長，根據(jù)切割線定理得出AE2=AF?AH，根據(jù)等積式算出AH,進(jìn)而算出FH，根據(jù)90°圓周角所對的弦是直徑得出FG為圓的直徑，再根據(jù)勾股定理算出HG，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠HBC=∠HGF，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及三角函數(shù)的定義即可得出答案。9．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位線∴OD∥AC，∵DF為⊙O的切線，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC（2）解:如圖，連接BG，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形的熊志可得OD是中位線，則OD∥AC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）連接BG，根據(jù)圓周角定理的推論和已知可證明EF∥BG，則∠CBG=∠E，再用三角形的面積求出BG，勾股定理求出CG，從而求出∠CBG的正切值.10．【答案】（1）解：方法一：如圖1，連接AD．∵BA是⊙O直徑，∴∠BDA=90°．∵=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．方法二：如圖2，連接DA、OD，則∠BOD=2∠C=2×60°=120°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=×（180°﹣120°）=30°．即∠ABD=30°．（2）解：如圖1，∵AP是⊙O的切線，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=BA=×6=3．∴BD=DA=3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，∴cos30°==．∴BP=4．∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．【解析】【分析】（1）連接AD，由直徑所對的圓周角是直角可得∠BDA=90°，由同弧所對的圓周角相等可得∠BAD=∠C，則∠ABD=90°﹣∠BAD可求解；

（2）由切線的性質(zhì)可得∠BAP=90°，在Rt△BAP中，根據(jù)cos∠ABD=可求得PB的長，則PD=BP﹣BD可求解。11．【答案】（1）解：如圖：連接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直徑∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半徑∴EG是⊙O的切線（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tanC==∴BE=2∴BC==2∴CO=即⊙O半徑為【解析】【分析】（1）連接OE，BE，由題意易證∠C=∠A；由直徑所對的圓周角是直角可得∠CEB=90°，在根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AE=CE，于是由三角形的中位線定理可得OE∥AB，結(jié)合已知可得EG⊥OE，由切線的判定可得EG是⊙O的切線；

（2）由題意根據(jù)tanC=可求得BE的長，再由勾股定理可求得BC的長，則半徑CO=BC可求解。12．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位線∴OD∥AC，∵DF為⊙O的切線，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC；（2）解：如圖，連接BG，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．【解析】【分析】（1）如圖，連接OD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠BDC=90°，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出AD=BD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊得出OD∥AC，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑得出OD⊥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出DF⊥AC；

（2）如圖，連接BG，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠BGC=90°，然后根據(jù)同位角相等二直線平行得出EF∥BG，根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出∠CBG=∠E，Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理算出CD的長，然后根據(jù)面積法，由S△ABC=算出BG的長，最后根據(jù)勾股定理算出CG的長，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義，由tan∠CBG=tan∠E=即可算出答案。13．【答案】（1）證明：延長CD交⊙O于G，如圖，∵CD⊥AB，∴=，∵=，∴=，∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF；（2）解：連接OC交BE于H，如圖，∵=，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH==，∴BH=×6=，∴OH==，∵==，==，∴=，而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM=∠OHB=90°，∴OC⊥CM，∴直線CM是⊙O的切線．【解析】【分析】（1）延長CD交⊙O于G，如圖，根據(jù)垂徑定理得出=，又=，故=，根據(jù)等弧所對的圓周角相等∠CBE=∠GCB，再根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論：CF=BF；

（2）根據(jù)垂徑定理得出OC⊥BE，根據(jù)余弦函數(shù)的定義，由cos∠OBH=算出BH的長，然后根據(jù)勾股定理算出OH的長，接著利用有兩組對邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得出△OHB∽△OCM，由相似三角形對應(yīng)角相等得出∠OCM=∠OHB=90°，從而根據(jù)垂直于半徑外端點(diǎn)的直線是圓的切線即可得出結(jié)論。14．【答案】（1）解：如圖：連接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直徑∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半徑∴EG是⊙O的切線（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tan∠C==∴BE=2∴BC==2∴CO=即⊙O半徑為【解析】【分析】（1）如圖：連接OE，BE，根據(jù)三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角的和得出∠ABG=∠C+∠A，又∠ABG=2∠C，故∠C=∠A，根據(jù)等角對等邊得出BC=AB，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠CEB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一得出CE=AE，根據(jù)三角形的中位線定理得出OE∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出EG⊥OE，又OE是半徑，根據(jù)垂直于半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線即可得出EG是⊙O的切線；

（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義，由tan∠C==即可算出BE的長，然后根據(jù)勾股定理算出BC的長，從而得出答案。15．【答案】（1）解：方法一：如圖1，連接AD．∵BA是⊙O直徑，∴∠BDA=90°．∵=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．方法二：如圖2，連接DA、OD，則∠BOD=2∠C=2×60°=120°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．即∠ABD=30°．（2）解：如圖2，∵AP是⊙O的切線，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=BA=×6=3．∴BD=DA=3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，∴cos30°==．∴BP=4．∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．【解析】【分析】（1）方法一：如圖1，連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角相等得出∠BDA=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠BAD=∠C=60°．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可算出∠ABD的度數(shù)；方法二：如圖2，連接DA、OD，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得出∠BOD=2∠C=2×60°=120°，然后根據(jù)等邊對等角得出∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．從而得出答案；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠BAP=90°，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的邊之間的關(guān)系算出DA,BD的長，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值，由cos∠ABD=，即可算出BP的長，進(jìn)而根據(jù)PD=BP﹣BD即可算出答案。

16．【答案】（1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)，∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠CDF=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），∴∠EDF=∠CDF，即AD的延長線平分∠CDE．（2）解：設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，∵AB=AC，∴=，∴AH⊥BC，∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，∴∠COH=2∠OAC=30°，設(shè)圓半徑為r，則OH=OC?cos30°=r，∵△ABC中BC邊上的高為1，∴AH=OA+OH=r+r=1，解得：r=2（2﹣），∴△ABC的外接圓的周長為：4π（2﹣）．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CDF=∠ABC，利用等腰三角形的性質(zhì)，可證得∠ABC=∠ACB，再利用對頂角相等即等量代換，可證得∠EDF=∠CDF，即可證得結(jié)論。

（2）設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，利用垂徑定理的推論，可證AH⊥BC，求出∠OAC的度數(shù)，再利用圓周角定理求出∠COH的度數(shù)，設(shè)圓半徑為r，利用解直角三角形可求出OH=r，再由AH=OA+OH=1，建立關(guān)于r的方程，解方程求出r的值，然后求出△ABC的外接圓周長即可。17．【答案】（1）證明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；（2）解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直徑是5．【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠D=∠1，根據(jù)垂徑定理得出=，根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出∠1=∠BCD，故∠D=∠BCD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出CB∥PD；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB=90°，根據(jù)垂徑定理得出=，根據(jù)等弧所對的圓周角相等得出∠BPD=∠CAB，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得出sin∠CAB=sin∠BPD=，最后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可算出AB的長。18．【答案】（1）解：∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，∴∠C=80°﹣