2017年高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 專題6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（講）

成等差數(shù)列.（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．2．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①；②；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①(中間項(xiàng))；②.3.,則,.4.如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．5.若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.【方法規(guī)律技巧】1.等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．2.等差數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用,故應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系．3.應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．4.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略.【新題變式探究】【變式一】【2016屆河南新鄉(xiāng)名校聯(lián)盟押題四】已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列，滿足，且，則數(shù)列項(xiàng)中的最大值為．【答案】6【解析】【變式二】【2016年江西省四校高三一模測(cè)試】已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若,則的值是（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，，且,考點(diǎn)3等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列最值【3-1】【【2016年江西師大附中鷹潭一中聯(lián)考】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則中最大的是（）A． B． C． D．【答案】B【3-2】【2016屆河南省重點(diǎn)中學(xué)高三下第二次月考】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，，，數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切正整數(shù)都成立，則的最小值為________.【答案】【解析】試題分析：設(shè)公差為，公比為，由，有，再由，有，所以，，用錯(cuò)位相減法求：，，兩式相減得，故.【3-3】【【2016海南中學(xué)考前模擬】一彈性小球從100高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的再落下，設(shè)它第次著地時(shí)，共經(jīng)過了，則當(dāng)時(shí)，有（）A．的最小值為100B．的最大值為400C．D．【答案】C綜合點(diǎn)評(píng)：這幾個(gè)題都是等差數(shù)列最值問題，解這一類題，往往結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的函數(shù)特征，因此審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，利用二次函數(shù)，基本不等式，解二次不等式等，從而解決問題.【課本回眸】1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，則，或等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是，公差是，則其前項(xiàng)和公式為.2．等差數(shù)列的增減性：時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最小值．時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最大值．【方法規(guī)律技巧】求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，常用的方法：1.利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．當(dāng)，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；若已知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，(2)當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.2.利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；3.利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)為最大項(xiàng)，則有；求最小項(xiàng)的方法：設(shè)為最小項(xiàng)，則有.只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.4.在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【新題變式探究】【變式一】設(shè)等差數(shù)列滿足，公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，【變式二】【2014高考江西卷第13題】在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則的取值范圍_________.【答案】【解析】由題意得：，所以，即三、易錯(cuò)試題常警惕易錯(cuò)典例：在等差數(shù)列中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，有最大值，并求出它的最大值．【錯(cuò)解一】設(shè)公差為d，∵S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.得d＝－eq\f(5,3)，an＝20－(n－1)·eq\f(5,3).當(dāng)an＞0時(shí)，20－(n－1)·eq\f(5,3)＞0，∴n＜13.∴n＝12時(shí)，Sn最大，S12＝12×20＋eq\f(12×11,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝130.當(dāng)n＝12時(shí)，Sn有最大值S12＝130.【錯(cuò)解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－eq\f(5,3)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＞0，①,20＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))≤0，②))由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12時(shí)，Sn有最大值S12＝130.易錯(cuò)分析：錯(cuò)解一中僅解不等式an＞0不能保證Sn最大，也可能an＋1＞0，應(yīng)有an≥0且an＋1≤0.錯(cuò)解二中僅解an＋1≤0也不能保證Sn最大，也可能an≤0，應(yīng)保證an≥0才行．正確解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.∴d＝－eq\f(5,3).∴an＝20＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,3)n＋eq\f(65,3).∴a13＝0.即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0，n≥14時(shí)，an＜0.∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12＝S13＝12×20＋eq\f(12×11,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝130.解法二：同解法一，求得d＝－eq\f(5,3)，∴Sn＝20n＋eq\f(n（n－1）,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,6)n2＋eq\f(125,6)n＝－eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3125,24).∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.解法三：同解法一，求得d＝－eq\f(5,3)，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均為正數(shù)．而a14及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.溫馨提醒：1.解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題時(shí)一般利用通項(xiàng)不等式組法，即①當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，Sn最大?；②當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，Sn最小?.2.在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近而定．3.等差數(shù)列的基本運(yùn)算中，容易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號(hào)、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量．四、學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇函數(shù)思想在數(shù)列求最值問題中的應(yīng)用數(shù)列是特殊的函數(shù)關(guān)系，因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d可變形為Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，令A(yù)＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，則Sn＝An2＋Bn.當(dāng)A≠0，即d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點(diǎn)．利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問題．2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1>0，公差d<0，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，正數(shù)項(xiàng)有限，前n項(xiàng)和有最大值，且滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0.))(2)若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1<0，公差d>0，則等差數(shù)列是遞增數(shù)列，負(fù)數(shù)項(xiàng)有限，前n項(xiàng)和有最小值，且滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0.))3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N*.(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定n的值，使Sn取得最值．(3)項(xiàng)的符號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最大值；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0)