不等式選講 強(qiáng)化訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

沖刺高考二輪不等式選講（原卷+答案）1．不等式a＋b＋c≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－))x＋2))對(duì)于x∈R恒成立．(1)求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；(2)求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2).2．已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)<x＋2的解集M；(2)若a?M，b∈M，證明：|1－ab|≤|a－b|.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－ax＋1)).(1)若a＝1，求f(x)>5的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<eq\f(2,m)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))x－1)).(1)當(dāng)a＝4時(shí)，求不等式f(x)<6的解集；(2)若f(x)≥a2－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))對(duì)任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．5.已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1.證明：(1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y－3))≥3；(2)eq\r(x＋\f(y,2))＋eq\r(y＋\f(x,2))≤eq\r(3).6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－m))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,m)))，m≠0.(1)若m＝1，f(x)<7，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)求證：?x∈R，f(x)≥4.參考答案1．解析：（1）證明：因?yàn)閍＋b＋c≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))對(duì)于x∈R恒成立，又因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x＋1）－（x＋2）))＝1，所以a＋b＋c≥1，由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2），所以3（a2＋b2＋c2）≥（a＋b＋c）2≥1，所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).（2）證明：因?yàn)閍2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)（a＋b），同理可得：eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)（b＋c），eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)（c＋a），所以eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)（a＋b＋c），所以eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2).2．解析：（1）因?yàn)閒（x）<x＋2，即|2x＋1|<x＋2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1<x＋2,－x－2<2x＋1))，即－1<x<1，所以不等式的解集M為{x|－1<x<1}．（2）方法一∵a?M，b∈M，∴a2≥1，b2<1.∵|1－ab|2－|a－b|2＝a2b2－a2－b2＋1＝（a2－1）（b2－1）≤0，∴|1－ab|≤|a－b|.方法二∵a?M，b∈M，∴a2≥1，b2<1.∵|1－ab|2－|a－b|2＝（1－ab＋a－b）（1－ab－a＋b）＝（1＋a）（1－b）（1－a）（1＋b）＝（1－a2）（1－b2）≤0，∴|1－ab|≤|a－b|.3．解析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－2＋1－x，x≤－2,x＋2＋1－x，－2<x≤1,x＋2＋x－1，x>1))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≤－2,3，－2<x≤1,2x＋1，x>1))，當(dāng)x≤－2時(shí)，由－2x－1>5，解得x<－3，當(dāng)x>1時(shí)，由2x＋1>5，解得x>2.故f（x）>5的解集為（－∞，－3）∪（2，＋∞）.（2）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋2))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－ax＋1))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋2－ax＋1))＝3恒成立，故f（x）min＝3，又f（x）<eq\f(2,m)，即3<eq\f(2,m)，故0<m<eq\f(2,3)，所以m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).4．解析：（1）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）<6化為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋4))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))<6，當(dāng)x<－2時(shí)，不等式化為－2x－4－（x－1）<6，解得－3<x<－2；當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，不等式化為2x＋4－（x－1）<6，解得－2≤x<1；當(dāng)x>1時(shí)，不等式化為2x＋4＋x－1<6，無(wú)解，綜上所述：當(dāng)a＝4時(shí)，不等式f（x）<6的解集為（—3，1）.（2）由f（x）≥a2－|x－1|得a2≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))2x－2))，因?yàn)閨2x＋aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))2x－2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(≥))（2x＋a）－（2x－2）eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))a＋2|（當(dāng)且僅當(dāng)（2x＋a）（2x－2）≤0時(shí)，等號(hào)成立），又因?yàn)閍2≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))2x－2))對(duì)任意的x∈R恒成立，所以a2≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋2))，當(dāng)a＋2≤0，即a≤－2時(shí)，有a2≤－a－2，即a2＋a＋2≤0，此不等式無(wú)解；當(dāng)a＋2>0，即a>－2時(shí)，有a2≤a＋2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.綜上所述：a的取值范圍為－1≤a≤2.5．證明：（1）正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，所以0<x<1，0<y<1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y－3))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋y－1－3))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)（x－1）（y－3）>0等號(hào)成立，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y－3))≥3得證．（2）正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，由柯西不等式可得eq\r(x＋\f(y,2))＋eq\r(y＋\f(x,2))＝1×eq\r(x＋\f(y,2))＋1×eq\r(y＋\f(x,2))≤eq\r(（1＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＋y＋\f(x,2))))＝eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＋eq\f(y,2)＝y(tǒng)＋eq\f(x,2)即x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，即eq\r(x＋\f(y,2))＋eq\r(y＋\f(x,2))≤eq\r(3)得證．6．解析：（1）m＝1時(shí)，f（x）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－3，x<－4,5，－4≤x≤1,2x＋3，x>1))，故當(dāng)x<－4時(shí)，－2x－3<7，所以－5<x<－4；當(dāng)－4≤x≤1時(shí)，顯然成立，當(dāng)x>1時(shí)，2x＋3<7，解得1<x<2，綜上，不等式f（x）<7的解集為（－5，2）.（2）證明：f（x）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－m))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,m)))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c