《放縮法與貝努利不等式》設(shè)計(jì)

《放縮法與貝努利不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)目的要求：重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程：一、引入：所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處更為廣泛。下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若是自然數(shù)，求證證明：==注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明的過(guò)程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)）得例3、若a,b,c,dR+，求證：證：記m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立。例4、當(dāng)n>2時(shí)，求證：證：∵n>2∴∴n>2時(shí),三、小結(jié)：四、練習(xí)：1、設(shè)為大于1的自然數(shù)，求證2、設(shè)為自然數(shù)，求證五、作業(yè)：A組1、對(duì)于任何實(shí)數(shù)，求證：（1）；（2）2、設(shè)，求證：（1）；（2）3、證明不等式.4、若都是正數(shù)，求證：5、若求證6、如果同號(hào)，且均不為0.求證：，并指出等號(hào)成立的條件.7、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：8、已知三個(gè)正數(shù)的和是1，求證這三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的和必不小于9.9、若，則.10、設(shè)，且求證：11、已知，求證：（1）；（2）.12、設(shè)是互不相等的正數(shù)，求證：13、已知都是正數(shù)，求證：（1）（2）14、已知求證：15、已知求證：16、已知都是正數(shù)，且有求證：17、已知都是正數(shù)，且，求證：18、設(shè)的三條邊為求證.19、已知都是正數(shù)，設(shè)求證：20、設(shè)是自然數(shù)，利用放縮法證明不等式21、若是大于1的自然數(shù)，試證B組22、已知都是正數(shù)，且求證：23、設(shè)，試用反證法證明不能介于與之間。24、若是自然數(shù)，求證鏈接：放縮法與貝努利不等式在用放縮法證明不等式時(shí)，有時(shí)需要“舍掉幾個(gè)正項(xiàng)”以便達(dá)到目的。就是說(shuō)，如果在和式里都是正數(shù)，可以舍掉，從而得到一個(gè)明顯成立的不等式.例如，對(duì)于任何和任何正整數(shù)，由牛頓二項(xiàng)式定理可得舍掉等式右邊第三項(xiàng)及其以后的各項(xiàng)，可以得到不等式：.在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性。該不等式不僅當(dāng)是正整數(shù)的時(shí)候成立，而且當(dāng)是任何大于1的有理數(shù)的時(shí)候也成立。這就是著名的貝努利不等式。在今后的學(xué)習(xí)中，可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設(shè)，則在或時(shí)，，在時(shí)，閱讀材料：貝努利家族小史在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，17-18世紀(jì)出現(xiàn)了一個(gè)著名的數(shù)學(xué)世家——貝努利（Bernoulli）家族（瑞士），這個(gè)家族中的三代人中共出現(xiàn)了8位數(shù)學(xué)家，它們幾乎對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都做出了杰出的貢獻(xiàn)。其中，又以第一代的雅各布?貝努利（JacobBernoulli，）、約翰?貝努利（JohannBernoulli，）兄弟和第二代的丹尼爾?貝努利（DanialBernoulli，，約翰?貝努利的兒子）最為著名。在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支中，以“貝努利”命名的定義、定理、公式數(shù)不勝數(shù)。除了我們前面提到的“貝努利不等式”之外，將來(lái)會(huì)有機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)到微積分中的“貝努利方程”、“貝努利級(jí)數(shù)判別法”，解析幾何中的“貝努利雙紐線”，概率論中的“貝努利定理”（即“大數(shù)定律”的早期形式）、“貝努利數(shù)”、“貝努利多項(xiàng)式”等等。特別是，丹尼爾?貝努利創(chuàng)造性地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到物理學(xué)的研究中，取得了卓著的成就，被推崇為數(shù)學(xué)物理方法的奠基人。貝努利家族之所以取得如此大的數(shù)學(xué)成就，至少有以下幾個(gè)方面的主要原因：（1）對(duì)數(shù)學(xué)的真摯熱愛?？疾熵惻易宓?位數(shù)學(xué)家，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同的特點(diǎn)：都是從父輩不同意他們研究數(shù)學(xué)，而要求他們經(jīng)商、從醫(yī)或做律師開始，到最終走上從事數(shù)學(xué)的生涯。這一過(guò)程中，個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)的極大熱情和興趣起到了決定性的作用。當(dāng)然，家族的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和學(xué)習(xí)精神的影響也是不容忽視的重要因素。（2）廣泛的學(xué)術(shù)交流。貝努利家族的成員們，都注重與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家進(jìn)行廣泛的學(xué)術(shù)交流和爭(zhēng)辯，以此互相促進(jìn)和提高。如雅各布?貝努利、約翰?貝努利與他們那個(gè)時(shí)代的大數(shù)學(xué)家、微積分的創(chuàng)始人萊布尼茨之間，丹尼爾?貝努利與當(dāng)時(shí)歐洲數(shù)學(xué)界的中心人物——?dú)W拉的頻繁通信交流成為數(shù)學(xué)史上的美談。（3）繼承基礎(chǔ)上的大膽創(chuàng)新。在繼承已有數(shù)學(xué)研究成果的基礎(chǔ)上大膽開拓、創(chuàng)新，是貝努利家族成員從事研究的又一個(gè)共同特點(diǎn)。貝努利家族的主要成員正處于數(shù)學(xué)思想方法的兩次大轉(zhuǎn)變時(shí)期：一是從常量