10 05 大數(shù)定律和中心極限定理 key

1、大數(shù)定律A.1例1?.設(shè)隨機變量X的E(X)=卩，D(X)=b2，用切比雪夫不等式估計P(|X-E(x)|<3b)>A.1B.|8C. D.19答案：C例2.設(shè)卩是n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，P是事件A在每次試驗中發(fā)生的概nTOC\o"1-5"\h\z率，則對于任意的￡>0，均有l(wèi)imP{l巴r-p|>￡}( )nfg nA.=0 B.=1C.>0 D?不存在答案：A例3?設(shè)隨機變量X的E(X)=卩，D(X)=b2,用切比雪夫不等式估計P(lX—E(X)l<3b2)>1-1答案:9b__丁答案:例4?.設(shè)X】，X2，……,X是來自總體N(pQ2)的樣本，對任意的￡>0,樣本均值X12 n 1所滿足的切比雪夫不等式為(A.B.PX一ny<s空A.B.PX一ny<s空P<Xnb2s2ns2C.pG-心Li-nb2s2D.P{-'X-ny>snb2s2答案：B例5.設(shè)X，X，…，X，…相互獨立同分布，且E(Xn)=0，則1 2 n n(\limPYX<n= 。nfginfgi=1解：limPnfg?X.<n:(解：limPnfg?X.<n:(=limPI<丿nfg \1工ni=1X<1LlimPnsnii=1故limPnsQx<n[lIi=1'丿例6.設(shè)X,X，…，X，…是相互獨立的隨機變量序列，X服從參數(shù)為n的指數(shù)分布1 2 n(n=l,2,…)，則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機變量序列是:(A)Xi,X2,…，Xn，(B)X1,2X，…，n2X,2 n(C)X1,(A)Xi,X2,…，Xn，(B)X1,2X，…，n2X,2 n(C)X1,X2/2,…，t/n,…;(D)Xi,2X，…，nX,-2 n解：選擇B因為D(n2X)=n4D(X)=n4—=n2,n 時，不滿足D(X.)<C(有界)n n n2 i2、中心極限定理0,事件A不發(fā)生1,事件A發(fā)生(i=h2…，10000)，且p(a)=0.8,X]，X2,…，X]0000相互獨1￡000立，令Y='Xi，則由中心極限定理知Y近似服從的分布是(i=1A.N(0,1)C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)例8.設(shè)X],X2，…，X，…為獨立同分布的隨機變量序列,1 2 n的指數(shù)分布，記e(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則有(且均服從參數(shù)為入(入＞1)A.X-nilimP{—<x}=0(x)nfg vnB.工X—nkilimP{-r=^-.nfg ■nk<x}=0(x)C.工X—nkilimP{f <x}=0(x)nfg k▽nD.工Xlim-九<x}=①(x)xnk答案：A例答案：A例9.設(shè)相互獨立的隨機變量序列X1，X2,…，X,n…服從相同的概率分布，且E(X)斗,iD(X)O2,記—=1工xnn：D(X)O2,記—=1工xnn：i-1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則limPnT8X-^<nA.0(1)C.20(1)-1答案：CB.1-0(1)D.1例10.Xi

—i.設(shè)隨機變量X1,X2，…，X,…相互獨立同分布，且X.的分布律為1 2 n iP 1-ppi=1,2,…,x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則limP<nT8-npi\np(1-p)A.0 B.1C.①(2) D.1-0(2)答案：D例11.某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠中被盜索賠戶占20%。以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。寫出X的概率分布；利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。［附表］e(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。x00.51.01.52.02.53.0①(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999解：由題設(shè)X?b(100,0.2)X的分布律為P{X二k}二Ck(0.2)k(0.8)800-k,(k二0,1,2, ,100)100(2)由E(X)=np=20,D(X)=np(1一p)=16由中心極限定理得（14_20）< （14_20）< 4丿P{14<X<30}q①|(zhì) I4丿=O（2.5）_O（_1.5）=O（2.5）_1+①（1.5）0.994+0.993_1=0.927例12.一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.9