湖南省八校2023屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(數(shù)學(xué)理)

湖南省八校2023—2023學(xué)年度高三年級聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1、某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70m/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰，如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則從圖中可以石得山將被處罰的汽車人約有()A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛2．若，則下列不等式中不一定成立的是 （） A．B．C．D．∣∣>3．已知集合，，則 （） A． B． C． D．4．設(shè)，，若是的必要而不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 （） A．B． C．∪ D．∪5．已知函數(shù)的值域是，則它的定義域可以是（） A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的取值范圍為（） A． B． C． D．7．函數(shù)是 （） A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的非奇非偶函數(shù) C．周期為的偶函數(shù) D．周期為的非奇非偶函數(shù)8．已知函數(shù)，其中，則使得在上有解的概率為 （） A．B． C．D．9．設(shè)雙曲線的右頂點為，為雙曲線上的一個動點（不是頂點），從點A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q，R兩點，其中O為坐標原點，則與的大小關(guān)系為 （） A． B． C． D．不確定10．平面向量的集合A到A的映射由確定，其中為常向量．若映射滿足對恒成立，則的坐標不可能是 （） A． B． C． D．

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11．為了了解我校今年準備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前個小組的頻率之比為，第小組的頻數(shù)為，則抽取的學(xué)生人數(shù)是_________．12．如圖，在△ABC中，于H，M為AH的中點，若，則_________．13．將拋物線按向量平移后所得拋物線的焦點坐標為_________．14．若等差數(shù)列的前項和為，且，，，則_________．15．給出定義：若（其中為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作，即．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：①的定義域是，值域是；②點是的圖像的對稱中心；③函數(shù)的最小正周期為1；④函數(shù)在上是增函數(shù)；則其中真命題是_________．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16．（本小題滿分10分） 已知等比數(shù)列中，，分別為的三內(nèi)角的對邊，且．（1）求數(shù)列的公比；（2）設(shè)集合，且，求數(shù)列的通項公式．17．（本小題滿分12分） 已知為坐標原點，向量，點是直線上的一點，且點分有向線段的比為．（1）記函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域；（2）若三點共線，求的值．18．（本小題滿分12分） 若關(guān)于的實系數(shù)方程有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，記點對應(yīng)的區(qū)域為．（1）設(shè)，求的取值范圍；（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經(jīng)過區(qū)域，求反射光線所在直線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線的方程．19．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)的反函數(shù)為，定義：若對給定的實數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“a和性質(zhì)”．（1）判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；（2）若，其中滿足“2和性質(zhì)”，則是否存在實數(shù)a，使得對任意的恒成立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由．20．（本小題滿分14分） 已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F2，若以F2為圓心，為半徑作圓F2，過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，且|PT|的最小值不小于．（1）求橢圓的離心率的取值范圍；（2）設(shè)橢圓的短半軸長為，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k>0）的直線與橢圓相交于A，B兩點，若，求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值．21．（本小題滿分14分） 已知曲線，從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點，設(shè)．（1）求數(shù)列{xn}的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為Sn，試比較Sn與的大?。唬?）記，數(shù)列{dn}的前n項和為Tn，試證明：．參考答案1．B2．B3．D4．A5．A6．C7．B8．A9．C10．B11．12．13．14．1215．①③16．解：（1）依題意知：，由余弦定理得：，（3分）而，代入上式得或，又在三角形中，或；（6分）（2），即且，（8分）又，所以，或．（10分）17．解：依題意知：，設(shè)點的坐標為，則：，所以，點的坐標為．（2分）（1），，（4分）由可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（6分）所以，其值域為；（8分）（2）由三點共線得，（10分）∴，．（12分）18．解：方程的兩根在區(qū)間和上的幾何意義是：函數(shù)與軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間和內(nèi)， 由此可得不等式組，即，則在坐標平面內(nèi)， 點對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分所示， 易得圖中三點的坐標分別為，（4分）（1）令，則直線經(jīng)過點時取得最小值，經(jīng)過點時取得最大值，即，又三點的值沒有取到，所以；（8分）（2）過點的光線經(jīng)軸反射后的光線必過點，由圖可知可能滿足條件的整點為，再結(jié)合不等式知點符合條件，所以此時直線方程為：，即．（12分）19．解：（1）函數(shù)的反函數(shù)是，，，而，其反函數(shù)為,故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”；（6分）（2）設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，，而，得反函數(shù)．由“2和性質(zhì)”定義可知=對恒成立，即函數(shù)，，在上遞減，（9分）所以假設(shè)存在實數(shù)滿足，即對任意的恒成立，它等價于在上恒成立．，，易得．而知，所以．綜合以上有當使得對任意的恒成立．（13分）20．解：（1）依題意設(shè)切線長，∴當且僅當取得最小值時取得最小值，而，（2分），，從而解得，故離心率的取值范圍是；（6分）（2）依題意點的坐標為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則有，，代入直線方程得，，又，，（10分）