專(zhuān)題4.4 立體幾何中最值問(wèn)題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)(原卷版)

修正版修正版玩轉(zhuǎn)壓軸逼，夬破140分之高三數(shù)學(xué)選填題高端精品專(zhuān)題4.4立體幾何中最值問(wèn)題一?方法綜述高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)處理問(wèn)題的題目，而幾何問(wèn)題中的最值與范圍類(lèi)問(wèn)題既可以考查學(xué)生的空間想象能力，又考查運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)處理問(wèn)題的能力，因此，將是有中等難度的考題．此類(lèi)問(wèn)題，可以充分考查圖形推理與代數(shù)推理，同時(shí)往往也需要將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，比如求一些最值時(shí)，向平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，這些常規(guī)的降維操作需要備考時(shí)加強(qiáng)關(guān)注與訓(xùn)練．立體幾何中的最值問(wèn)題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面,此類(lèi)問(wèn)題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等,題目較為綜合,解決此類(lèi)問(wèn)題一般可從三個(gè)方面思考：一是函數(shù)法,即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立所求的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開(kāi)圖，在平面幾何圖中直觀求解.二．解題策略類(lèi)型一距離最值問(wèn)題【例1】【河南省焦作市2019屆高三三模】在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA］和AB上，且C1E丄EF,則IAFI的最大值為（）A.二B.1C.?D.2【指點(diǎn)迷津】建立空間直角坐標(biāo)系，求出二匚匸坐標(biāo)，利用C1E丄EF,求出IAF滿足的關(guān)系式，然后求出最大值即可.利用向量法得到IAFI的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，故選D.【舉一反三】1、【江西省吉安市2019屆高三上學(xué)期期末】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為

A.=B.三C.三D.2、【河南省頂級(jí)名校2019屆高三第四次聯(lián)合測(cè)評(píng)】在側(cè)棱長(zhǎng)為門(mén)的正三棱錐?-三］中，側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，現(xiàn)有一小球P在該幾何體內(nèi)，則小球P最大的半徑為A.A.mri亍mIri亍C.匚：D.「3、如右圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCD中，e為棱CC的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別為面ABCD111111111和線段BC和線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則APEQ周長(zhǎng)的最小值為.1類(lèi)型二面積的最值問(wèn)題【例2】【河南省鄭州市2019年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】在長(zhǎng)方體二打一-二二二中，二二二二二.，三=7^「分別是棱三三：；的中點(diǎn)，二是底面二二內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線〉；與平面「巧沒(méi)有公共點(diǎn),則三角形F三二面積的最小值為（）A.—B.-A.—B.-C.-D.二【指點(diǎn)迷津】截面問(wèn)題，往往涉及線面平行，面面平行定義的應(yīng)用等，考查空間想象能力、邏輯思維能力及計(jì)算求解能力.解題的關(guān)鍵是注意明確截面形狀，確定幾何量.本題由直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)可知線面平行，補(bǔ)全所給截面后，易得兩個(gè)平行截面，從而確定點(diǎn)p所在線段，得解.【舉一反三】1、【湖南省衡陽(yáng)市2019屆高三二?！咳鐖D，直角三角形二三：，二-上「二-，二二一E二二］，將一_上二繞「二邊旋轉(zhuǎn)至-.V立置，若二面角?--J-二'的大小為二則四面體/-.￡.的外接球的表面積的最小值為（）■9

nA.三一B.二一C.D.二一￡2、如圖，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1,AA=2，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三111111111棱錐P-ABC的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為（）nGDyAB俯觀團(tuán)正視圖nGDyAB俯觀團(tuán)正視圖11A.1B.2C?一D.-243、【福建省2019屆高三模擬】若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側(cè)面和底面中，面積的最大值為（）A.2B.0C.3D.Y類(lèi)型三體積的最值問(wèn)題【例3】如圖，已知平面廠平面2,'是直線上的兩點(diǎn)，匚二是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且

玄丄，二」，吒兀，―八,是平面「?上的一動(dòng)點(diǎn)，且有三r,則四棱錐：「玄體積的最大值是（）A,"B.上匚C：：D.-■■【指點(diǎn)迷津】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積公式以及求最值問(wèn)題.求最值的常見(jiàn)方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法；③不等式法；④單調(diào)性法；⑤圖像法，本題首先根據(jù)線面關(guān)系將體積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，然后應(yīng)用方法①解答的.【舉一反三】1、已知AD與BC是四面體ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且ZABD=ZACD=60。，貝y四面體ABCD的體積的最大值是A.18邁b.36邁C.18D.362、如圖，已知平面aIP=l，A、B是l上的兩個(gè)點(diǎn)，C、D在平面0內(nèi)，且DA丄a,CB丄a,AD=4，3.【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟3.【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第三次測(cè)評(píng)】已知一個(gè)高為1的三棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，內(nèi)有一個(gè)體積為「的球，貝匸的最大值為（）C.C.類(lèi)型四角的最值問(wèn)題【例4】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)?設(shè)異面直線EM與AF所成的角為。，則COS0的最大值為.

【指點(diǎn)迷津】空間的角的問(wèn)題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解?解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過(guò)90度的?幾何問(wèn)題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值?當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)P處時(shí),EM與AF所成角為直角，此「時(shí)余弦值為0（最?。?，當(dāng)點(diǎn)M向左移動(dòng)時(shí)，?EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，角最小，余弦值最大.【舉一反三】1、矩形ABCD中",三宀-，將△abc與Aadc沿AC所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過(guò)程中直A.B?C?D.2、在正方體ABCD-Aibicidi中,0是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1D1上，直線0P與平面AiBD所成的角A．為a,則sina的取值范圍是（）A．D.4311D.43B[3,2]3.【云南省昆明市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第四次月考】如圖，在正方體二二-中，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為二二上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列說(shuō)法：二L可能與平面---_平行；二二與BC所成的最大角為二；--■_與PQ—定垂直；Z：二與二〉所成的最大角的正切值為二；

其中正確的有■寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)uuuvuuv4、在正四面體P-ABC中，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且AN二九AB，設(shè)異面12直線NM與AC所成角為Q,當(dāng)3<3時(shí)，則cos?的取值范圍是.三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1、【甘肅省2019屆高三第一次高考診斷】四棱錐「；；口：的頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為3的球面上，若正方形兒二"的邊長(zhǎng)為4,則四棱錐：'二江卅的體積最大值為（）A.-gA.-gB?二nc.—￡4D.—【廣東省東莞市2019屆高三第二次調(diào)研】已知一個(gè)四棱錐的正［主|視圖和俯視圖如圖所示，其中則該四棱錐的高的最大值為i1正（主〉視團(tuán)侗視圖A.丁B?1丁C.4D.2【四川省教考聯(lián)盟2019屆高三第三次診斷】已知四棱錐…必；：'的底面四邊形川』的外接圓半徑為3,且此外接圓圓心到」點(diǎn)距離為2,則此四棱錐體積的最大值為（）A.12B.6C.32D.24【安徽省蚌埠市2019屆高三第一次檢查】某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，三棱錐表面上的點(diǎn)M在俯視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,三棱錐表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則線段

5.如圖，在矩形ABCD中，AB二2,AD二1,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)將ADAF沿AF折起，使得平面ABD丄平面ABC設(shè)直線FD與平面ABCF所成角為9，則sin9的最大值為（）A.B.C.D.大值為（）A.B.C.D.6.【2019年4月2019屆高三第二次全國(guó)大聯(lián)考】已知正四面體一趙的表面積為泌菇,點(diǎn)P在bABC內(nèi)（不含邊界）.若.：-SCJS=-.二-:T：，且一:■＜久，則實(shí)數(shù)'的取值范圍為（）D.匚D.匚—：一：：二、填空題7.【山東省青島市2019屆高三3月一?！吭谒睦忮F“f中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，&-面ASCD，且PD二1,若在這個(gè)四棱錐內(nèi)有一個(gè)球，則此球的最大表面積為.8．【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級(jí)中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖，已知正四棱柱皿CD-一和半徑為亡的半球O,底面ABCD在半球O底面所在平面上,也，g,G，山四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為.9．【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級(jí)中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖，已知圓柱和半徑為?丁的半球O,圓柱的下底面在半球O底面所在平面上，圓柱的上底面內(nèi)接于球O,則該圓柱的體積的最大值為.【江西省上饒市2019屆高三二?！恳粋€(gè)棱長(zhǎng)為丄的正方體形狀的鐵盒內(nèi)放置一個(gè)正四面體，且能使該TOC\o"1-5"\h\z正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體的體積的最大值是.【河北省衡水市第二中學(xué)2019屆高三上期中】已知體積為1的正四棱錐外接球的球心為巴其中■'在四棱錐廠…必；：'內(nèi)部?設(shè)球:」的半徑為莊，球心：」到底面八』的距離為匚.過(guò)九的中點(diǎn)匕作球【'的截面，則所得截面圓面積的最小值是.【江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖所示，三棱錐的頂點(diǎn),，門(mén)都在同一球面上，過(guò)球心「且三二二：I,二是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，點(diǎn)XT分別為線段1；'，＜上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且/p二￡Q,則三棱錐體積的最大值為.【安徽省蚌埠市2019屆高三下學(xué)期第二次檢查】正三棱錐中，m山！「?，點(diǎn)：在棱5上,且且已正三棱錐■■■；-;的外接球?yàn)榍蚨^(guò)：點(diǎn)作球“的截面'，'截球“所得截面面積的最小值為【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2019高三上學(xué)期期末】若一個(gè)四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球的體積最小時(shí)，它的高為.【江西省上饒市2019屆