人教版高中數(shù)學(xué)理科選修復(fù)數(shù)的概念教案

復(fù)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo).掌握復(fù)平面、向量等有關(guān)概念；弄清復(fù)數(shù)集6與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間一一對應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系；弄清復(fù)數(shù)模的幾何意義..通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，突出比較與類比的研究方法.3.感受到為真理執(zhí)著追求的精神.進(jìn)行辯證唯物主義教育.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與點(diǎn)與向量的對應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)的模.難點(diǎn)：自由向量與位置向量的區(qū)別，以及它們與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.教學(xué)過程設(shè)計師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念.什么是復(fù)數(shù)？生：形如a+bi的數(shù)叫復(fù)數(shù).（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？生：形如a+bi（a,b￡R）的數(shù)叫復(fù)數(shù).（教師給予肯定）師：a,b￡R的條件很重要，實際上我們是用實數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數(shù)，任何一個實數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)與它對應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？我們能不能像實數(shù)那樣來表示復(fù)數(shù)呢？生：數(shù)軸上的點(diǎn)不能表示虛數(shù)，只能表示實數(shù).師：那么用什么可以表示復(fù)數(shù)呢？注意復(fù)數(shù)是由a,b兩個實數(shù)決定的，可以大膽設(shè)想一下，我們可以利用什么來表示復(fù)數(shù)？生：可以用直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)來表示嗎？師：義義提出了一個想法，用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).這種想法行不行呢？（在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)（a,b））師：能不能用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)呢？生：可以.因為有一個復(fù)數(shù)a+bi（a,b￡R）,就有一個點(diǎn)（a,b）,而有一個點(diǎn)（a,b）,就有一個復(fù)數(shù)a+bi.師：他剛才所說的實際想說明一點(diǎn)復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對應(yīng)的.的確，由復(fù)數(shù)相等的概念，我們知道一個復(fù)數(shù)a+bi由一個有序?qū)崝?shù)對（a,b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.因此我們完全可以建立復(fù)數(shù)集與點(diǎn)集之間的一一對應(yīng).看來，用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)是完全可以的.為了區(qū)別表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)與其它的點(diǎn)，我們把這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.那么在這個坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)與y軸上的點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別具有什么特點(diǎn)呢？生：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,即復(fù)數(shù)的虛部為0,因此x軸上的點(diǎn)代表實數(shù).師：既然x軸上的點(diǎn)代表了所有實數(shù)，我們就把復(fù)平面中的x軸叫實軸.那么y軸上的點(diǎn)代表什么樣的復(fù)數(shù)呢？生：由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，因此y軸上的點(diǎn)表示的是純虛數(shù).師：同學(xué)們認(rèn)為他說得對嗎？（大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為他說得對，少數(shù)人有疑惑）生：原點(diǎn)也在y軸上，但0不是純虛數(shù)，而是實數(shù).所以y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外表示的都是純虛數(shù).師：他說得很對.y軸上只有這個原點(diǎn)搗亂，不然就可以表示所有的純虛數(shù).因此，我們把去掉原點(diǎn)后的y軸叫虛軸.這樣虛軸上所有的點(diǎn)都表示純虛數(shù).那么，直角坐標(biāo)平面與復(fù)平面有什么區(qū)別？生：直角坐標(biāo)平面中的x軸與y軸交于原點(diǎn)，而復(fù)平面中的實軸與虛軸沒有交點(diǎn).師：我們通過建立復(fù)平面，將復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，這樣復(fù)數(shù)對我們來說，也就不顯得那樣遙遠(yuǎn)了.但對于復(fù)數(shù)的認(rèn)可，在19世紀(jì)可沒那么簡單.第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個名字一一虛數(shù).但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary,即虛幻的縮寫）來表示它的單位.后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他也感到它的作用.1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a+bi,使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了它.看來復(fù)數(shù)從發(fā)現(xiàn)到最終被人們承認(rèn)，的確經(jīng)過了一個漫長坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，人們才覺得復(fù)數(shù)的存在.（學(xué)生對數(shù)學(xué)史方面的知識很感興趣，因為他們感到數(shù)學(xué)的發(fā)展是那樣神秘，可以憑空造出數(shù)來，學(xué)生聽得聚精會神，當(dāng)最后得知是用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)這一理論使復(fù)數(shù)得以被人承認(rèn)后，甚至還有些成就感）師：用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，我們還要介紹一種表示復(fù)數(shù)的方法，連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)Z,得到一個具有長度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量.那么什么叫向量呢？生：既有大小又有方向的量叫向量.師：能不能舉出一些向量的例子？生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量.師：現(xiàn)在的問題是我們能不能用向量來表示復(fù)數(shù)？我們一般將起點(diǎn)為O,終點(diǎn)為Z的向量記作51生：當(dāng)然可以.因為有一個向量就對應(yīng)一個點(diǎn)，而有一個點(diǎn)就對應(yīng)一個向量，而點(diǎn)與復(fù)數(shù)有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可用向量表示復(fù)數(shù).（學(xué)生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復(fù)平面內(nèi)任意畫一個有向線段靛，這個向量表示哪個復(fù)數(shù)呢？（大家在思考）師：這個問題提得很好.實際上，大家可以想一想，剛才xx同學(xué)說一個向量對應(yīng)一個點(diǎn)，一個點(diǎn)對應(yīng)一個向量，對不對？怎么樣改一下就對了？生：應(yīng)改為起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量對應(yīng)一個點(diǎn)，也就是起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與點(diǎn)構(gòu)成一一對應(yīng).師：既然這樣，我們就知道，起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.那其它向量怎么辦？它們對應(yīng)什么復(fù)數(shù)？能不能將他們移到原點(diǎn)來？生：只要它們的長度和方向與&相同，就可以平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)，與交重合的位置上.師：實際上，我們把長度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實，我們只要規(guī)定相等的向量對應(yīng)同一個復(fù)數(shù)，我們就可以用向量來表示復(fù)數(shù)了.對那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)了呢？生：只要將它們平移到起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時向量終點(diǎn)所確定的復(fù)數(shù)就是那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量所表示的復(fù)數(shù).(教師給予肯定)師：在這個正六邊形中有多少對向量相等，它們分別對應(yīng)著哪些復(fù)數(shù)?生.在圖中，證與靛是相等的向量，它們都對應(yīng)復(fù)數(shù)；+與co,5?與癥是相等的向量，它們都對應(yīng)復(fù)數(shù)］u Ci Cju師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個問題：復(fù)數(shù)與向量.我們弄清楚了向量可以來表示復(fù)數(shù)，相等的向量對應(yīng)著同一個復(fù)數(shù).一個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量唯一嗎？生：一個復(fù)數(shù)實際上可以對應(yīng)無數(shù)個長度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同.師：現(xiàn)在我們知道復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)和向量來表示，它們之間的對應(yīng)關(guān)系可以用下圖來表示.點(diǎn)ZI=i?b)/'一復(fù)數(shù)？=&+如■* ＞向量兆〔起點(diǎn)為原點(diǎn)0)(.StbER)有了這種一一對應(yīng)關(guān)系后，我們常把復(fù)數(shù)2=a+狀說成點(diǎn)Z(a,b),或說成向量51師：在用有向線段表示向量時，有向線段的長度我們定義為向量的模，即線段OZ的長度為向量靈的模.那么茄■可以表示復(fù)數(shù)2=2+6。那么炭的模可以表示復(fù)數(shù)的哪個量呢？在實數(shù)集中，一個數(shù)的絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.在復(fù)數(shù)集中呢？生：向量5?.的模就是復(fù)數(shù)的絕對值.師：他的意思說出來了，但在復(fù)數(shù)中，我們一般不叫絕對值，叫復(fù)數(shù)的模.因止此靈的模就叫復(fù)數(shù)的模，只有復(fù)數(shù)為實數(shù)時，我們叫絕對值.那么復(fù)數(shù)的模具有什么樣的幾何意義？生：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(教師給予肯定，并指出復(fù)數(shù)模的幾何意義與實數(shù)的絕對值的幾何意義是統(tǒng)一的.)師：復(fù)數(shù)的模用什么表示呢？生：用實數(shù)集中絕對值的符號表示，z的模，記作|z|.師：復(fù)數(shù)2=a+狀，（@,b￡R）,那么|z|二?生：|中儲+產(chǎn)是點(diǎn)Z（a7b）到原點(diǎn)的距離.例1求復(fù)黜.=3+4］，句，;一席的模，并且比較它們的大小.（學(xué)生板演）解：同『百W"聞二十（一廚=,因為5〉才所以|與|〉|町|.師：我們知道復(fù)數(shù)一般不能比較大小，而復(fù)數(shù)的模是實數(shù)，可以比較大小.（將z1,z2所表示的點(diǎn)畫在復(fù)平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強(qiáng)調(diào)這三者的轉(zhuǎn)化）例2設(shè)z￡C,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4； （2）2W|z|<4.生：（1）表示到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn).師：這樣的點(diǎn)構(gòu)成一個什么圖形？生：是原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓.師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？生：應(yīng)該是表示只有邊界的圓.因為與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z,由|z|=4,知道|OZ|=4,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為4.所以z表示的點(diǎn)Z構(gòu)成一個半徑為4的圓.生：（2）表示一個圓環(huán).由于|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，所以2W|z|<4表示到原點(diǎn)距離大于等于2,小于4的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形.圖877師：準(zhǔn)確地說這個圖形應(yīng)當(dāng)是半徑為2與半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)容及內(nèi)邊界.包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的.例3用復(fù)數(shù)表示下圖中的陰影部分.圖名TE ^S-19生甲：|z|＜3且虛部＜-1.由于圖中所示的點(diǎn)在半徑為3的圓中，且縱坐標(biāo)小于-1.生乙：還可以用實部表示.|￡區(qū)3,且一2用＜實部＜2師：這種表示是否正確？（學(xué)生小聲議論）師；實部=±2點(diǎn)這樣的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是什么圖形？生：是兩條直線.師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點(diǎn)顯然不僅僅是陰影部分.請聘I工且=2、必■二實部＜的點(diǎn)表不出耒.（學(xué)生到黑板畫出圖）師：因此剛才乙同學(xué)的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個題無法用實部來表示.（下面提問第2小題）生：|z|N3,且實部W-1.師；能不能用虛部表小呢？若用二虛部K2A反行不行？生：不對.（學(xué)生畫出|胃＞3且-，虛部匕之愿所表示的圖形）師：看來用實部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設(shè)條件.

（教師小結(jié)）師：這節(jié)課我們共同探尋了復(fù)數(shù)的幾何表示方法以及復(fù)數(shù)模的幾何意義.要特別重視數(shù)與點(diǎn)與向量之間的對應(yīng)關(guān)系，在研究的過程中要特別注意與實數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.Ss-'^iSs-'^i補(bǔ)充作業(yè).判斷下列命題的真假，并說明理由:?zEc=>閭②團(tuán)<1=> 1；③|虛部1=■-K虛部<1?+工；=0=>/=%=0：⑤包出％尸。=■￡]=叼=0；⑥,11=1q1=啊=叼?.已知|x+yi|=2,求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡..求證,復(fù)平面內(nèi)分別和復(fù)數(shù)%=1+文叼=五+瓜5=巾-疝,句=-2+1對應(yīng)的四個點(diǎn)％,4共圓..設(shè)z￡C,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=3；(2)|z|<3；(3)3<|z|W5；(4)實部>0,虛部>0且(1)|z|=3；作業(yè)答案或提示.①J;②義；③J;④義；⑤J;⑥義..X2+y2=4.3.略..(1)以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓；(2)以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；(3)以原點(diǎn)為圓心，半徑為3和5的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，包括外邊界；(4)以