8直線與平面垂直的判定教案2022年高一數(shù)學(xué)人教A版必修立體幾何初步

直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的判定定理．教學(xué)重點(diǎn)：1.直線與平面垂直的定義.2.直線與平面垂直的判定.3.直線與平面所成的角的求解．教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用．核心素養(yǎng)：在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).1．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．線線垂直的判定方法(1)異面直線所成的角是90°.(2)線面垂直，則線線垂直．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．()(2)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的某一條直線不垂直，那么這條直線一定不與這個(gè)平面垂直．()(3)若直線與平面所成的角為0°，則直線與平面平行．()2．做一做(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)過平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有____條．(3)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況：①平行四邊形的兩條對角線；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．其中不能保證該直線與平面垂直的是____(填序號)．(4)AB是平面α的斜線段，其長為a，它在平面α內(nèi)的射影A′B的長為b，則垂線段A′A的長為____.(5)如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角為____.題型一直線與平面垂直的定義例1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[跟蹤訓(xùn)練1]設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m題型二直線與平面垂直的證明例2如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點(diǎn)．求證：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.題型三直線與平面所成的角例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE與平面ABB1A1所成角的正弦值．[跟蹤訓(xùn)練3]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．1．線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．120°2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB3.(多選)如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是()A．MA∥BDB．MA與BD異面C．MA與BD相交D．MA⊥BD4．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下列四個(gè)說法：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確說法的序號是____.5.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．一、選擇題1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直2．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定3．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是()\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．4eq\r(5)5．(多選)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面ABCD所成的角是∠SACD．AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角二、填空題6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝____.7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是____.8.如圖所示，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是____.三、解答題9.如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq\f(π,2)，求CC1與平面BC1D所成角的正弦值．1．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個(gè) B．至多有一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)多個(gè) D．不存在2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F＝____.4．如圖，正方形ACDE的邊長為2，AD與CE的交點(diǎn)為M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．5.如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面A1B1BA；(2)求證：直線AE⊥平面BCB1；(3)求直線A1B1與平面BCB1所成的角的大?。本€與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系.2.歸納出直線與平面垂直的判定定理．教學(xué)重點(diǎn)：1.直線與平面垂直的定義.2.直線與平面垂直的判定.3.直線與平面所成的角的求解．教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用．核心素養(yǎng)：在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).1．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．線線垂直的判定方法(1)異面直線所成的角是90°.(2)線面垂直，則線線垂直．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．()(2)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的某一條直線不垂直，那么這條直線一定不與這個(gè)平面垂直．()(3)若直線與平面所成的角為0°，則直線與平面平行．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)過平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有____條．(3)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況：①平行四邊形的兩條對角線；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．其中不能保證該直線與平面垂直的是____(填序號)．(4)AB是平面α的斜線段，其長為a，它在平面α內(nèi)的射影A′B的長為b，則垂線段A′A的長為____.(5)如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角為____.答案(1)C(2)1(3)②④(4)eq\r(a2－b2)(5)45°題型一直線與平面垂直的定義例1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[解析]當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與α垂直，故①錯(cuò)誤；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故②錯(cuò)誤；③正確．故選B.[答案]B直線與平面垂直的定義的理解直線與平面垂直的定義具有兩重性，既是判定又是性質(zhì)．是判定，指它是判定直線與平面垂直的方法；是性質(zhì)，指如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，即“l(fā)⊥α，a?α?l⊥a”．這是證明線線垂直的一種方法．[跟蹤訓(xùn)練1]設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m答案B解析對于A，由l⊥m及m?α，可知l與α的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故A錯(cuò)誤；B正確；對于C，l與m可能平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交，故D錯(cuò)誤．故選B.題型二直線與平面垂直的證明例2如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點(diǎn)．求證：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[證明](1)∵四棱錐S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又SD?平面SAD，∴EF⊥SD.應(yīng)用線面垂直判定定理的注意事項(xiàng)(1)要判定一條直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的．(2)判定定理在應(yīng)用時(shí)，切實(shí)要抓住“相交”二字，它把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．即“l(fā)⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α.”[跟蹤訓(xùn)練2]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.證明如圖，連接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，易證AE＝CE.因?yàn)锳O＝OC，所以O(shè)E⊥AC.在正方體中易求出：D1O＝eq\r(DD\o\al(2,1)＋DO2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(6),2)a，OE＝eq\r(BE2＋OB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a，D1E＝eq\r(D1B\o\al(2,1)＋B1E2)＝eq\r(\r(2)a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(3,2)a.因?yàn)镈1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE.因?yàn)镈1O∩AC＝O，D1O?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以O(shè)E⊥平面ACD1.題型三直線與平面所成的角例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE與平面ABB1A1所成角的正弦值．[解]如圖所示，取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直線BE與平面ABB1A1所成角的正弦值為eq\f(2,3).[條件探究]在本例中，若求直線BE與平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？解∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE與平面ABCD所成角與所求角相等．連接BD，則∠EBD即為直線BE與平面ABCD所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則在Rt△BDE中，sin∠EBD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，即直線BE與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為eq\f(1,3).求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．[跟蹤訓(xùn)練3]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．解(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.1．線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析如圖，AC⊥α，AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝eq\f(1,2)AB，∠ABC為AB所在直線與平面α所成的角．在Rt△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，∴∠ABC＝60°，即AB與平面α所成的角為60°.2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB答案B解析由題意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1?平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故選B.3.(多選)如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么下列結(jié)論正確的是()A．MA∥BDB．MA與BD異面C．MA與BD相交D．MA⊥BD答案BD解析由異面直線的判定方法可知MA與BD異面，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥MC.又MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，∴MA⊥BD.故選BD.4．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下列四個(gè)說法：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確說法的序號是____.答案①④解析①④可由直線與平面垂直的定義和判定推證．根據(jù)②中條件可知，m與n平行或異面，所以②錯(cuò)誤．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n?α，或n與α相交，故③錯(cuò)誤，所以①④正確．5.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．解(1)證明：因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA＝1，PD＝eq\r(2)，所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.(2)因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的底面積為1，PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P－ABCD的高為PA＝1，所以四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(1,3).一、選擇題1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直答案A解析∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．2．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定答案D解析直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直，或直線l在平面α內(nèi)，或直線l與平面α相交，都有可能．3．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直答案C解析在題圖1中，AD⊥BC，故在題圖2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因?yàn)锽D∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是()\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．4eq\r(5)答案D解析如圖所示，作PD⊥BC于D，連接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB.又PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D為BC的中點(diǎn)．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).5．(多選)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面ABCD所成的角是∠SACD．AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角答案ABD解析對于A，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，A正確；對于B，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，B正確；對于C，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，∴∠SAD是SA與平面ABCD所成的角，C不正確；對于D，∵AB∥CD，∴AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，D正確．故選ABD.二、填空題6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝____.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵M(jìn)N⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.7．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是____.答案30°解析連接AC，由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角．在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3).在Rt△PAC中，∵tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°.8.如圖所示，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是____.答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，∵AF⊥平面PBC，∴AF⊥FE.∴AE與EF不垂直，又EF?平面PBC，∴AE不垂直于平面PBC.故①②③正確，④不正確．三、解答題9.如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.證明取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.∵F，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD.又E為AD的中點(diǎn)，AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝eq\f(π,2)，求CC1與平面BC1D所成角的正弦值．解如圖，過點(diǎn)C作CH⊥C1D于點(diǎn)H，連接AC1.∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.∵BD?平面ABC，∴CC1⊥BD.∵AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，∵CH?平面ACC1，∴BD⊥CH.又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D為CC1與平面BC1D所成的角．設(shè)AB＝2a，則CD＝eq\r(2)a，C1D＝eq\r(6)a，∴sin∠CC1D＝eq\f(CD,C1D)＝eq\f(\r(2)a,\r(6)a)＝eq\f(\r(3),3).1．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個(gè) B．至多有一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)多個(gè) D．不存在答案B解析當(dāng)異面直線互相垂直時(shí)滿足條件的平面有1個(gè)，當(dāng)異面直線不互相垂直時(shí)滿足條件的平面有0個(gè)．2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段答案A解析如圖所示，易知BD1⊥平面AB1C，故當(dāng)點(diǎn)P在平面AB1C內(nèi)時(shí)，總保持AP⊥BD1，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，且B1C為平面AB1C和平面BCC1B1的交線，故點(diǎn)P一定位于線段B1C上．3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F＝____.答案eq\f(1,2)解析設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1的斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.由2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，得h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DEB1中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2)，即線段B1F的長為eq\f(1,2).4．如圖，正方形ACDE的邊長為2，AD與CE的交點(diǎn)為M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直